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06.数列A

时间:2014-12-24

06.高中数学总复习专题训练(文理) 数列专题训练(A 组) 一、选择题: 1.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第 n 个图案中有白色 地面砖的块数是( )

A. 4 n ? 2 答案:A

B. 4n ? 2

C. 2n ? 4

D. 3n ? 3


2.若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( A.12 答案:B B.13 C.14 D.15

3.已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a 4 与 2 a 7 的等差中项为

5 ,则 S5 = ( 4
A.35 答案:C

) B.33 C.31 D.29

解题思路:设{ an }的公比为 q ,则由等比数列的性质知, a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 2a1 ,即 a4 ? 2 。 由

a4 与

2

a7 的 等 差 中 项 为

5 4

知 ,

a4 ? 2a7 ? 2 ?

5 4

, 即

a7 ?

1 5 1 5 1 (2 ? ? a4 ) ? (2 ? ? 2) ? . 2 4 2 4 4
3

∴q ?

1 1 a7 1 ? ,即 q ? . a4 ? a1q 3 ? a1 ? ? 2 ,即 a1 ? 16 . 2 8 a4 8

4.已知数列 ?an?满足 a1 =2, a n ?1 ? 1 ? B. ?

1 , (n ? N * ) ,则 a2009 等于 ( an
D.



A.1 答案:D

1 2

C.

3 . 2

1 2

5. 在等比数列 ?an ? 中, 若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?

15 9 1 1 1 1 ,a2 a3 ? ? , 则 ? ? ? ? ( 8 8 a1 a2 a3 a4
D. ?



A. 答案:C

5 3

B.

3 5

C. ?

5 3

3 5

6.已知数列{ an }的前 n 项和为 sn ,且 sn + an =2 n ( n ∈N ) ,则下列数列中一定是等比数
*

列的是 A.{ an } 答案:C 二、填空题: B.{ an -1} C.{ an -2} D.{ an +2}





7.在等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 {an } 的前 9 项 之和 S 9 等于_____________. 答案:99 8.如图所示, n 个正数排成 n 行 n 列方阵,符号 ai , j ( 1 ? i ? n,1 ? j ? n , i, j ? N ? )
2

表示位于第 i 行第 j 列的正数.已知每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,且各列 的列数的公比都等于 q .若 a1,1 ? 含 i , j 的式子表示 ai , j )

1 1 ,a2, 4 ? 1 ,a3, 2 ? , 则 q ? ______, ai , j ? _________.(用 2 4

答案:

1 j | 2 2k

9.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为______. 答案:4 10 . 已 知 数 列 { an ) 满 足 a1 ?

aa 1 , an?1 ? an ? n n?1 (n ? 2) , 则 该 数 列 的 通 项 公 式 2 n(n ? 1)

an =_______________.
答案: an ?

n 3n ? 1

三、解答题:

11.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? a5 ? 38 , S 20 ? 9a7 ? 3 。 (1)当 n 为何值时, Sn 取得最大值,并求最大值; 答案:设数列 ?an ? 的公差为 d,由已知

?a3 ? a5=38 ?a ? 3d=19 ,得 ? 1 ,解得 ? ?11a1 ? 136d=3 ? S 20 ? 9a7 =3 d= ? 2,a1=25 ? S n =na1 ?

n ? n ? 1? 2 d= ? n 2 ? 26n= ? ? n ? 13? ? 169 2

当 n=13 时, Sn 有最大值,最大值为 169. (2)求数列 ?a3n?1 ?(n ? N ) 前 20 项的和;
*

an =25 ? ? n ? 1? ? ? ?2 ? = ? 2n ? 27 ? a3n ?1= ? 2 ? 3n ? 1? ? 27
答案:由(1)知 且a3?1?1=a2 =25 ? ? ?2 ? =23

a3? n ?1??1=a3n ? 2 = ? 2 ? 3n+2 ? ? 27 ? a3? n ?1??1 ? a3n ?1= ? 6 (定值)
∴数列 ?a3n?1?? n ? N? ? 是以 23 为首项,-6 为公差的等差数列。 ∴数列 ?a3n?1? 的前 20 项之和为 S 20 =20 ? 30 ? (3)求数列 an

20 ?19 ? ? ?6 ? =460 ? 1140= ? 680 2

? ? 的前 n 项和 T 。
n

答案:由(1)知 an= ? 2n ? 27

?n ? 令 an ? 0得 ? 2n ? 27 ? 0,

27 2

即1 ? n ? 13 时, an>0
? n> 令 an<0得- 2n+ 27<0, 27 2

即n ? 14 时, an<0
①1≤n≤13 时, an =an

Tn = a1 ? a2 ? …+ an


=a1 ? a2 ? …+ an =Sn = ? n 2 ? 26

②当 n≥14 时, an = ? an

Tn = a1 ? a2 ? … a13 ? a14 ? a15 ? … an = ? a1 ? a2 ? …a13 ? ? ? a14 ? a15 ? …an ?


=- ? a1 ? a2 ? …+ an ? ? 2S13 13 ?12 ? ? =- ? ?n 2 ? 26n ? ? 2 ? ?13 ? 25 ? ? ? ?2 ? ? 2 ? ? 2 =n ? 26n ? 338

2 ? ??n ? 26n ?1 ? n ? 3? 综合①②知 Tn = ? 2 ? ?n ? 26n ? 338 ? n ? 14 ?

12.已知数列 ?an ? 中, a 2 ?

2an 4 , an?1 ? (n ? N * ) , 5 an ? 1

(1)证明:数列 ?

?1 ? ? 1? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项 an ; ? an ?

答案: an ?1 ?

2an 2a1 2 4 , a2 ? ? , a1 ? , 3 an ? 1 a1 ? 1 5

an?1 ?

2an a ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? 1 ? ? ? ? 1 ? ( ? 1) ? n ? ? ? , 2 an 2 2 an an ? 1 an?1 2a n 2 an 2 an?1

数列 ?

?1 ? 1 1 1 ? 1? 是以 ? 1 ? , q ? 为公比的等比数列 2 a1 2 ? an ?

2n 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ( ) n?1 ? ( ) n , ? 1 ? ( ) n , an ? n an 2 2 2 an 2 2 ?1
(2)求数列 ?

?n? ? 的前 n 项和 Tn . ? an ?

答案:

n 1 ? 1 ? ? n ? n( ) n ,设数列 ?n?的前 n 项和为 An ,数列 ?n( ) n ? 的前 n 项和为 Bn an 2 ? 2 ?
n(n ? 1) , 2

An ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?

1 1 1 1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? ? ? ? ? n( ) n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 B n ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? ? ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 B n ? ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ? ? ( ) n ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Bn ? 1 ? ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ? ? ( ) n ?1 ? n( ) n 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 2 ? n ? 2? n?2 ? 1 2n 2n 1? 2 Bn ? 1 ?

Tn ? An ? Bn ?

n2 ? n ? 4 n ? 2 ? n 2 2

13.等差数列 ?an ? 的各项为正,其前 n 项和为 S n ,且 S3 ? 9 ,又 a1 ? 2 、 a2 ? 3 、 a3 ? 7 成等比数列。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求证:当 n ? 2 时,

1 1 ? 2? 2 a1 a2

?

1 5 ? . 2 an 4

答案: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , S3 ? 9 ,得 a2 ? 3 又 a1 ? 2 、 a2 ? 3 、 a3 ? 7 成等比数列, ∴ (a2 ? 3) 2 ? (a1 ? 2)(a3 ? 7) 即: (a2 ? 3) 2 ? (a1 ? 2)(a3 ? 7) ,

36 ? (5 ? d )(10 ? d ) 解得: d ? 2 或 d ? ?7 (舍去)
∴ a1 ? a2 ? d ? 1 , an ? 1 ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1, 数列 ?an ? 的通项公式: an ? 2n ? 1 (Ⅱ)∵

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ? ( ? ) 2 2 an (2n ? 1) 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n 4n(n ? 1) 4 n ? 1 n

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 1 ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )? 2 2 2 3 n ?1 n ? a1 a2 an ?

? 1?

1 1 1 5 (1 ? ) ? 1 ? ? 4 n 4 4

14.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,数列 ?an ? 满足:a1 ? (I)求数列 ?an ? 通项公式; (II)求 S n ;

1 n ?1 a n (n ? N * ) . ,a n ?1 ? 2 2n

(III)若集合 n | (n 2 ? n)(2 ? S n ) ? ? (n ? 2), n ? N * ? ? ,求实数 ? 的取值范围。

?

?

答案: (I)方法一:由

a n ?1 ?

n ?1 a n (n ? N * ) a 1 a 2n , n ?1 ? ? n , n ?1 2 n

a 1 1 ?a ? ? 数列 ? n ? 是以 1 ? 为首项, q ? 为公比的等比数列。 2 1 2 ?n?

?

a n 1 1 n ?1 n 1 ? ( ) ? ( ) n ,? a n ? n (n ? N * ) n 2 2 2 2
a2 ?

1 2 ? a1 , 2 1 1 3 a3 ? ? a 2 , 2 2 1 n n ? 2 时, a n ? ? a n ?1 2 n ?1 1 2 3 n n ? 2 时, a 2 a3 ? ? ? ? ? a n ? ( ) n ?1 ? ? ? ? ? ? a1 a 2 ? ? ? ? ? a n ?1 , 2 1 2 n ?1 n 易知 an ? 0 , n ? 2 时, a n ? n ; 2 n n 1 * 而 n ? 1 时, n ? ? a1 ,? 数列 ?an ? 通项: a n ? n (n ? N ) 2 2 2
方法二: (II)

n2 ? n ? ?, (III) (n ? n)(2 ? S n ) ? ? (n ? 2) ,即: 2n
2

依题意知:

n2 ? n ? ? 对于 ?n ? N * 恒成立, n 2


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