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山东省青岛市即墨市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题

时间:2013-03-24


青岛市即墨市 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题
题卡相应位置上,考试结束,将答题卡上交。考试时间 90 分钟,满分 100 分。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷 类型填涂在答题卡规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。答案不能答在试题卷上。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置,不能写在试题卷;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用涂改液、胶带、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 2013.01

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答

第Ⅰ卷(选择题
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 (1)已知 A.-1

共 60 分)

a ? 2i ? b ? i(a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则 b ? a ? i
B.1 C.2 D.3

(2)设全集 U ? {1,2,3,4,5,6}, 集合 P ? {1,2,3,4, },Q ? {3,4,5},则P ? (CU Q) ? A.{1,2,3,4,6} C.{1,2,5} (3)设 ? ? R,则“ ? ? B.{1,2,3,4,5} D.{1,2}

?
2

”是“ f ( x) ? sin(x ? ? ) 为偶函数”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (4)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近 6 次数学测试的分数进行统计,甲乙 两人的平均成绩分别是 x甲、x乙 ,则下列说法正确的是 A. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 B. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛

D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛

?x ? y ? 2 ? 0 ? (5)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 ,则目标函数 z ? 4 x ? 3 y 的最小值和最大值分别为 ?x ? y ? 8 ? 0 ?
A.-6,11 B.2,11 C.-11,6 D.-11,2

3 (6)已知 sin( ? x) ? ,则 sin 2 x 的值为 4 5 24 24 7 A. ? B. C. ? 25 25 25

?

D.

7 25

(7)设 a,b 是不同的直线, ?、? 是不同的平面,则下列命题: ①若 a ? b, a // ? , 则b // ? ③若 a ? ? , ? ? ? , 则a // ? 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 ②若 a // ? , ? ? ? , 则a ? ? ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则? ? ?

C.2

D.3

(8)已 知 偶 函 数 f (x) 在 R 上 的任 一 取 值 都 有 导 数 , 且 f ' (1) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 则 曲 线

y ? f (x) 在 x ? ?5 处的切线的斜率为
A.2 B.-2 C.1 D.-1

(9)如果执行下面的程序框图,输出的 S=110,则判断框处为 A. k ? 10 ? B. k ? 11 ? C. k ? 10 ? D. k ? 11 ?

(10)函数 y ?

x ? sin x 的图象大致是 3

(11)把 5 张座位编号为 1,2,3,4,5 的电影票发给 3 个人,每人至少 1 张,最多分 2 张,且这两 张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 A.360 B.60 C.54 D.18 (12)过双曲线

x2 y2 切点为 E, ? ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线, a 2 b2

延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P, O 为坐标原点,若 OE ? 则双曲线的离心率为 A.

??? ?

? ? 1 ??? ??? (OF ? OP) , 2

3? 3 2

B.

1? 3 2

C.

5 2

D.

1? 5 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分。

?lg x( x ? 0) ? 18. 若函数 f ( x) ? ? , f ( f (1)) ? 8 ,则 a 的值是 a 2 ? x ? ?0 3t dt( x ? 0) ?
19. 等比数列 {a n } , q ? 2 ,前 n 项和为 S n,则

.

S4 ? a2

.

20. 已知函数 f ( x) ? 2 sin (
2

?

?? ? ? ? x) ? 3 cos 2 x ? 1 x ? ? , ? ,则 f (x) 的最小值为 4 ?4 2?
2

.

21. 研 究 问 题 : “ 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 ( 1 , 2 ) 解 关 于 x 的 不 等 式 ,

1 1 2 1 1 2 有如下解法: ax ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) ? 0 , y ? , y ? ( ,1) , 由 令 则 cx2 ? bx ? a ? 0 ”, x 2 x x

所以不等式 cx2 ? bx ? a ? 0 的解集为 , 。 已知关于 x 的不等式 ( 1 类比上述解法, )

1 2

kx bx ? 1 ? ?0 ax ? 1 cx ? 1

的解集为 . 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。请把解答题答在答题卡限定的区域内,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已 知 ?ABC 的 角 A 、 B 、 C , 所 对 的 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 且 C ?

?
3

,设向量

?? ? ? ? m ? (a, b), n ? (sin B,sin A), p=(b-2,a-2) .
(1)若 m / /n ,求 B; (2)若 m ? p,S ?ABC ? 3 ,求边长 c。

?? ?

?

?? ?

?

18.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 多 面 体

ABCDEF

中 , 四 边 形

ABCD

是 矩 形 , AB//EF ,

?EAB ? 90 ? , AB ? 2,AD ? AE ? EF ? 1 ,平面 ABFE ? 平面ABCD .
20.求证: 面DAF ? 面BAF . 21.求钝二面角 B-FC-D 的大小。

19.(本小题满分 12 分) 若盒中装有同一型号的灯泡共 10 只,其中有 8 只合格品,2 只次品。 (1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次,每次取一只灯泡,求 2 次取到次品的概率; (2)某工人师傅有该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品 则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中) ,求成功更换会议室的已坏灯泡所用 灯泡只数 x 的分布列和数学期望。

20.(本小题满分 12 分) 等差数列 {a n } 中, a2 ? a3 ? a4 ? 15, a5 ? 9 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ? 3

an ?1 2

,求数列 {

an ?1 , b n } 的前 n 项和 S n 。 2

21.(本小题满分 12 分)

2 x2 2 已知椭圆 C 方程为 2 ? y ? 1 ,过右焦点斜率为 1 的直线到原点的距离为 . 2 a
(1)求椭圆方程. (2)已知 A,B 方程为椭圆的左右两个顶点,T 为椭圆在第一象限内的一点,l 为点 B 且垂直 x 轴的直线,点 S 为直线 AT 与直线 l 的交点,点 M 为以 SB 为直径的圆与直线 TB 的另一个交点, 求证:O,M,S 三点共线。

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2(1 ? a) x ? 2(1 ? a) ln( x ? 1) x ? (1,??) . x ?
2

3 是函数的一个极值点, 2

(1)求 a 的值; (2)求函数 f (x) 的单调区间; ( 3 ) 当 a ? 2 时 , 函 数 g ( x) ? ? x ? b, (b ? 0) , 若 对 任 意 m1 , m2 ? ? ? 1, e ? 1? ,
2

?1 ?e

? ?

| g (m2 ) ? f (m1 ) |? 2e 2 ? 2e 都成立,求 b 的取值范围。

山东省青岛市即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学理试题参考

答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13.2 14. 1 D 2 D 3 A 4 D 5 A 6 C

2013.01

7 B

8 D

9 C

10 C

11 D

12 D

15 2 1 2 1 3 1 2

15.1 16. ? , )( , ( ? ? 1 ) 17.证明: (1)? m // n,? a sin A ? b sin B …………2 分 由正弦定理得

a 2 ? b 2即a ? b ………4 分
又? c ?

?
3
………4 分

? ?ABC为等边三角形 B?

?
3

由题意可知 m. p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

? a ? b ? ab ………①…………8 分 1 由正弦定理和①②得, 3 ? . sin c.ab 2
?C ?

?
3

,? sin C ?

3 2

?ab ? 4 ………②…………10 分

? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab ? 16 ? 12 ? 4 ?c ? 2

……………12 分

18.解: (1)? 平面ABFE ? 平面ABCD,AD ? AB, AD ? 平面BAF ……2 分 ?

又? AD ? 面DAF ? 面DAF ? 面BAF ………4 分
(2)分别以 AD,AB,AE 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立的空间直角坐标系,……5 分 则 A(0,0,0) 、D(1,0,0) 、C(1,2,0) 、E(0,0,1) 、B(0,2,0) 、F(0,1,1)

? DC ? 0, 0), ? ? 1,1 …………6 分 ( 2, DE ( 0, ),

?n 1 .DC ? 0 ? y ? 0 ? 设n1 ? ( x, y, z )为平面CDEF的一个法向量,则? ?? ?? x ? z ? 0 ………8 分 ?n1 .DE ? 0 ? 令x ? 1, 得z ? 1,即n1 ? (1,0,1)
由平面ABFE ? 平面ABCD知AF ? BC,在?AFB中AF ? 2,AB ? 2, BF ? 2 ? AF ? 面FBC
? n2 ? AF ? (0,1,1)为平面BCF的一个法向量, …………10 分

? cos? n1 , n2 ?

n1 .n2 n1 . n 2

?

1 ………………11 分 2

? 二面角B ? FC ? D的平面角为钝角, ? 二面角B ? FC ? D的大小为120 ?

…………12 分

19.(1)解:设一次取次品记为事件 A,由古典概型概率公式得: P(A) ?

2 1 ? ……2 分 10 5

有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品记为事件 B,由独立重复试验得:

12 2 1 2 4 ………4 分 P(B) C( ). ? ? 3 5 5 125
(2)依据知 X 的可能取值为 1.2.3………5 且 P(x ? 1 ? )

8 4 ? ………6 10 5

P(x ? 2) ?

2?8 8 ? ………7 2 45 A10

P(x ? 3) ?

2 A2 1 ? ………8 2 A10 45

则 X 的分布列如下表: X p ……10 分 1 2 3

4 5

8 45

1 45

EX ?

36 16 3 55 11 ? ? ? ? ………12 分 45 45 45 45 9

的公差为d首项a1 ,由题意得 20.解: (Ⅰ)设数列 ?an ?
且?

?a2 ? a3 ? a4 ? 15 ?3a1 ? 6d ? 15 即? ?a1 ? 4d ? 9 ?a5 ? 9

解得 ?

?a1 ? 1 ………2 分 ?d ? 2

的通项公式为an ? 2n ? 1……4 分 所以数列 ?an ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? 3 所以

an ?1 ? 3n 2

an ?1 .bn ? n.3n ………6 分 2
2 3

n ?1 所以 S n ? 1.3 1 ? 2.3 ? 3.3 ? ……… n.3
n n ?1 两式相减得 2S n ? ?(3 ? 3 2 ? 3 ? 3 ? …… ? 3 ) ? n.3 ………10 分
3 4

? ( ? 3n) 31 3 ? 2n ? 1 .n.3n ?1 ( ) ? n.3n ?1 ? 1? 3 2 …………12 分 n ?1 3 ? (2n ? 1).3 即Sn ? 4 ?
21.解: (1)设右焦点为(c,0),则过右焦点斜率为 1 的直线方程为:y=x-c……1 分 则原点到直线的距离 d ?

c 2

?

2 2

? c ? 1, a ? 2 ……3 分

x2 ? 方程为 ? y 2 ? 1 ………4 分 2

(2)设直线 AT 方程为: y ? k ( x ? 2 )( k ? 0)设点T坐标为(x1 , y1)

? x2 2 ? ? y ?1 得:( ? 2k 2)x 2 ? 4 2k 2 ? 4k 2 ? 2 ? 0 1 ?2 ? y ? k(x ? 2) ?

4k 2 ? 2 …………6 分 ? x1 x2 ? 1 ? 2k 2
又? A点坐标为( ? 2, 0) ? x1 ? 2 ? 2 2k 2 2 2k …………7 分 , y1 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

0), ( 又? B点的坐标为( 2, ? BT ?
由圆的性质得: BT ? SM,

? 4 2k 2 2 2k , ) …………8 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以,要证明 O, M , S 只要证明 BT ? SO,即可 ………9 分 又? S点的横坐标为 2

? S点的坐标为( 2, 2k) 2

? SO ? ? 2, 2 2k) ( ? …………10 分

8k 2 ? 8k 2 ? SO.BT ? ? 0 …………11 分 1 ? 2k 2
即 BT ? SO,又? BT ? SM

? O, M , S三点共线 …………12 分
22.解: (1)函数 f ( x) ? x ? 2(1 ? a) x ? 2(1 ? a)1n( x ? 1)
2

f ?( x) ? 2 x ? 2(1 ? a) ? ?x ?

2(1 ? a) ,……………2 分 x ?1

3 是函数的一个极值点 2 3 ? f ?( ) ? 0 2 3 解得: a ? …………4 分 2

(2)? f ? ? 2 x ? 2(1 ? a) ?

2(1 ? a) 2 x( x ? a) ? x ?1 x ?1

又? f (x)的定义域是(, ?) 1?
………6 分 ?当a ? 1时,函数f(x)的单调增区间为(, ?) 1?

当a?1时,( ,a)为减区间,(a,??)为增区间………8 分 1
(3)当 a=2 时,由(2)知 f(x)在(1,2)减,在(2,+∞)增.

1 1 ? f (2) ? 0, f ( ? 1) ? 2 , f (e ? 1) ? e2 ? 3 e e ?1 1 ? y ? f ( x)在[ ? 1, e ? 1]的值域[0, e2 ? 3] ……10 分 e 1 ? g ( x) ? ? x 2 ? b在[ ? 1, e ? 1]为减函数 e 1 1 ? y ? g ( x)在[ ? 1, e ? 1]的值域为[? e ? 1 2 ? b,?( ? 1) 2 ? b] …………11 分 ( ) e e b>0 ?
1 ? ?( ? 1) 2 ? b? 0,?(e ? 1) 2 ? b? 0 e 所以 f ( m1 ) ? g (m2 ) ? 2e 2 ? 2e成立,只要

e2 ? 3 ? (?e ? 1)2 ? b) ? e2 ? 3 ? (e ? 1)2 ? b ? 2e2 ? 2e ? 2 ? b? 2e2 ? 2e成立即可 …12 分
解得:0<b<2…………14 分


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