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2009年全国名校高三模拟试题分类汇编1

时间:2012-10-29


2009 年全国名校高三模拟试题分类汇编 圆锥曲线
三、解答题(第一部分) 1、(山东省临沂高新区实验中学 2008-2009 学年高三 12 月月考)已知椭圆 C 过点
6 2 ), F ( ? 2 , 0 ) 是椭圆的左焦点,P、Q 是椭圆 C 上的两个动点,且|PF|、|MF|、|QF|

M (1,

成等差数列。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (3)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求|PB|的最小值及相应点 P 的坐标。

2、(陕西省西安铁一中 2009 届高三 12 月月考)如图,在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆
C: x a
2 2

?

y b

2 2

?1

( a ? b ? 0 ) 的离心率 e=

3 2

,左右两个焦分别为 F1、 F 2 .过右焦点 F 2 且

与 x 轴垂直的直线与椭圆 C 相交 M、N 两点,且|MN|=1 . (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; ??? ??? ? ? (Ⅱ) 设椭圆 C 的左顶点为 A,下顶点为 B,动点 P 满足 PA ? AB ? m ? 4 , m ? R )试 ( 求点 P 的轨迹方程,使点 B 关于该轨迹的对称点落在椭圆 C 上.

3、(上海市张堰中学高 2009 届第一学期期中考试)椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ?a ? b ? 0 ? 的两个

焦点为 F1 、 F 2 ,点 P 在椭圆 C 上,且 PF 1 ? F1 F 2 ,且 PF 1 ? (1)求椭圆 C 的方程.

4 3

, PF 2 ?

14 3

.

(2)若直线 l 过圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心 M ,交椭圆 C 于 A 、 B 两点,且 A 、 B
2 2

关于点 M 对称,求直线 l 的方程.

4、(天津市汉沽一中 2008~2009 学年度高三第四次月考试题)在直角坐标平面内,已知点
A (2, 0), B ( ? 2, 0) , P 是平面内一动点,直线 PA 、 PB 斜率之积为 ?

3 4

.

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
1 (Ⅱ)过点 ( , 0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线 MA 2

的斜率 k 的取值范围.

5、(厦门市第二外国语学校 2008—2009 学年高三数学第四次月考)在直角坐标系 xOy 中,
x a
2 2

椭圆 C1:

?

y b

2 2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2.F2 也是抛物线 C2: y ? 4 x
2

的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|MF2|= (Ⅰ)求 C1 的方程;

5 3



(Ⅱ)平面上的点 N 满足 MN ? MF 1 ? MF 2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A,B 两点,若
??? ??? ? ? OA ?OB ? 0 ,求直线 l 的方程.

6、(重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题)已知双曲线

x

2

3

?

y

2

9

? 1, ,P 是其右支上任

一点,F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,Q 是 P F1 上的点,N 是 F2Q 上的一点。且有
PN ? F 2 N ? 0 , F 2 N ? NQ .

求 Q 点的轨迹方程。

7、 (2009 届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)已知在平面直角坐标系 xoy 中, ???? ??? ? 向量 j ? ( 0 ,1), ? OFP 的面积为 2 3 ,且 OF ? FP ? t ,
? 3 ??? ? OP ? j .(1)设 4 ? t ? 4 3 , 求向量 OF 与 FP的夹角 ? 的取值范围; 3 (2)设以原点 O 为中心,对称轴在坐标轴上,以 F 为右焦点的椭圆经过点 M,且 ???? ? OM ?

| OF |? c , t ? ( 3 ? 1) c , 当 | OP | 取最小值时,求椭圆的方程.
2

8、 (江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)椭圆 C 的中心为坐标原 点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e = 2 2 ,椭圆上的点到焦点的最短距离为 1- , 直线 l 与 2 2

?? ? ?? ? y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP = ? PB .
(1)求椭圆方程; ?? ? ?? ? ?? ? (2)若 OA+ ? OB = 4OP ,求 m 的取值范围.

9、(广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考)已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直 线 l : x ? ? 1 相切, (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 两点,当 y1 y 2 ? ? 16 时,直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

10、(广东省佛山市三水中学 2009 届高三上学期期中考试)如图,已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1), 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截 距为 m ( m ? 0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不同点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

11、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)已知椭圆的两个焦点 F1 (0,1) 、 F2 (0, ? 1) ,直 线 y ? 4 是它的一条准线, A1 、 A2 分别是椭圆的上、下两个顶点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设以原点为顶点, A1 为焦点的抛物线为 C ,若过点 F1 的直线与 C 相交于不同
M 、 N 的两点、 ,求线段 M N 的中点 Q 的轨迹方程.

? x ? 4k 2 ,消去参数 k ,得到 x ? 4( y ? 1) 为所求轨迹方程. ( x , y ) ,令 ? 2 ? y ? 4k ? 1

12 、 ( 湖 北 省 武 汉 市 教 科 院 2009 届 高 三 第 一 次 调 考 ) 如 图 , 设 F 是 椭 圆
C: x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左焦点,直线 l 为其左准线,直线 l 与 x 轴交于点 P,线段

MN 为椭圆的长轴,已知
| MN |? 8, 且 | PM |? 2 | MF | .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A、B 求证:∠AFM=∠BFN; (3) (理科)求三角形 ABF 面积的最大值。

13、(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)已知圆 C 方程为: x 2 ? y 2 ? 4 . (Ⅰ)直线 l 过点 P ?1, 2 ? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量
???? ???? ???? ? OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

14、(湖北黄陂一中 2009 届高三数学综合检测试题)若 F1 , F 2 为双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的左、右

焦点, O 为坐标原点,点 P 在双曲线左支上,点 M 在右准线上,且满足:
???? ? ???? ? ???? ? ???? ??? ? ? OF1 OM ? ? F1 O ? PM , OP ? ? ( ???? ? ???? )( ? ? 0) . | OF1 | | OM |

(1)求此双曲线的离心率; (2)若此双曲线过点 N (2,
???? ? ???? ?

且其虚轴端点分别为 B 1 , B 2 3) ,
???? ???? ? ?

( B 1 在 y 轴正半轴上), A , B 在 点

双曲线上,且 B 2 A ? ? B 2 B , 当 B1 A ?B1 B ? 0 时,求直线 A B 的方程.

x a 15、 (江苏运河中学 2009 年高三第一次质量检测)设椭圆 C:

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 与 AF 垂直的直线分别交椭圆 C 与 x 轴正半轴
??? 8 ??? ? ? AP = PQ 5 于点 P、Q,且 .

⑴求椭圆 C 的离心率; ⑵若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l: x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.

16、(安徽省潜山县三环中学 2009 届高三上学期第三次联考)设椭圆方程为 x ?
2

y

2

4
?

=1,求
?

点M (0,1) 的直线 l 交椭圆于点 A、 O 为坐标原点, P 满足 OP ? B, 点 当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程.

?

1 2

( OA ? OB ) ,

17 、 ( 安 徽 省 潜 山 县 三 环 中 学 2009 届 高 三 上 学 期 第 三 次 联 考 ) 已 知 椭 圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

=1( a ? b ? 0 )的离心率为

6 3

,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求△ AOB 面积的最大值.
3 2



18、(广东省广州市 2008-2009 学年高三第一学期中段学业质量监测)已知长方形 ABCD, AB=2 2 , BC=1. 以 AB 的中点 O 为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 xoy . (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆 恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
y

D

C

A

O
图8

B

x

,0 ,e ,? 19、(江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考)已知向量 e1 ? ( a? ? ) ?? 2 ? ( 0 ?1) ,经过定点

A ( ? a? ? ) 且方向向量为 ? e1 ? ? e 2 的直线与经过定点 B ( a? ? ) 且方向向量为 2 ? e1 ? e 2 的 ,0 ,0
直线交于点 M,其中 ? ? R,常数 a>0. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)若 a ? 取值范围.
6 2

,过点 F (1?? ) 的直线与点 M 的轨迹交于 C、D 两点,求 FC ? FD 的 ,0

20 、 ( 辽 宁 省 大 连 市 第 二 十 四 中 学 2009 届 高 三 高 考 模 拟 ) 如 图 , 已 知 直 线
L : x ? my ? 1过椭圆 C : x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的右焦点 F,且交椭圆 C 于 A,B 两

点,点 A,F,B 在直线 G : x ? a 上的射影依次为点 D,K,E.
2

(1)若抛物线 x ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程;
2

(2)对于(1)中的椭圆 C,若直线 L 交 y 轴于点 M,且 MA ? ?1 AF , MB ? ? 2 BF , 当 m 变化时,求 ? 1 ? ? 2 的值; (3)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于一定点 N?若交于定 点 N,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由.

21、(2009 年广东省广州市高三年级调研测试)设椭圆 C :
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心

率为 e =

,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P ? x 0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P1 ? x1 , y 1 ? ,求 3 x1 ? 4 y 1 的 取值范围.

22、 (广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)设动点 P ( x , y )( x ? 0) 到
1 1 定点 F ( , 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 .记点 P 的轨迹为曲线 C 2 2

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)设圆 M 过 A (1, 0) ,且圆心 M 在 P 的轨迹上, EF 是圆 M 在 y 轴上截得的弦, 当 M 运动时弦长 | EF | 是否为定值?请说明理由.

23、(广西桂林十八中 06 级高三第二次月考)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A ,B 两点 A, B 不是左, ( 右顶点) 且以 AB , 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

24、(黑龙江省双鸭山一中 2008-2009 学年上学期期中考试)已知双曲线 G 的中心在原点, 它的渐近线与圆 x ? y ? 10 x ? 20 ? 0 相切,过点 P(-4,0)作斜率为
2 2

1 4

的直线 l,使得 l 和 G
2

交于 A、B 两点,和 y 轴交于点 C,并且点 P 在线段 AB 上,又满足 | PA | ? | PB |? | PC | (1)求双曲线 G 的渐近线方程 (2)求双曲线 G 的方程

(3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴,如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点轨 迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程。

3 25、(广东省湛江师范学院附中 2009 年高考模拟试题)设点 F ( 0 , ), 动圆 P 经过点 F 且和直 2 3 线 y ? ? 相切,记动圆的圆心 P 的轨迹为曲线 W. 2

(Ⅰ)求曲线 W 的方程; (Ⅱ)过点 F 作互相垂直的直线 l1 , l 2 ,分别交曲线 W 于 A,B 和 C,D.求四边形 ABCD 面 积的最小值.

26、(广东省湛江市实验中学 2009 届高三第四次月考)已知 A、B、C 是椭圆
m: x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 上的三点,其中点 A 的坐标为 ( 2 3 , 0 ) ,BC 过椭圆 m 的

中心,且 AC ? BC ? 0 , | BC |? 2 | AC | 。 (Ⅰ)求椭圆 m 的方程; (Ⅱ)过点 M ( 0 , t ) 的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点,且 | DP |? | DQ | .求实数 t 的取值范围。

27、已知圆 O: x ? y ? 1 ,点 O 为坐标原点,一条直线 l : y ? kx ? b ( b ? 0 ) 与圆 O 相切
2 2

并与椭圆

x

2

? y

2

2

? 1 交于不同的两点 A、B

(1)设 b ? f (k ) ,求 f (k ) 的表达式; (2)若 OA ? OB ? 求直线 l 的方程; 3, 2 3 (3)若 OA ? OB ? m ( ? m ? ) 求三角形 OAB 面积的取值范围. 3 4 ,
2

28、(福建省莆田第四中学 2009 届第二次月考)已知点 P 与定点 F (1, 0 ) 的距离和它到 定直线 l: x ? 4 的距离之比是 1 : 2. (1)求点 P 的轨迹 C 方程; (2)过点 F 的直线交曲线 C 于 A, B 两点, A, B 在 l 上的射影分别为 M, N. 求证 AN 与 BM 的公共点在 x 轴上.

29、(四川省万源市第三中学高 2009 级测试)已知 A.B 是椭圆 8 x ? y ? 2 上两点,O 是
2 2

坐标原点,定点 E (1, 0 ) ,向量 OA . OB 在向量 OE 方向上的投影分别是 m.n ,且
OA ? OB ? ? 7mn ,动点 P 满足 OP ? OA ? OB

(Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 E 的直线 l 与 C 交于两个不同的点 M.N,求 EM ? EN 的取值范围。

30、(天津市汉沽一中 2008~2008 学年度第五次月考)设 A,B 分别是直线 y ?
??? ? x 上的两个动点,并且 | AB |?

2 5 5

x和

y??

2 5 5

??? ??? ??? ? ? ? 20 ,动点 P 满足 OP ? OA ? OB .记动点 P 的

轨迹为 C. (I) 求轨迹 C 的方程; (II)若点 D 的坐标为(0,16) ,M、N 是曲线 C 上的两个动点,且 DM ? ? DN ,求实数

? 的取值范围.

31、(湖北省武汉市第四十九中学 2009 届高三年级十月月考)已知 A、B 分别是椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的左右两个焦点,O 为坐标原点,点 P (? 1,

2 2

)在椭圆上,线段 PB 与 y 轴

的交点 M 为线段 PB 的中点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求

sin A ? sin B sin C

的值。

32、(四川省成都七中 2009 届高三零诊模拟考试)已知抛物线 y=x2 上的两点 A、B 满足
??? ? ??? ? ???? ??? ? ? ??? ? AP =? PB ,?>0,其中点 P 坐标为(0,1), O M = O A + OB ,O 为坐标原点.

(I) (II)

求四边形 OAMB 的面积的最小值; 求点 M 的轨迹方程.

33、(四川省成都市 2008—2009 学年度上学期高三年级期末综合测试)已知椭圆的一个顶点 为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m ( k ? 0 ) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

34、(四川省泸县六中高 09 级二诊模拟数学试题)已知抛物线 y=x2 上的两点 A、B 满足 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? ??? ? AP =? PB ,?>0,其中点 P 坐标为(0,1), O M = O A + OB ,O 为坐标原点. (1)求四边形 OAMB 的面积的最小值; (2)求点 M 的轨迹方程.

35、(安徽省巢湖市 2009 届高三第一次教学质量检测)已知 A ( ? 3, 0), B ( 3, 0) ,动点 P 满
??? ? ??? ? 足 PA ? PB ? 4 .

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
???? ???? ? 3 (Ⅱ)过点 (1, 0) 作直线 l 与曲线 C 交于 M 、 N 两点,若 O M ? O N ? ? ,求直线 l 的 5 方程;

(Ⅲ)设 T 为曲线 C 在第一象限内的一点,曲线 C 在 T 处的切线与 x、y 轴分别交于点
E、 F ,求 ? OEF 面积的最小值.

36、(苍山诚信中学· 理科)如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 8, 定点 A (1,0 ), M 为圆上一
2 2

动点,点 P 在 AM 上, 点 N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP , NP ? AM ? 0 , 点 N 的轨迹为曲线 E. (I)求曲线 E 的方程; (II)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 G、 H(点 G 在点 F、H 之间) , 且满足 FG ? ? FH ,求 ? 的取值范围.

37、(苍山县· 理科)已知定点 A(-2,0) ,动点 B 是圆 F : ( x ? 2 ) ? y ? 64 (F 为圆心)
2 2

上一点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)是否存在过点 E(0,-4)的直线 l 交 P 点的轨迹于点 R,T,且满足 OR ? OR ? (O 为原点) ,若存在,求直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.
16 7

38、(济宁· 理科)设椭圆 C :

x a

2 2

?

y

2

2

? 1 ( a ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,A 是椭圆 C

上的一点,且 AF 2 ? F1 F2 ? 0 ,坐标原点 O 到直线 AF 1 的距离为 (1)求椭圆 C 的方程;

1 3

| OF 1 | .

(2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P (? 1 , 0 ) ,较 y 轴于点 M,若
MQ ? 2 QP ,求直线 l 的方程.

39、(临沂一中· 理科)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴的负半轴上,过其上一点
P ( x 0 , y 0 )( x 0 ? 0 ) 的切线方程为 y ? y 0 ? 2 ax 0 ( x ? x 0 )( a 为常数).

(I)求抛物线方程; (II) 斜率为 k 1 的直线 PA 与抛物线的另一交点为 A, 斜率为 k 2 的直线 PB 与抛物线的另 一交点为 B (A、 两点不同)且满足 k 2 ? ? k 1 ? 0 ( ? ? 0 , ? ? ? 1), 若 BM ? ? MA , B , 求证线段 PM 的中点在 y 轴上; (III)在(II)的条件下,当 ? ? 1, k 1 ? 0 时,若 P 的坐标为(1,-1) ,求∠PAB 为钝 角时点 A 的纵坐标的取值范围.

40、(临沂高新区· 理科)如图,已知椭圆 C:

x2 5

?

y2 3

?

m2 2

( m ? 0 ) ,经过椭圆 C 的右焦点

F 且斜率为 k(k≠0)的直线 l 交椭圆 G 于 A、B 两点,M 为线段 AB 的中点,设 O 为椭圆 的中心,射线 OM 交椭圆于 N 点. (1)是否存在 k,使对任意 m>0,总有 OA ? OB ? ON 成立?若存在,求出所有 k 的值; (2) OA ? OB ? ? 若
1 2

?m

3

? 4m , 求实数 k 的取值范围.

?

三、解答题(第二部分) 41、(烟台· 理科)已知动点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上,且满足|AB|=2,点 P 在线段 AB 上, 且
AP ? t PB ( t 是不为零的常数 ). 设点 P 的轨迹方程为 c。

(1)求点 P 的轨迹方程 C; (2)若 t=2,点 M、N 是 C 上关于原点对称的两个动点(M、N 不在坐标轴上) ,点 Q 3 坐标为 ( ,3 ), 求△QMN 的面积 S 的最大值。 2

42、(枣庄市· 理科)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 M(1,—3) 、N(5,1) , 若动点 C 满足 OC ? t OM ? (1 ? t ) ON ( t ? R ), 且点 C 的轨迹与抛物线 两点。 (I)求证: OA ? OB ; (II) x 轴上是否存在一点 P ( m ,0 )( m ? 0 ) , 在 使得过点 P 的直线 l 交抛物线 y ? 4 x 于
2

y ? 4 x 交于 A、 B
2

D、E 两点,并以线段 DE 为直径的圆都过原点。若存在,请求出 m 的值及圆心 M 的轨迹方程;若不存在,请说明理由。

43、(聊城一中· 理科)已知椭圆的一个顶点为 A(0, ? 1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线
x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.

1、求椭圆的方程, 2、设椭圆与直线 y ? kx ? m ( k ? 0 ) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

44、(江苏省梁寨中学 08-09 学年高三年级调研考试)已知菱形 ABCD 的顶点 A, C 在椭圆
x ? 3 y ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1.
2 2

1) (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 时,求直线 AC 的方程;

(Ⅱ)当 ? ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.
?

45、(广东省汕头市潮南区 08-09 学年度第一学期期末高三级质检)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) (c>0)的准线 ? (准线方程 x= ?

a

2

c

,其中 a

为长半轴,c 为半焦距)与 x 轴交于点 A, OF ? 2 FA ,过点 A 的直线与椭圆相交于点 P、 Q。 (1) 求椭圆方程; (2) 求椭圆的离心率; (3) 若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程。

46、(重庆奉节长龙中学 2009 年高考数学预测卷二)P 是以 F1、 F2 为焦点的双曲线 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

???? ???? ? ???? ???? ? ? 1 (a>0,b>0)上的一点,已知 PF1 ? PF2 =0, | PF1 |? 2 | PF2 | .

(1)试求双曲线的离心率 e ;
???? ???? 27 (2)过点 P 作直线分别与双曲线两渐近线相交于 P1、P2 两点,当 OP1 ? OP2 ? ? , 4 ???? ???? 2 PP1 ? PP2 = 0,求双曲线的方程.

47、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知常数 m > 0 ,向量 a = (0, 1),向量 b = (m, 0),经过点 A(m, 0),以λ a+b 为方向向量的直线与经过点 B(- m, 0),以λ b- 4a 为方向向量的直线交于点 P,其中λ ∈R. (1) 求点 P 的轨迹 E; (2) 若 m
? 2 5

,F(4, 0),问是否存在实数 k 使得以 Q(k, 0)为圆心,|QF|为半径的圆与轨迹 E
5

交于 M、N 两点,并且|MF| + |NF| = 3

.若存在求出 k 的值;若不存在,试说明理由.

48、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)双曲线的实半轴与虚半轴长的积为 3 ,它的 两焦点分别为 F1、F2,直线 l 过 F2 且与直线 F1F2 的夹角为 ? ,且 tan ? ?
21 2

, l 与线段

F1F2 的垂直平分线的交点为 P,线段 PF2 与双曲线的交点为 Q,且 PQ : QF 2 ? 2 : 1 ,建 立适当的坐标系,求双曲线的方程.

49、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)在直角坐标平面上,O 为原点,M 为动点,
| OM |? 5 , ON ? 2 5 5 OM . 过点 M 作 MM1⊥y 轴于 M1,过 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1,

OT ? M 1 M ? N 1 N . 记点 T 的轨迹为曲线 C,点 A(5,0) 、B(1,0) ,过点 A 作直线 l

交曲线 C 于两个不同的点 P、Q(点 Q 在 A 与 P 之间). (1)求曲线 C 的方程; (2)证明不存在直线 l,使得|BP|=|BQ|; (3)过点 P 作 y 轴的平行线与曲线 C 的另一交点为 S,若 AP ? t AQ ,证明 SB ? t BQ .

50、 (2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知离心率为

5 2

的双曲线 C 的中心在坐标原

点,左、右焦点 F1、F2 在 x 轴上,双曲线 C 的右支上一点 A 使 AF 1 ? AF 2 ? 0 且 ? F1 AF 2 的 面积为 1。 (1) 求双曲线 C 的标准方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m 与双曲线 C 相交于 E、F 两点(E、F 不是左右顶点) ,且以 EF 为直径的圆过双曲线 C 的右顶点 D。求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

51、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)求与双曲线 过点 A ? 3, 2 3 的双曲线的方程。
x
2

x

2

9

?

y

2

16

? 1 有公共渐进线,且经

?

?

求与双曲线

9

?

y

2

16

? 1 有公共渐进线,且经过点 A ? 3, 2 3 的双曲线的方程。

?

?

52、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知 F1 , F2 分别是双曲线 3 x ? 5 y ? 75 的左
2 2

右焦点, P 是双曲线上的一点,且 ? F1 PF2 =120 ? ,求 ? F1 PF2 的面积 已 知 F1 , F2 分 别 是 双 曲 线 3 x ? 5 y ? 75 的 左 右 焦 点 , P 是 双 曲 线 上 的 一 点 , 且
2 2

? F1 PF2 =120 ? ,求 ? F1 PF2 的面积

53、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)证明:双曲线上任意一点到两条渐进线的距离 的乘积是一个定值 证明:双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值

54、 (2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知半圆 x ? y ? 1( y ? 0) 的直径为 AB , 点
2 2

P 在半圆上,双曲线以 A , B 为焦点,且过点 P 。若 ? PAB ?
2 2

?
3

,求双曲线的方程。

已知半圆 x ? y ? 1( y ? 0) 的直径为 AB ,点 P 在半圆上,双曲线以 A , B 为焦点,且过点
P 。若 ? PAB ?

?
3

,求双曲线的方程。

55、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知圆:x2+y2=c2(c>0),把圆上的各点纵坐标 不变,横坐标伸长到原来的 2 倍得一椭圆。 ⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与 c 无关的常数; ⑵设圆与 x 轴交点为 P, 过点 P 的直线 l 与圆的另一交点为 Q, 直线 l 与椭圆的两交点为 M、 N,且满足 MN ?
2 PQ ,求直线 l 的倾斜角。

56、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知点(x,y)在椭圆 C: >0)上运动 y ′ ⑴求点 ( , xy ) 的轨迹 C 方程; x

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b

? 3? ′ ? 内 y=f(x)有最大值,试求椭圆 C 的 ⑵若把轨迹 C 的方程表达式记为:y=f(x),且在 ? 0 , ? 3 ? ? ?

离心率的取值范围。

57、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知过椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 右焦点 F

且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,N 为弦的中点; 又函数 y ? a ? sin x ? 3b ? cos x 的图像的一条对称轴的方程是 x ?

?
6



(1) 求椭圆 C 的离心率 e 与 k ON ; (2) 对于任意一点 M ? C ,试证:总存在角 ? (? ? R ) 使等式: OM ? cos ? OA ? sin ? OB 成立.

58、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知圆 k 过定点 A(a,0)(a>0),圆心 k 2 在抛物线 C:y =2ax 上运动,MN 为圆 k 在 y 轴上截得的弦. (1)试问 MN 的长是否随圆心 k 的运动而变化? (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线 C 的准线与圆 k 有怎样的位置关系?

59、 (2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)如图, 已知椭圆

x

2

m

?

y

2

m ?1

=1(2≤m≤5),

过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为 A、B、C、D,设 f(m)=||AB|-|CD|| (1)求 f(m)的解析式; (2)求 f(m)的最值.

60、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, 1 右准线为 l : x ? , 一条渐近线的方程是 y ? 3 x . 过双曲线 C 的右焦点 F2 的一条弦交 2 双曲线右支于 P、Q 两点,R 是弦 PQ 的中点. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若在 l 的左侧能作出直线 m:x=a,使点 R 在直线 m 上的射影 S 满足 PS ? QS ? 0 , 当点 P 在曲线 C 上运动时,求 a 的取值范围.

61、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)设 F1 , F 2 分别是椭圆的 点。 (Ⅰ)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点,且 PF 1 ? PF 2 ? 求点 P 的坐标。
5 4

x

2

4

? y ? 1 左,右焦
2



(Ⅱ)设过定点 M ( 0 , 2 ) 的直线与椭圆交于不同的两点 A, B ,且 ? AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。

62、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)抛物线 C 的方程为
y ? ax ( a ? 0 ), 过抛物线 C 上一点 P ( x 0 , y 0 )( x 0 ? 0 ) ,作斜率为 k 1 , k 2 的两条直线,分别
2

交抛物线 C 于 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 两点(P、A、B 三点互不相同) ,且满足
k 2 ? ? k 1 ? 0 ( ? ? 0且 ? ? ? 1).

(1)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (2)设直线 AB 上一点 M 满足 BM ? ? MA , 证明:线段 PM 的中点在 y 轴上; (3)当 ? ? 1 时,若点 P 的坐标为(1,—1) ,求∠PAB 为钝角时,点 A 的纵坐标的取 值范围.

63、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)如图,已知点 F(1,0) ,直线 l : x ? ? 1 为平 面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,若 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 M(-1,0)作直线 m 交轨迹 C 于 A,B 两点。 (Ⅰ)记直线 FA,FB 的斜率分别为 k1,k2,求 k1+k2 的值; (Ⅱ)若线段 AB 上点 R 满足 RF⊥MF。
| MA | | MB | ? | RA | | RB | , 求证:

64、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知椭圆 C 的中心为坐标原点,F1、F2 分别为 它的左、右焦点,直 线 x=4 为它的一条准线, 又知椭圆 C 上存在点 M 使 2 MF1 ? MF 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2) PQ 为过椭圆焦点 F2 的弦, PF 2 ? ? F 2 Q,求 ? PF 1 Q 内切圆面积最大时实数 ? 若 且 的值.
?| MF1 | ? | MF 2 |, | MF1 |?| MF 2 | .

65、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知椭圆 C : 长为 1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形. (1)求椭圆的方程;

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,通径

(2)过点 Q(-1,0)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交直线 x=-4 于点 E,点 Q 分 AB 所成比为λ ,点 E 分 AB 所成比为μ ,求证λ +μ 为定值,并计算出该定值.

66、(2009 届高考数学快速提升成绩题型训练)已知⊙M: x ? ( y ? 2 ) ? 1, Q 是 x 轴上的动 点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点,
2 2

,求直线 MQ 的方程; 3 (2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

(1)如果 | AB |?

4 2

67、(浙江省嘉兴市)2008 年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。 y 据科学测算,跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时, 身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是 3m 一经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件) , o 且在跳某个规定动作时,正常情况下运动员在空中的最 2 高点距水面 10 米,入水处距池边 4 米,同时运动员在 跳 3 距水面 5 米或 5 米以上时,必须完成规定的翻腾动作, 台 并调整好入水姿势,否则就会出现失误。 10m 支 (1)求抛物线的解析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空中 柱 的运动轨迹为(1)中的抛物线,且运动员在空中 3 调整好入水姿势时距池边的水平距离为 3 米,问 池边 5 1m 此次跳水会不会失误?请通过计算说明理由; (3)某运动员按(1)中抛物线运行,要使得此次跳水成功,他在空中调整好入水姿势 时,距池边的水平距离至多应为多大?

x

68、(浙江省嘉兴市) 如图,F 是椭圆
1

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的一个焦点,A,B 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心
3y ? 3 ? 0

率为

2 相切.

. C 在 x 轴上, 点 BC⊥BF, , , 三点确定的圆 M 恰好与直线 l1:x ? B C F

(Ⅰ)求椭圆的方程: (Ⅱ)过点 A 的直线 l2 与圆 M 交于 PQ 两点,且
MP ? MQ ? ? 2 ,求直线 l2 的方程.

69、(浙江省嘉兴市) 设点 P(x,y)(x≥0)为平面直角坐标系 xOy 中的一个动点(其中 O 为坐标原点),点 P 到 1 1 定点 M( ,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 . 2 2 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程: (Ⅱ)若直线 l 与点 P 的轨迹相交于 A、B 两点,且 OA ? OB ? 0 ,点 O 到直线 l 的距 离为 2 ,求直线 l 的方程.

70、 (金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷(理科) )
? 3? 已知椭圆 E 的中心在坐标原点, 焦点在坐标轴上, 且经过 A ( ? 2, 0) 、B (2, 0) 、C ? 1, ? ? 2?

三点. (1)求椭圆 E 的方程: (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F ( ? 1, 0), H (1, 0) ,当 ? DFH 内 切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标; (3)若直线 l : y ? k ( x ? 1)( k ? 0) 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点,证明直线 AM 与直线
BN 的交点在直线 x ? 4 上.

71、 (宁波市 2008 学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)) 如图,椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心, F 为椭圆的右焦点, 且 AF ? FB ? 1 , OF ? 1 . (1)求椭圆的标准方程; (2)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P , Q 两点, 问:是否存在直线 l ,使点 F 恰为 ? PQM 的垂心?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

72、 (宁波)如图,椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心, F 为椭圆的右 焦点, 且 AF ? FB ? 1 , OF ? 1 . (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,问:是否存 在直线 l ,使点 F 恰为 ? PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,请说明理由.
A
O

y

M
B

F

x

73、如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 线 l : y ? x ? m 交椭圆于 A , B 两不同的点.
(1) 求 椭 圆 的 方 程 ; (2) 求 m的 取 值 范 围 ;

3 2

,且经过点 M (4,1) . 直 y M

O B A
l

x

(3) 若 直 线 l 不 过 点 M , 求 证 : 直 线 M A, M B 与 x 轴 围 成 一 个 等 腰 三 角 形 .

74、设 F (1,0 ) ,点 M 在 x 轴上,点 P 在 y 轴上,且 MN ? 2 MP , PM ? PF (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), D ( x 3 , y 3 ) 是曲线 C 上的点,且 | AF |, | BF |, | DF | 成等差数 列,当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E (3,0 ) 时,求 B 点坐标.

75、(2008 学年第一学期十校高三期末联考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1, 0)、 B(1, 0), 动点 C 满足 条件:△ABC 的周长为 2+2 2.记动点 C 的轨迹为曲线 W. (Ⅰ) 求 W 的方程; (Ⅱ) 经过点(0, 的取值范围; 2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q,求 k
??? ? ????

(Ⅲ)已知点 M( 2,0) N(0, 1) , ,在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数 k, 使得向量 O P ? O Q
???? ?

与 M N 共线?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由.

76、(2008学年第一学期十校高三期末联考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1, 0)、B(1, 0), 动点 C 满足条件:△ABC 的周长为 2+2 2.记动点 C 的轨迹为曲线 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q, 求 k 的取值范围; (Ⅲ) 已知点 M 2, , (0, 1) 在(Ⅱ)的条件下, ( 0) N , 是否存在常数 k, 使得向量 O P ? O Q 与 M N 共线?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由.
???? ?

??? ?

????

77、 (浙江省 09 年高考省教研室第一次抽样测试数学试题(理) )已 知抛物线 C : y ? ? 2 px ( p ? 0) 上横坐标为 ? 3 的一点,与其焦点的
2

y

距离为 4.(1)求 p 的值; (2)设动直线 y ? x ? b 与抛物线 C 相交 于 A、B 两点,问在直线 l : y ? 2 上是否存在与 b 的取值无关的定点 M,使得 ? AMB 被直线 l 平分?若存在,求出点 M 的坐标;若不存 在,说明理由. B A M O
l

x

78、 (宁波市 2008 学年度第一学期高三期末数(文理))如图,椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭 圆中心, F 为椭圆的右焦点, 且 AF ? FB ? 1 , OF ? 1 . (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P , Q 两点, 问:是否存在直线 l ,使点 F 恰为 ? PQM 的垂心?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

79、(安徽省六安中学 2009 届高三第六次月考)在直角坐标系中,已知一个圆心在坐标原点, 半径为 2 的圆,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP′,P′为垂足. (1)求线段 PP′中点 M 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 Q(-2,0)作直线 l 与曲线 C 交于 A、 两点, N 是过点 (? B 设
4 17

且以 a ? ( 0 ,1) ,0 ) ,

为方向向量的直线上一动点,满足 ON ? OA ? OB (O 为坐标原点) ,问是否存在这样的 直线 l,使得四边形 OANB 为矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.


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