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自主训练(二 用数学归纳法证明不等式

时间:2015-06-23

自主训练
夯基达标 1.用数学归纳法证明“

1 1 1 1 11 ? ? ??? ≥ ,(n∈N+)”时,由 n=k 到 n=k+1 n ?1 n ? 2 n ? 3 n ? n 24
) B.

时,不等式左边应添加的项是( A.

1 2(k ? 1)
1 1 1 ? ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

1 1 ? 2k ? 1 2k ? 2

1 1 1 1 ? ? ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 k ? 2 1 1 1 11 ? ??? 思路解析:当 n=k 时,不等式为 ≥ , k ?1 k ? 2 k ? k 24
C. D. 当 n=k+1 时, 左边=

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? (k ? 1) ? 1 (k ? 2) ? 2 (k ? 1) ? (k ? 1) (k ? 1) ? k (k ? 1) ? (k ? 1)

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? , k ?2 k ?3 k ? k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 ? ? 比较 n=k 与 n=k+1 的左边,知应添加的项是 . 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 1
= 答案:C 2.用数学归纳法证明 1+ 成立( A.1<2 ) B.1+

1 1 1 + +…+ <n(n∈N+,且 n>1)时,第一步即证下述哪个不等式 2 3 2n ? 1
C.1+

1 <2 2

1 1 + <2 2 3

D.1+

1 <2 3

思路解析:n=2 时,左边=1+ 答案:C 3.用数学归纳法证明“1+

1 1 1 1 + ,右边=2.所以应证 1+ + <2. 2 3 2 3

1 1 1 + +…+ n <n,(n∈N+,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等式成立, 2 3 2 ?1

推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是( ) k-1 k k A.2 B.2 -1 C.2 D.2k+1 思路解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k. 答案:C 4.关于正整数 n 的不等式 2n>n2 成立的条件是( ) A.n∈N+ B.n≥4 C.n>4 思路解析:验证 n=1,2,3,4,5,6 等值. 答案:D 5.对于不等式 n 2 ? n ≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12 ? 1 ≤1+1,不等式成立.

D.n=1 或 n>4

(2)假设 n=k(k∈N+)时,不等式成立,即 k 2 ? k <k+1,则 n=k+1 时,

(k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? k 2 ? 3k ? 2 ? (k 2 ? 3k ? 2) ? (k ? 2) ? (k ? 2) 2 =(k+1)+1.
所以当 n=k+1 时,不等式成立. 上述证法( ) A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 思路解析:从 n=k 到 n=k+1,没有用到归纳假设. 答案:D 6. 观 察 下 式 : 1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,…, 则 得 出 结 论 : ___________. 思路解析:各等式的左边是第 n 个自然数到第 3n-2 个连续自然数的和,右边是奇数的平方, 故得出结论:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 7. 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 对 一 切 大 于 1 的 自 然 数 n , 不 等 式 ( 1+

1 1 ) ( 1+ ) … 3 5

(1+

1 2n ? 1 )> 成立. 2n ? 1 2 1 4 5 = ,右边= ,左边>右边. 3 3 2

证明:(1)当 n=2 时,左边=1+

∴不等式成立. (2)假设 n=k 时,不等式成立,即 (1+

1 1 1 2k ? 1 )(1+ )…(1+ )> , 3 5 2k ? 1 2

那么当 n=k+1 时, (1+

1 1 1 1 2k ? 1 2k ? 2 )(1+ )…(1+ )[1+ ]> ? 3 5 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 2 2k ? 1

=

2k ? 2 2 2k ? 1

?

4k 2 ? 8k ? 4 2 2k ? 1

?

4k 2 ? 8k ? 3 2 2k ? 1

?

2(k ? 1) ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 1 . ? 2 2 ? 2k ? 1

∴n=k+1 时,不等式也成立. 由(1) (2)知,对一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立. 8.设数列{an}满足 a1=2,an+1=an+

1 (n=1,2,3,…) an

求证:an> 2n ? 1 对一切正整数 n 成立. 证法一:当 n=1 时,a1=2> 2 ? 1 ? 1 ,不等式成立, 假设 n=k 时,ak> 2n ? 1 成立. 当 n=k+1 时,ak+12=ak2+

1 ak
2

+2>2k+3+

1 ak
2

>2(k+1)+1.

∴n=k+1 时,ak+1> 2(k ? 1) ? 1 成立. 综上(1) (2)可知,an> 2n ? 1 对一切正整数成立. 证法二:当 n=1 时,a1=2> 3 = 2 ?1 ? 1 ,结论成立. 假设 n=k 时结论成立,即 ak> 2k ? 1 . 当 n=k+1 时 , 由 函 数 f(x)=x+

1 (x>1) 的 单 调 性 和 归 纳 假 设 有 x

ak+1=ak+

1 1 > 2k ? 1 + . ak 2k ? 1 1 2k ? 1 1 2k ? 1
≥ 2k ? 3 ,

因此只需证 2k ? 1 +

而这等价于( 2k ? 1 )+(

)2≥ 2k ? 3

?

1 ≥0 显然成立. 2k ? 1

所以当 n=k+1 时,结论成立. 因此,an> 2n ? 1 对一切正整数 n 均成立. 9.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145(n∈N+) (1)求数列{bn}的通项. (2)设数列{an}的通项 an=loga(1+

1 )(其中 a>0 且 a≠1),记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,试比 bn

较 Sn 与

1 logabn+1 的大小,并证明你的结论. 3 10 ? (10 ? 1) × d=145, 2

解:(1)设数列{bn}的公差为 d, 由题意,得 10× 1+ ∴d=3,bn=3n-2. (2)由 bn=3n-2 知,

1 1 )+…+loga(1+ ) 4 3n ? 2 1 1 =loga[(1+1)(1+ )…(1+ )], 4 3n ? 2 1 logabn+1=loga 3 3n ? 1 . 3 1 1 1 因此要比较 Sn 与 logabn+1 的大小, 可先比较 (1+1) (1+ )…(1+ )与 3 3n ? 1 的大小. 3 4 3n ? 2
Sn=loga(1+1)+loga(1+ 取 n=1,有(1+1)> 3 3 ?1 ? 1 , 取 n≥2,有(1+1)(1+

1 1 )…(1+ )> 3 3n ? 1 . 4 3n ? 2

下面用数学归纳法证明之: ①当 n=1 时,已验证不等式成立. ②假设当 n=k(k∈N +)时,不等式成立, 即(1+1)(1+

1 1 )…(1+ )> 3 3k ? 1 , 4 3k ? 2

则当 n=k+1 时, (1+1)(1+

1 1 1 1 )…(1+ )[1+ ]> 3 3k ? 1 (1+ ) 4 3k ? 2 3k ? 1 3(k ? 1) ? 2

3

=

3k ? 1 · (3k+2). 3k ? 1
3

∵[

3k ? 1 (3k+2)]3-( 3 3k ? 4 )3 3k ? 1

=

(3k ? 2) 2 ? (3k ? 4)(3k ? 1) 2 9k ? 4 >0. ? 2 (3k ? 1) (3k ? 1) 2
3



3k ? 1 +1· (3k+2)> 3 3k ? 4 = 3 3(k ? 1) ? 1 . 3k ? 1
1 1 1 )…(1+ )[1+ ]> 3 3(k ? 1) ? 1 . 4 3k ? 2 3(k ? 1) ? 2

因此(1+1)(1+

这说明,当 n=k+1 时,不等式也成立. 由①②知,对一切 n∈N +,不等式(1+1)(1+ 再由对数的性质,可得:

1 1 )…(1+ )> 3 3n ? 1 都成立. 4 3n ? 2

1 logabn+1; 3 1 当 0<a<1 时,Sn< logabn+1. 3
当 a>1 时,Sn>

综合提升 10.若不等式 最大值为( A.12

1 1 1 m ? ??? ? 对大于 1 的一切自然数 n 都成立,则自然数 m 的 n ?1 n ? 2 2n 24
) B.13 C.14 D.不存在

1 1 1 ? ??? ,取 n=2,3,4,5 等值发现 f(n)是单调递减的,所以 n ?1 n ? 2 2n m m [f(n)]max> ,所以由 f(2)> ,求得 m 的值. 24 24
思路解析:令 f(n)= 答案:B 11.设 n 为正整数, f(n)=1+

1 1 1 3 5 7 + +…+ ,计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,观察 2 3 n 2 2 2
) B.f(n2)≥

上述结果,可推测出一般结论(

2n ? 1 2 n?2 C.f(2n)≥ 2
A.f(2n)> 思 路 解 析 : f(2)= f(2n)≥

n?2 2

D.以上都不对

n?2 . 2

3 4 5 6 7 ,f(4)=f(22)> ,f(8)=f(23)> ,f(16)=f(24)> ,f(32)=f(25)= ,所以 2 2 2 2 2

答案:C 12.如果 1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=

1 n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数 n 都成立, 4

a,b 的值应该等于( ) A.a=1,b=3 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=2 D.a=2,b=3 思路解析:令 n=1,2,得到关于 a、b 的方程组,解得即可. 答案:D

a ? 2x ? a ? 2 13.设 a∈R,f(x)= 是奇函数, 2x ?1
(1)求 a 的值; (2)如果 g(n)=

n (n∈N+),试比较 f(n)与 g(n)的大小(n∈N+). n ?1

思路解析:∵(1)f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,故 a=1.

2n ? 1 n 2 n ? 2n ? 1 (2)f(n)-g(n)= n . ? ? 2 ? 1 n ? 1 (2 n ? 1)(n ? 1)
只要比较 2n 与 2n+1 的大小. 当 n=1,2 时,f(n)<g(n);当 n≥3 时,2n>2n+1,f(n)>g(n). 下面证明,n≥3 时,2n>2n+1,即 f(x)>g(x). ①n=3 时,23>2× 3+1,显然成立, ②假设 n=k(k≥3,k∈N)时,2k>2k+1,那么 n=k+1 时,2k+1=2× 2k>2(2k+1).

2(2k+1)-[2(k+1)+1]=4k+2-2k-3=2k-1>0(∵k≥3), 有 2k+1>2(k+1)+1. ∴n=k+1 时,不等式也成立,由①②可以断定,n≥3,n∈N 时,2n>2n+1. 结论:n=1,2 时,f(n)<g(n);当 n≥3,n∈N 时,f(n)>g(n). 14.某地区原有森林木材存量为 a, 且每年增长率为 25%, 因生产建设的需要每年底要砍伐的 木材量为 b,设 an 为 n 年后该地区森林木材存量. (1)求 an 的表达式; (2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材量应不少于

7 19 a,如果 b= a, 9 72

那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年?(取 lg2=0.30). 思路解析:(1)依题意,得 a1=a(1+ a2=

1 5 )-b= a-b, 4 4

5 5 5 5 5 a1-b= ( a-b)-b=( )2a-( +1)b, 4 4 4 4 4 5 5 5 5 a3= a2-b=( )3a-[( )2+ +1]b, 4 4 4 4
由此猜测:

5 n 5 5 5 ) a-[( )n-1+( )n-2+…+ +1]b 4 4 4 4 5 n 5 n =( ) a-4[( ) -1]b(n∈N+). 4 4
an=( 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1=

5 a-b,猜测成立. 4

②假设 n=k 时,猜测成立. 即 ak=(

5 k 5 ) a-4[( )k-1]b 成立. 4 4

那么当 n=k+1 时, ak+1=

5 5 5 5 5 5 ak-b= {( )ka-4[( )k-1]b}-b=( )k+1a-4[( )k+1-1]b, 4 4 4 4 4 4

即当 n=k+1 时,猜测成立. 由①②知,对任意的自然数 n 猜测成立.

19 7 a 时,若该地区今后发生水土流失时,则森林木材存量必须小于 a, 72 9 5 5 19 7 ∴( )na-4[( )n-1]× a< a, 4 4 72 9 5 整理,得( )n>5, 4 5 两边取对数得:nlg >lg5, 4
(2)当 b= ∴n>

lg 5 1 ? lg 2 1 ? 0.30 ? ? =7. lg 5 ? 2 lg 2 1 ? 3 lg 2 1 ? 3 ? 0.30

∴ 经过 8 年该地区就开始水土流失.

15.已知函数 f(x)=ax(1)求 a 的值; (2)设 0<a1<

3 2 1 1 1 1 x 的最大值不大于 ,又当 x∈[ , )时,f(x)≥ . 2 6 4 2 8

1 1 ,an+1=f(an),求证:0<an< . 2 n ?1
3 2 1 a a2 1 x 的最大值不大于 ,所以 f( )= ≤ ,即 a2≤1.又 x∈ 2 6 3 6 6

思路解析:(1)由于 f(x)=ax-



1 1 1 , ]时,f(x)≥ . 4 2 8

? 1 f( )? ? ? 2 所以 ? ? f (1) ? ? ? 4
∴a=1.

1 ?a 3 1 , ? ? , ?2 8 8 8 ? 即? 解得 a≥1. 1 ?a 3 1 . ? ? 8 ? ? 4 32 8.

1 1 ,不等式 0<an< 成立; 2 n ?1 1 ②假设 n=k(k≥1)时,不等式成立,即 0<ak< ,则当 n=k+1 时, k ?1 3 1 3 ak+1=ak(1- ak)= · (k+2)ak· (1- ak) 2 k?2 2 3 因(k+2)ak>0,1- ak>0, 2 3 1 1 ? (k ? 2)ak ? ak 1 ? (k ? )a k 3 2 ]2 ? [ 2 ]2 <1. ∴(k+2)ak· (1- ak)≤ [ 2 2 2 1 于是 0<ak+1< . k?2
(2)①当 n=1 时,0<a1< 因此当 n=k+1 时,不等式成立. 综上所述由①②可知,对 n∈N+不等式 0<an<

1 成立. n ?1


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