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重庆市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(4)数列

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重庆市各地市 2013 年高考数学 最新联考试题分类汇编(4)数列
一、选择题: 9、(重庆市南开中学 2013 年 4 月高三月考理)已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 5, a4 ? 11 ,记数 列?

?1? m * 成立,则整数 m 的最 ? 的前 n 项 和为 Sn ,若对任意的 n ? N ,都有 S2 n ?1 ? Sn ? 20 ? an ?
) B、6 C、7 D、8

小值为( A、5 【答案】C

3. (重庆市重庆一中 2013 年 3 月高三第一次月考文)在数列 {an } 中, an ? cqn (q ? 0 且 “

c ? 0) ”是“ {an } 是等比数列”的





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 10. (重庆市名校联盟 2013 届高三下学期第一次联考理)某纯净水厂在净化过程中,每增加 一次过滤可减少水中杂质的 20%,要使水中杂质减少到原来的 5%以下,则至少需过滤的次数 为(lg 2 ? 0 .301 0) ( ▲ ) A.5 B.10 C.14 D.15 10. [解析]设原杂质数为 1,各次过滤杂质数成等比数列, 且 a1 ? 1? 公比 q=1-20%,
n n ∴ an?1 ? (1 ? 20 % ) ; 由题意可知:(1-20% ) ? 5 %, 即 0. 8 ? 0 .05.
n

两边取对数得 nlg0.8<lg0.05, ∵lg0.8<0, ∴ n ?

lg0?05 ? lg0?8

即n ?

lg5 ? 2 1 ? lg2 ? 2 ?lg2 ? 1 ? ? ? ?0?3010 ?1 ? 13 .41, lg8 ? 1 3lg2 ? 1 3lg2 ? 1 3 ? 0?3010 ? 1
2 ,且对任意的 3

又 n 为过滤次数,故取 n=14. 2. (重庆市三峡名校联盟 2013 年 3 月高三联考理)已知数列{ an }满足 a1= 正整数 m,n,都有 am+n= am + an,则 A.

1 2

B.

2 3

an 等于( n 3 C. 2

) D.2

【答案】B

1

3 . (重庆市 重庆一中 2013 届高三第四次月考理)在等差数列 ?an ? 中 a3+a4+a5=12, Sn 为
数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S7 =( )

A.14
【答案】C

B.21

C .28

D.35

2 10 . 数列 ?an ? 满足 a1 ? 6 , an?1 ? [ 5 an ? 3 an ? 2 ]( n ? N ? ) ,其中 ?x? 表示不超过 x 的最

4

4

大整数。则 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a2011 ? a2012 的个位数字为(



A.4
【答案】D

B .5

C .6

D.7

二、填空题: 13. (重庆市部分重点中学 2013 届高三第一次联考理) 设 Sn 是正项 数列{an}的前 n 项和, 且 an 和 Sn 满足: 4Sn ? (an ? 1)2 (n ? 1, 2,3,?) ,则 Sn= 13. 答案 n
2



?a 1? 解 由题: Sn ? ? n ? ? ,当 n ? 1 时,易得 a1 ? 1 . ? 2 2? 1? ?a 1? ?a an ? Sn ? Sn?1 ? ? n ? ? ? ? n?1 ? ? ? 2 2? ? 2 2?
2 2

2

2 2 ?a a ? ? a a ? ? a ? an ?1 ? ? an an ?1 ? ? ? n ? n ?1 ? 1? ? ? n ? n ?1 ? ? ? n ??? ? ? 2 2 ? ? 4 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2
2 2 an ? an ?1 an ? an ?1 ? ? an ? an?1 ? 2 . 2 4

整理得:

所以 an ? 2n ? 1. 所以 Sn ? n2 . 12. (重庆市重庆一中 2013 年 3 月高三第一次月考文)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 a7 ? ?2 , S9 ? 18 ,则 S11 = 【答案】0 14.(重庆市十一中学 2013 年 3 月高三月考文)已知数列{ a n }中, a1 ? 2 ,且对任意正整

2

m n 数 m, n , a n ? a m ,求数列{

1 }的前 2013 项和为 log 2 a n ? log 2 a n ?1

.

【答案】

2013 2014

三、解答题: 19. (重庆市部分重点中学 2013 届高三第一次联考理) (本题满分 12 分) 已知等差数列{an} 的首项 a1 为 a (a ? R, a ? 0) .设数列的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n 都有

a2 n 4n ? 1 . ? an 2n ? 1
(1) 求数列{an}的通项公式及 Sn ; (2) 是否存在正整数 n 和 k,使得 Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若存在,求出 n 和 k 的 值;若不存在,请 说明理由.

(2) 解:由(Ⅰ)知 Sn ? n2 a , Sn?1 ? (n ? 1)2 a , Sn? k ? (n ? k )2 a .假若 Sn , Sn+1 , Sn+k 成
2 等比数列,则 Sn?1 ? Sn Sn ?k ,即知 a2 (n ? 1)4 ? an2 ? a(n ? k )2 .又因为 a ? 0, n, k ? N * ,

所以 (n ? 1)2 ? n(n ? k ) ,经整理得 n(k ? 2) ? 1 .考虑到 n , k 均为正整数, 所以 n ? 1 , k ? 3 . 所以,存在正整数 n ? 1 和 k ? 3 符合题目的要求. 20. (重庆市重庆一中 2013 年 3 月高三第一次月考文)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且

Sn ? 2an ? 2 (n ? N * ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,
且 bn?1 ? bn ? 2 . ⑴求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式,并求数列 {an ? bn } 的前 n 项的和 Dn ;

3

2 ⑵设 cn ? an ? sin

n? n? ? bn ? cos 2 (n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 2n 项的和 T2n . 2 2

20. ⑴当 n ? 1 , a1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ,∴ an ? 2an?1 , ∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴ an ? 2n 由 bn?1 ? bn ? 2 ,得 {bn } 是等差数列,公 差为 2. 又首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 ∴ an ? bn ? (2n ?1) ? 2n ∴ Dn ? 1? 21 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ?? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ①×2 得 2Dn ? 1? 22 ? 3? 23 ? 5 ? 24 ? ?? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ①—②得: ① ②

?Dn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ?? 2 ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1
4(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n ?1 1? 2 ? 2n?1 (3 ? 2n) ? 6 , Dn ? (2n ? 3)2n?1 ? 6 ? 2 ? 2?
? 2n n为奇数 ⑵ cn ? ? ? ?(2n ? 1) n为偶数 Tn ? 2 ? 23 ? ?? 22n?1 ? [3 ? 7 ? ?? (4n ?1)] .

?

22 n?1 ? 2 ? 2n 2 ? n 3

22. (重庆市名校联盟 2013 届高三下学期第一次联考理) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分,(II)小问 7 分。) 已知函数 f ( x) ? x ? x.
2

(I)数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? f ?(an ) ( n ? N ),若
?

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1 ? 10 , 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a10 2

求 a1 的值; (II)数列 {bn } 满足 b1 ? 1, bn?1 ? f (bn ), n ? N ? ,记 cn ?

1 , Sk 为数列 {cn } 前 k 项和, 1 ? bn

Tk 为数列 {cn } 的前 k 项积,求证: T1

S1 ? T1

?

Tn T2 7 ? ??? ? ? 。 S2 ? T2 Sn ? Tn 10

4

22.(本小题满分 12 分, (I)小问 5 分,(II)小问 7 分。) 解:(I)因为 f ?( x) ? 2 x ?1 ,所以 an?1 ? 2an ? 1, an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 。 所以数列 {an ? 1} 为等比数列, an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2n?1 , 从而 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

1 1 1 ? ? ( )n?1 ,所以 an ? 1 (a1 ? 1) 2

1 2? 9 1 1 1 1 1 1 1 2 ? 1 ? 1 。┄ ┄4 分 ? ? ??? ? ? ? (1 ? ? 2 ? ??? ? 10?1 ) ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a10 1 ? a1 2 2 2 1 ? a1 210
所以 a1 ? 1 。 (II)因为 bn ?1 ? f (bn ) ? bn (bn ? 1), cn ? 又因为 bn?1 ? bn (bn ? 1), 得 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分

b b b b 1 1 。 ? n , Tn ? 1 ? 2 ? ? n ? ??? 1 ? bn bn?1 b2 b3 bn ?1 bn ?1

1 1 1 1 1 1 。┄┄┄7 分 ? ? , cn ? ? , Sk ? 1 ? bn?1 bn bn ? 1 bn bn?1 bk ?1 1 1 ? 2. bk ?1 bk
┄┄┄┄8 分

因为 bk ?1 ? bk (bk ? 1), 所以 bk ?1 ? bk 2 ,
n

由 b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 6 ,且 2 ? n(n ? 1) 得

Tn T1 T2 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? 2 ? 22 ? ??? ? 2n?2 S1 ? T1 S2 ? T2 Sn ? Tn 2 6 6 6 6

?

1 1 1 1 1 1 7 ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n? 2 ? ? ? 2 6 6 6 6 2 1 ? 1 10 6

1 6

综上所述,结论得证。 ┄┄┄┄┄┄┄12 分 22. (重庆市三峡名校联盟 2013 年 3 月高三联考理)(本小题满分 12 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求 a1 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:

an (an ? 2) ( n ? N* ) . 4

1 1 1 1 5 ( n ? N* ) ; ? 3 ? 3 ?? ? 3 ? 3 a1 a2 a3 an 32

5

(3) 是否存在非零整数 ? , 使不等式 ? (1 ?

?a 1 1 1 1 )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) cos n ?1 ? a1 a2 an 2 an ? 1

对一切 n ? N* 都成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

(2)证法一:∵

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 3 3 2 2 an (2n) 8n ? n 8n(n ? 1) 8(n ? 1)n(n ? 1) 1 1 1 ? [ ? ](n ? 2) ,??4 分 16 (n ? 1)n n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? [( ? )?( ? ) ??? ? ] 2 16 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 ( n ? 1) n n( n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ? [ ? ] ? ? ? ? .? 7 分 8 16 2 n(n ? 1) 8 16 2 32 1 1 5 当 n ? 1 时,不等式左边 ? 3 ? ? 显然成立. ?????? 8 分 a1 8 32
3 2 2 3

证法二:∵ n ? 4n(n ? 1) ? n(n ? 4n ? 4) ? n(n ? 2) ? 0 ,∴ n ? 4n(n ? 1) . ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 3? ? ( ? ) (n ? 2) .??4 分 3 3 an (2n) 8n 32n(n ? 1) 32 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 .??7 ? 3 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? (1 ? ) ? ? ? 2 32 2 2 3 n ?1 n 8 32 n 8 32 32 1 1 5 ? ? 显然成立. ??8 分 a13 8 32

分 当 n ? 1 时,不等式左边 ?

6

(3)由 an ? 2n ,得 cos 设 bn ?

? an ?1
2 1

? cos(n ? 1)? ? (?1) n ?1 ,
,则不等式等价于 (?1) n ?1 ? ? bn .

1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) an ? 1 a1 a2 an

an ? 1 bn ?1 2n ? 1 2n ? 2 ? ? ? 1 ? bn ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) 1 ? ?1 ? ? an ?1 ? 1 ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ? 3 ? ? ? an ?1 ?

?

? 1 ,??9 分 4 n 2 ? 8n ? 3 ∵ bn ? 0 ,∴ bn ?1 ? bn ,数列 ?bn ? 单调递增.
假设存在这样的实数 ? ,使得不等式 (?1) n ?1 ? ? bn 对一切 n ? N* 都成立,则 ① 当 n 为奇数时,得 ? ? (bn ) min ? b1 ? ② 当 n 为偶数时,得 ?? ? (bn ) min 综上, ? ? (?

4 n 2 ? 8n ? 4

2 3 ; ??11 分 3 8 5 8 5 ,即 ? ? ? . ??12 分 ? b2 ? 15 15

8 5 2 3 , ) ,由 ? 是非零整数,知存在 ? ? ?1 满足条件.?? 12 分 15 3

(17) (重庆市十一中学 2013 年 3 月高三月考文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ) 小问 6 分, (Ⅱ) 小问 7 分) 已知数列 ?log 2 (an ? 1)? ( n ? N ? ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求使

1 2012 1 1 ? ??? 成立的最小正整数 n 的值. ? a2 ? a1 a3 ? a2 a n ?1 ? a n 2013

17、 (1)设等差数列的公差为 d, 由 a1 ? 3, a3 ? 9 得 2(log 2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8 即 d=1; 所以 log 2 (an ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n 即 an ? 2n ? 1 (2)因为 所以 即 ????3 分 ????6 分 ????8 分

1 1 1 ? n ?1 ? n n a n ?1 ? a n 2 ? 2 2

1 1 2012 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? 1? n ? ??11 分 a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an 2 2 2 2013 2 2

1 1 故: n ? 11 ,所以成立的最小正整数 n =11. ??13 分 ? n 2013 2

7

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