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专题34 坐标系与参数方程

时间:2017-11-26


教学内容

一、考纲解读
1.理解坐标系的作用; 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况; 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置, 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别, 能进行极坐标和 直角坐标的互化; 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆)的方程. 通过比较这些图形在极坐标系和 平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义; 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它 们的区别. 2.了解参数方程,了解参数的意义; 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程; 了解圆的平摆线、渐开线的形成过程,并能推导出它们的参数方程.

二、命题分析
通过近几年高考数据分析可以看出:
标系与参数方程是新课标的新增内容,只做选考内容.在高考中主要考两类题:一是参数方程、极坐标方程和曲 线的关系;二是由曲线的参数方程、极坐标方程求曲线的基本量.多以填空题为主,难度都不大.复习时应以基础为 重点,抓知识要点,少做难题.考查了参数方程和极坐标.预测明年的高考中仍以直线、圆、椭圆的参数方程.极坐 标方程为考查的重点.特别要注意与圆锥曲线有关的最值问题的参数方程的应用.

三、知识讲解
(一)高考目标
知识梳理 1.极坐标系 在平面内取一个定点 O,叫做极点,从 O 点引一条射线 ,叫作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆

时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系. 对于平面内任意一点 M,用ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 θ 叫做点 M 的 为始边,OM 为终边的角度,ρ 叫作点 M 的 ,

,有序实数对(ρ ,θ )叫作点 M 的极坐标,记作 M(ρ 、θ ).

(二)课前自主预习

知识梳理 1.极坐标系 (1)在平面内取一个定点 O,叫做极点,从 O 点引一条射线 ,叫作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通

常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系. (2)对于平面内任意一点 M,用ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 为始边,OM 为终边的角度,ρ 叫作点 M 的

,θ 叫做点 M 的 ,有序实数对(ρ ,θ )叫作点 M 的极坐标,记作 M(ρ 、θ ). (3)当点 M 在极点时,它的极径ρ =0,极角θ 可以取任意值;当ρ <0 时,点 M(ρ 、θ )的位置可以按下列规则确 定:作射线 OP,使∠xOP=θ ,在 OP 的反向延长线上取一点 M,使|OM|=|ρ |,这样点 M 的坐标就是(ρ ,θ ). 平面内一点的极坐标可以有无数对,当 k∈Z 时, 2.极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ 、θ ),如果限定ρ 取正值,θ ∈[0,2π ),那么除 原点外,平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的. 点 M 的极坐标(ρ ,θ )和直角坐标(x,y)的关系式为: θ 所取值要由(x,y)所在象限确定. 3.柱坐标 在平面极坐标系的基础上, 通过极点 O, 再增加一条与极坐标系所在平面垂直的 z 轴, 这样就建立了柱坐标系, 设 M(x, . 表示同一个点.

y,z)为空间一点并设点 M 在 xOy 平面上的投影点 P 的极坐标为(r、θ )则这样的三个数 r,θ ,z 构成的有序数组(r,
θ ,z)就叫做点 M 的柱坐标,这里规定 r,θ ,z 的变化范围为 0≤r<+∞,0≤θ <2π ,-∞<z<+∞ 特别地,r=常数,表示的是 θ =常数,表示的是 ; . . ;

z=常数,表示的是

显然点 M 的直角坐标与柱坐标的关系为 4.球坐标

设 M(x,y,z)为空间一点,点 M 可用这样三个有次序的数 r,φ ,θ 来确定,其中 r 为原点 O 到点 M 间的距离, → → φ 为有向线段OM与 z 轴正方向所夹的角,θ 为从 z 轴正半轴看,x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP的角, 这里 P 为点 M 在 xOy 平面上的投影,这样的三个数 r,φ ,θ 构成的有序数组(r,φ ,θ )叫做点 M 的球坐标. 这里 r,φ ,θ 的变化范围为 0≤r<+∞,0≤φ ≤π ,0≤θ <2π . 特别地 r=常数,表示的是 φ =常数,表示的是 θ =常数,表示的是 ; ; .

点 M 的直角坐标与球坐标的关系为: 5.直线的参数方程

.

经过点 P(x0,y0),倾斜角是α 的直线的参数方程为 → 其中 M(x,y)为直线上的任意一点,参数 t 的几何意义是从点 P 到 M 的位移,可以用有向线段PM的数量来表示. 经过两个定点 Q(x1,y1)P(x2,y2)(其中 x1≠x2)的直线的参数方程为

其中 M(x,y)为直线上的任意一点,参数 λ 的几何意义与参数方程①中的 t 几何意义虽然不同,它所反映的是

QM → 动点 M 的有向线段PQ的数量比 . MP
当 λ >0 时,M 为内分点;当 λ <0 且 λ ≠-1 时,M 为外分点;当 λ =0 时,点 M 与 Q 重合. 6.圆的参数方程

7.圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆的参数方程

y 中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆 x ? a b
2 2

2 2

? 1 (a>b>0)的参数方程是

中心在点

M (x , y )
0 0 0

,长、短半轴长分别为 a、b 的椭圆的参数方程为

(2)双曲线的参数方程

y 中心在原点,坐标轴为对称轴的双曲线 x ? a b
2 2

2 2

? 1 (a>0,b>0)参数方程为

(三)典型例题
1.命题方向:极坐标与直角坐标方程的互化 π [例 1] 在极坐标系中,P 是曲线 ρ =12sinθ 上的动点,Q 是曲线 ρ =12cos(θ - )上的动点,试求 PQ 的最 6 大值. [分析] 题. [解析] 以极点 O 为原点, 极轴为 x 轴建立直角坐标系 xOy.将方程 ρ =12sinθ 化为直角坐标方程为 x +y =12y. 它表示圆心为(0,6),半径为 6 的圆. π 将 ρ =12cos(θ - )化为直角坐标方程为 6 (x-3 3) +(y-3) =36,它表示以(3 3,3)为圆心,6 为半径的圆. 由圆的位置关系可知,当 P、Q 所在直线为连心线所在直线时,PQ 长度可取最大值,且最大值为 ?3 3? +3 +6+6=18. [点评] 注意转化时两边同乘以ρ 的技巧.结合圆的位置关系及两圆长度的最大值在何时取得,即可解得. 跟踪练习 1 π π π 已知△ABC 三顶点的极坐标分别是 A(5, )、B(5, )和 C(-4 3, ).试判断△ABC 的形状,并求出它的面 6 2 3 积. [解析] 如图所示,
2 2 2 2 2 2

考查极坐标方程与直角坐标方程互化公式的运用.即用互化公式 ?

?x=ρ cosθ , ? ? ?y=ρ sinθ .

由圆的几何性质解

AC=BC= 52+?4 3?2-2×5×4 3·cos150°= 133.
5 3 13 3 1 13 3 65 3 △ABC 是等腰三角形,易知 AB=5,AB 边上的高为 4 3+ = .∴S△ABC= × ×5= . 2 2 2 2 4

2.命题方向:极坐标方程的应用 [例 2] O 为已知圆 O′外的定点,点 M 在圆 O′上,以 OM 为边作正三角形 OMN,当点 M 在圆 O′上移动时,求点 N 的轨迹方程(O,M,N 逆时针排列). ρ =ρ 1, ? ? [分析] 建立极坐标系,由余弦定理得圆 O′的极坐标方程,再由点 M 在圆上且? π θ =θ 1+ , ? 3 ? 用代入法可得点

N 的轨迹的极坐标方程.
[解析] 以 O 为极点,以 O 和已知圆圆心 O′所在射线为极轴,建立极坐标系,如图 5 所示,设 OO′=ρ 0,圆的半 径为 r, 由余弦定理得圆 O′的极坐标方程为 ρ -2ρ 0ρ cosθ +ρ 0 -r =0. 设 N(ρ ,θ ),M(ρ 1,θ 1), ∵点 M 在圆上, ∴ρ 1 -2ρ 0ρ 1cosθ 1+ρ 0 -r =0.① 因为△OMN 为正三角形.
2 2 2 2 2 2

ρ =ρ 1 ? ? 所以? π θ =θ 1+ ? 3 ?

ρ 1=ρ , ? ? ?? π θ 1=θ - ? 3 ?

π 2 2 2 代入①得 ρ -2ρ 0ρ cos(θ - )+ρ 0 -r =0, 3 这就是点 N 的轨迹方程. [点评] 对于有些几何图形,选用极坐标系可以使建立的方程更加简单.本题涉及角度、长度,选用极坐标系则更易 将已知的几何条件转化为数量关系. 跟踪练习 2 ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为ρ =4cosθ ,ρ =-4sinθ . (1)写出⊙O1 和⊙O2 的圆心的极坐标;

(2)求经过⊙O1 和⊙O2 交点的直线的极坐标方程.

? 3 ? [解析] (1)⊙O1 和⊙O2 的圆心的极坐标分别为(2,0),?2, π ?. ? 2 ?
(2)以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ , 由ρ =4cosθ 得ρ 2=4ρ cosθ . 2 2 所以 x +y =4x. 2 2 即 x +y -4x=0 为⊙O1 的直角坐标方程. 2 2 同理 x +y +4y=0 为⊙O2 的直角坐标方程.
? ?x +y -4x=0, 由? 2 2 ?x +y +4y=0, ?
2 2

解得?

? ?x1=0, ?y1=0, ?

? ?x2=2 ? ?y2=-2 ?

.

即⊙O1 和⊙O2 交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为 y=-x. 3π π 其极坐标方程为 θ=- (ρ∈R)(也可写为 θ= (ρ∈R)). 4 4

3.命题方向:直线的参数方程 [例 3] 已知直线 l 经过点 A(1,2),倾斜角为 (1)求直线 l 的参数方程; (2)求直线 l 和圆 x2+y2=9 的两个交点到点 A 的距离之积. [分析] 根据直线参数方程中参数 t 的几何意义,运用一元二次方程根与系数的关系求解.

[解析]

t x=1+ ? 2 ? (1)直线 l 的参数方程为? 3 ? ?y=2+ 2 t

(t 为参数).

t x=1+ ? 2 ? (2)将? 3 ? ?y=2+ 2 t
2

代入 x +y =9.

2

2

得:t +(1+2 3)t-4=0,∴t1t2=-4. 由参数 t 的几何意义得直线 l 和圆 x +y =9 的两个交点到点 A 的距离之积为|t1t2|=4. [点评] 涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方程.直线的点斜式方程为 y-y0=k(x-x0). 其中 k=tanα(α≠90°),α 为直线的倾斜角,则参数方程为? 跟踪练习 3: 已知直线 l 的参数方程为? 两点. (1)写出直线 l 的一般方程及直线 l 通过的定点 P 的坐标;
?x=2+tcosα ? ? ?y=tsinα ?x=x0+tcosα, ? ? ?y=y0+tsinα
2 2

(t 为参数).

π x y ,(t 为参数,α 为倾斜角,且 α ≠ )与曲线 + =1 交于 A,B 2 16 12

2

2

(2)求|PA||PB|的最大值. [解析] (1)∵?
?x=2+tcosα ? ? ?y=tsinα

π ,(t 为参数,α 为倾斜角,且 α ≠ ) 2



y tsinα = =tanα , x-2 tcosα

∴直线 l 的一般方程 xtanα -y-2tanα =0. 直线 l 通过的定点 P 的坐标为(2,0). (2)∵l 的参数方程?
? ?x=2+tcosα , ?y=tsinα ?



椭圆方程为 + =1,右焦点坐标为 P(2,0). 16 12 ∴3(2+tcosα ) +4(tsinα ) -48=0, 即(3+sin α )t +12cosα ·t-36=0. ∵直线 l 过椭圆的右焦点, ∴直线 l 恒与椭圆有两个交点. 36 ∴|PA||PB|= 2 3+sin α
2 2 2 2 2

x2

y2

π ∵0≤α <π ,且 α ≠ , 2

∴0≤sin α <1,∴|PA||PB|的最大值为 12. 4.命题方向:圆锥曲线的参数方程 [例 4] 在圆 x +y -4x-2y-20=0 上求两点 A 和 B,使它们到直线 4x+3y+19=0 的距离分别最短和最长. [分析] 利用圆的参数方程求解.
? [解析] 将圆的方程化为参数方程: ?x=2+5cosθ ? ?y=1+5sinθ ?
2 2

(θ 为参数), 则圆上点 P 坐标为(2+5cosθ , 1+5sinθ ),

|20cosθ +15sinθ +30| 它到所给直线的距离 d= 2 2 4 +3 4 3 故当 cos(φ -θ )=1,其中 cosφ = ,sinφ = .即 θ =φ 时,d 最长,这时点 A 坐标为(6,4); 5 5 当 cos(φ -θ )=-1,即 θ =φ -π 时,d 最短,这时点 B 坐标为(-2,-2). [点评] 若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R,则圆的参数方程为? 角变换结合在一起,解决取值范围或最值问题.
? ?x=x0+Rcosθ, ?y=y0+Rsinθ, ?

0≤θ<2π.圆的参数方程常和三

跟踪练习 4:
?x=2+3cosθ ? 7 10 设曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数), 直线 l 的方程为 x-3y+2=0, 则曲线 C 上到直线 l 距离为 的 10 ?y=-1+3sinθ ?

点的个数为(

)

A.1 [答案] B

B.2

C.3

D.4

[解析] 曲线 C 为圆,圆心为(2,-1),半径 r=3,圆心到直线 x-3y+2=0 的距离 d= 3 7 10 < <3 由图形知点的个数为 2,故选 B. 2 10

|2+3+2|

7 10 = <3. 10 1+?-3?2

(五)思想方法点拨:
1.关于平面直角坐标系中的伸缩变换 函数 y=f(ω x)(x∈R)(其中ω >0,且ω ≠1)的图像,可以看作把 f(x)图像上所有点的横坐标缩短或伸长为原来 的(纵坐标不变)而得到的.函数 y=Af(x)(x∈R)(其中 A>0 且 A≠1)的图像,可以看作 f(x)图像上所有点的纵坐标 伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的. 2.关于极坐标系 (1)极坐标系的四要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,四者缺一不可. (2)由极径的意义知ρ ≥0,当极角θ 的取值范围是[0,2π )时,平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ ,θ )(ρ ≠0)建立 一一对应关系,约定极点的极坐标是极径ρ =0,极角可取任意角. (3)极坐标与直角坐标的重要区别:多值性.在直角坐标系中,点与直角坐标是“一对一”的关系;在极坐标系中, 由于终边相同的角有无数个,即点的极角不唯一,因此点与极点是“一对多”的关系.但不同的极坐标可以写出统一 的表达式.如果(ρ ,θ )是点 M 的极坐标,那么(ρ ,θ +2kπ )或(-ρ ,θ +(2k+1)π )(k∈Z)都可以作为点 M 的 极坐标. 3.参数方程和普通方程的互化 (1)化参数方程为普通方程:消去参数.常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去 法. (2)化普通方程为参数方程:引入参数,即选定合适的参数 t,先确定一个关系 x=f(t)〔或 y=φ (t)〕 ,再代入普通 方程 F(x,y)=0,求得另一关系 y=φ (t)〔或 x=f(t)〕 . (3)消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量 x(或 y)的取值范围. 4.直线与圆锥曲线的参数方程的应用 (1)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如下常用结论: ①直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2,则弦长 l=|t1-t2|; ②定点 M0 是弦 M1M2 的中点?t1+t2=0; ③设弦 M1M2 中点为 M,则点 M 对应的参数值 tM= (由此可求|M2M|及中点坐标). (2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点,从而讨论最值或距离等问题.

四、强化作业
一、选择题
?x=-1-t ? 1.(文)极坐标方程 ρ=cosθ 和参数方程? (t 为参数)所表示的图形分别是( ? ?y=2+t

)

A.直线、直线

B.直线、圆

C.圆、圆

D.圆、直线

[答案] D [解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化和直线的参数方程形式. ρ= x2+y2 ? ? 把? 代入 ρ=cosθ,可得 x2+y2-x=0.此方程所表示的图形是圆. x cosθ= 2 2 ? x +y ?
?x=-1-t ? 消去方程? 中的参数 t,可得 x+y-1=0,此方程所表示的图形是直线. ?y=2+t ? ? ?x=-1-t, (理)极坐标方程 ρ=cosθ 和参数方程? (t 为参数)所表示的图形分别是( ? ?y=2+3t

)

A.圆、直线 [答案] A

B.直线、圆

C.圆、圆

D.直线、直线

? ?x=-1-t [解析] 极坐标方程 ρ=cosθ 化为普通方程为:x2+y2=x,参数方程? ,可化为 3x+y+1=0. ?y=2+3t ?

π 2π 8π 5π 4π 2.若 P(-2,- )是极坐标系中的一点,则 Q(2, )、R(2, )、M(-2, )、N(2,2kπ- )(k∈Z)四点中与 P 3 3 3 3 3 重合的点有____________个( A.1 [答案] D π 2π π π [解析] (-2,- )的统一形式(2,2kπ+ )或(-2,2kπ- )(k∈Z),故四个点都与 P(-2,- )重合. 3 3 3 3 B.2 ) C.3 D.4

3.抛物线 x2-2y-6xsinθ-9cos2θ+8cosθ+9=0 的顶点的轨迹是(其中 θ∈R)( A.圆 [答案] B B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

)

? ?x=3sinθ 1 [解析] 原方程变形为:y= (x-3sinθ)2+4cosθ.设抛物线的顶点为(x,y),则? ,消去参数 θ 得轨迹方 2 ?y=4cosθ ?

x2 y2 程为 + =1.它是椭圆. 9 16

? ?? ? ?x=3cosθ ,0<θ<π? ,集合 T= ?x,y? 4.设集合 S=??x,y??? ?y=3sinθ ? ?? ?
素,则 b 的取值范围是( A.|b|≤3 2 [答案] C ) B.b∈(-3,3 2) C.b∈(3,3 2)

? ? ? ? ?

??x=- 22t ? ? ?? 2 ??y=- 2 t+b?
D.b∈(0,3 2)

,若 S∩T 中有两个元

[解析] 如图,集合 S 表示的图形是上半圆,集合 T 表示的图形是直线 y=x+b.

∵S∩T 中有两个元素,∴b∈(3,3 2).应选 C. 5.直线 y= 之和为( 7 A. π 6 [答案] C [解析] 设直线与圆交于点( 3+ 3cosθ,1+ 3sinθ) ∵点在直线 y= ∴1+ 3sinθ= 3 x+ 2上, 3 3 ( 3+ 3cosθ)+ 2 3 ) 5 B. π 4 4 C. π 3 5 D. π 3

?x= 3+ 3cosθ, 3 x+ 2与圆心为 D 的圆? (θ∈[0,2π))交于 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角 3 ?y=1+ 3sinθ

π 2 π π 11 即 sin(θ- )= ,∵- <θ- < π 6 2 6 6 6 π π π 3 5 ∴θ- = 或 θ- = π, 解得 θ1= π 6 4 6 4 12 11 θ2= π,不妨设 A( 3+ 3cosθ1,1+ 3sinθ1), 12 B( 3+ 3cosθ2,1+ 3sinθ2),则 kAD=tanθ1, ∴直线 AD 的倾斜角为 θ1= 5 11 π,同理直线 BD 的倾斜角为 θ2= π, 12 12

4 ∴ 倾斜角之和为 θ1+θ2= π. 3 二、填空题
? ?x=t 6.已知圆 C 的圆心是直线? ,(t 为参数)与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程 ?y=1+t ?

为______. [答案] (x+1)2+y2=2 |-1+3| [解析] 直线为 y=x+1,故圆心坐标为(-1,0),半径 R= = 2, 2 则圆的方程:(x+1)2+y2=2. 7.以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标

? ?x=1+2cosα π 方程为 θ= (p∈R),它与曲线? (α 为参数)相交于两点 A 和 B,则|AB|=________. 4 ?y=2+2sinα ?

[答案]

14

[解析] 本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程之间的关系,以及直线被圆截得的弦长等基础知识. π 极坐标方程为 θ= (p∈R)的直线方程为 y=x, 4
? ?x=1+2cosα 2 参数方程为? (α 为参数)的圆的普通方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2)到直线 y=x 的距离为 , 2 ?y=2+2sinα ?

∴弦 AB 的长为 2

1 4- = 14. 2

8.文)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ(cosθ+sinθ)=1 与 ρ(sinθ-cosθ)=1 的交点的极坐标为__________. π? [答案] ? ?1,2?

?x+y=1 ?x=0 ? ? [解析] 本题考查了直角坐标系与极坐标系方程的互化,原极坐标方程化为直角坐标方程? ?? 再 ?y-x=1 ?y=1 ? ?

π 1, ?.体现了转化与化归的数学思想. 化为相应的极坐标系为点? ? 2? (理)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=-1 的交点的极坐标为________. 3π [答案] ( 2, ) 4 [解析] 由 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=1 得 2sinθcosθ=-1, 3π ∴sin2θ=-1,θ= , 4 3π ∴ρ=2sin = 2. 4
? ?x=cosα, 9 已知圆 C 的参数方程为? (α 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极 ?y=1+sinα ?

坐标方程为 ρsinθ=1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为____________. [答案] (-1,1)(1,1) [解析] 由题意知圆的方程为 x2+(y-1)2=1,直线方程为 y=1,故交点为(-1,1),(1,1). 三、解答题 π? 10.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρcos? ?θ-3?=1, M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

π? 3 ?1 ? [解析] (1)由 ρcos? ?θ-3?=1 得 ρ?2cosθ+ 2 sinθ?=1, 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2, θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0), π 2 3 2 3 π? θ= 时,ρ= ,所以 N? . 2 3 ? 3 ,2? (2)M 点的直角坐标为(2,0), 2 3? N 点的直角坐标为?0, , 3 ? ? 所以 P 点的直角坐标为?1,

?

3? 2 3 π? ,则 P 点的极坐标为? , 3? ? 3 ,6?

π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= ,ρ∈(-∞,+∞). 6 π 11.两条曲线的极坐标方程分别为 ρ=1 与 ρ=2cos(θ+ ),它们相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 3 [解析] 解法 1:由 ρ=1 得 x2+y2=1, π 又∵ρ=2cos(θ+ )=cosθ- 3sinθ, 3 ∴ρ2=ρcosθ- 3ρsinθ. ∴x2+y2-x+ 3y=0.

?x +y =1 1 3 由? 2 2 得,A(1,0),B?- ,- ?, 2? ? 2 ?x +y -x+ 3y=0
∴|AB|=

2

2

?1+1?2+?0+ 3?2= 3. ? 2? ? 2?

ρ=1 ? ? ? π? 1 解法 2:由? π? 得,cos?θ+3?=2. ? ? ?ρ=2cos?θ+3? π π 5π ∵0≤θ<2π,∴θ+ = 或 , 3 3 3 4π? 4π ∴θ=0 或 ,∴A(1,0),B? ?1, 3 ?, 3 ∴|AB|= 4π? 12+12-2×1×1· cos? ?2π- 3 ?= 3.

[点评] 在极坐标系下求两点间的距离:(一)转化为直角坐标求解.(二)用余弦定理求解. 12.在极坐标系中已知圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的值. [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查转化问题的能力. 将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为 3x+4y+a=0.

由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为 1,则有 |3×1+4×0+a| =1,解得 a=-8 或 a=2. 32+42 故 a 的值为-8 或 2.

? ?x=cosθ 13.已知 P 为半圆 C:? (θ 为参数,0≤θ≤π)上的点,点 A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点 M 在射线 ?y=sinθ ?

π OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3 (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. [分析] 解题思路是通过对极径、极角的理解,写出极坐标,再利用参数方程中斜率意义(即 cosα,sinα),写出 参数方程. π π [解析] (1)由已知,M 点的极角为 ,且 M 点的极径等于 , 3 3 π π? 故点 M 的极坐标为? ?3,3?. π (2)M 点的直角坐标为? , ?6

? ?x=1+? ?6-1?t, 3π? ,A(1,0),故直线 AM 的参数方程为? 6 ? 3π ?y= 6 t,

π

(t 为参数).


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