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2013届高三数学复习资料 正弦定理和余弦定理

时间:2012-10-25


2013 届高三数学复习资料

正弦定理和余弦定理

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 c= 2,b= 6,B=120° ,则 a 等于( ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2 6 2 【解析】 由正弦定理得 = , sin 120° sin C 1 ∴sin C= . 2 又∵C 为锐角,则 C=30° ,∴A=30° , △ABC 为等腰三角形,a=c= 2.故选 D. 【答案】 D 2. 在△ABC 中,内角 A、 C 的对边分别为 a、 c,且 2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC B、 b、 是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 1 【解析】 ∵2c2=2a2+2b2+ab,∴a2+b2-c2=- ab, 2 a2+b2-c2 1 ∴cos C= =- <0. 2ab 4 则△ABC 是钝角三角形.故选 A. 【答案】 A π 3.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.若 A= ,b=1,△ABC 的面 3 3 积 ,则 a 的值为( ) 2 A.1 B.2 3 C. D. 3 2 1 1 3 【解析】 由已知得: bcsin A= ×1×c×sin 60° = ?c=2,则由余弦定理可得:a2 2 2 2 =4+1-2×2×1×cos 60° =3?a= 3. 【答案】 D 4.在△ABC 中,cos 2B>cos 2A 是 A>B 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 cos 2B>cos 2A?1-2sin2B>1-2sin2A?sin2B<sin2A?sin A>sin B?A> B. 【答案】 C 5.满足 A=45° ,c= 6,a=2 的△ABC 的个数记为 m,则 am 的值为( ) A.4 B.2 C.1 D.不确定 a c 【解析】 由正弦定理 = sin A sin C 2 6× 2 csin A 3 得 sin C= = = . a 2 2 ∵c>a,∴C>A=45° , ∴C=60° 120° 或 , ∴满足条件的三角形有 2 个,

即 m=2.∴am=4. 【答案】 A a 6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 b2+c2-bc=a2,且 = 3, b 则角 C 的值为( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 【解析】 由 b2+c2-bc=a2 得 b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 1 ∴cos A= = ,∴A=60° . 2bc 2 a sinA 又 = 3,∴ = 3, b sin B 3 3 3 1 ∴sin B= sin A= × = , 3 3 2 2 ∴B=30° ,∴C=180° -A-B=90° . 【答案】 C 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 13 7. 在△ABC 中, a=7, 若 b=8, C= , cos 则此三角形的最大内角的余弦值为________. 14 【解析】 c2=a2+b2-2abcos C=9,c=3,由 b>a>c 知最大角为 B,利用余弦定理求 1 得 cosB=- . 7 1 【答案】 - 7 8.在△ABC 中,AB=2,AC= 6,BC=1+ 3,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长是 ________.

9.在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 a+b+c= 2+1,sin A+sin B π = 2sin C,则 c=________;若 C= ,则△ABC 的面积 S=________. 3 【解析】 依题意及正弦定理得 a+b= 2c,且 a+b+c= 2+1,因此 c+ 2c= 2+ π 1,c=1,当 C= 时, 3 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=1,∴(a+b)2-3ab=1. 1 1 1 1 π 3 又 a+b= 2, 因此 2-3ab=1, ∴ab= , 则△ABC 的面积 S= absin C= × sin = . 3 2 2 3 3 12 3 【答案】 1 12 三、解答题(共 46 分)

10.(15 分)已知△ABC 的周长为 2+1,且 sin A+sin B= 2sin C. (1)求边 AB 的长; 1 (2)若△ABC 的面积为 sin C.求角 C 的度数. 6 【解析】 (1)由题意及正弦定理,得 AB+BC+AC= 2+1. BC+AC= 2AB, 两式相减,得 AB=1. 1 1 (2)由△ABC 的面积= BC· sin C= sin C, AC· 2 6 1 得 BC· AC= . 3 AC2+BC2-AB2 由余弦定理,得 cos C= 2AC· BC (AC+BC)2-2AC· BC-AB2 1 = = , 2AC· BC 2 ∴C=60° . 11.(15 分)△ABC 中,角 A、B、C 对边的边长分别是 a、b、c,且 a(cos B+cos C)=b +c. π (1)求证:A= ; 2 (2)若△ABC 的外接圆半径为 1,求△ABC 周长的取值范围. 【解析】 (1)∵a(cos B+cos C)=b+c, a2+c2-b2 a2+b2-c2 ∴由余弦定理得 a· +a· =b+c, 2ac 2ab 整理得(b+c)(a2-b2-c2)=0. π ∵b+c>0,∴a2=b2+c2,故 A= . 2 π (2)∵△ABC 的外接圆半径为 1,A= ,∴a=2. 2 π ∴b+c=2(sinB+cos B)=2 2sin?B+4?. ? ? π π π 3π ∵0<B< ,∴ <B+ < ,∴2<b+c≤2 2. 2 4 4 4 ∴4<a+b+c≤2+2 2, 故△ABC 周长的取值范围为(4,2+2 2]. 12.(16 分)已知△ABC ,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,关于 x 的不等式 2 x cos C+4xsin C+6<0 的解集是空集. (1)求 C 的最大值; 7 3 3 (2)若 c= ,△ABC 的面积 S= , 2 2 求当 C 取得最大值是 a+b 的值. 【解析】 (1)显然 cos C≤0 不合题意, ?cos C>0 ?cos C>0 ? ? 故有? ,即? , 2 ? ? ?Δ≤0 ?16sin C-24cos C≤0

?cos C>0 ? 即? 1 , ?cos C≤-2或cos C≥2 ?
1 故 cos C≥ ,∴C 的最大值为 60° . 2 1 3 3 3 (2)当 C=60° 时,S= absin C= ab= ,∴ab=6, 2 4 2

由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C =(a+b)2-2ab-2abcos C, 121 11 ∴(a+b)2=c2+3ab= ,∴a+b= . 4 2


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