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函数定义域与值域经典类型总结 练习题 含答案

时间:2017-08-02


<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳
一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合 A 和 B 是非空数集,按照某一确定的对应关系 f,使 得集合 A 中任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应。 则称 f:为 A 到 B 的一个函数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f),②集 合 A 的取值范围。 由这两个条件就决定了 f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的 是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一 个个的数时用 “列举法” ; 一般表示范围时用集合的 “描述法” 或 “区间” 来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f)共同作用的结果,是个被动变量, 所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1) 明白值域是在定义域 A 内求出函数值构成的集合: {y|y=f(x),x∈A}。 (2)明白定义中集合 B 是包括值域,但是值域不一定为集合 B。 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1 已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为 0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次 方时,根号下满足大于或等于 0(非负数) 。 ③表达式中出现指数时:当指数为 0 时,底数一定不能为 0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于 0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有 x, 必须满足指数底 数大于 0 且不等于 1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足 真数上所有式子大于 0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和 真 数 上 时 , 要 同 时 满 足 真 数 大 于 0 , 底 数 要 大 于 0 且 不 等 于 1. ( f ( x) ? log x ( x2 ?1) ) 注: (1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的 是所有式子解集的交集。
1

(2) 求定义域时, 尽量不要对函数解析式进行变形, 以免发生变化。 (形如:
f ( x) ? x2 ) x

练习
1、求下列函数的定义域: ⑴y?

x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

1、 (1) {x | x ? 5或x ? ?3或x ? ?6}

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

(2) {x | x ? 0}

⑶y?

1 1 1? x ?1

? (2 x ? 1)0 ? 4 ? x 2

(3) {x | ?2 ? x ? 2且x ? 0, x ?

1 , x ? 1} 2

2.抽象函数(没有解析式的函数) 解题的方法精髓是“换元法” ,根据换元的思想,我们进行将括号为整 体的换元思路解题,所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为: (1)给出了定义域就是给出了所给式子中 x 的取值范围;
2

(2)在同一个题中 x 不是同一个 x; (3)只要对应关系 f 不变,括号的取值范围不变。 (4)求抽象函数的定义域个关键在于求 f(x)的取值范围,及括号的取值范 围。 例 1:已知 f(x+1)的定义域为[-1,1],求 f(2x-1)的定义域。 解:∵f(x+1)的定义域为[-1,1]; (及其中 x 的取值范围是[-1,1]) ∴ 0 ? x ?1 ? 2 ; (x+1 的取值范围就是括号的取值范围) ∴f(x)的定义域为[0,2]; (f 不变,括号的取值范围不变) ∴f(2x-1)中

0 ? 2x ?1 ? 2 1 3 ∴? ? x ? 2 2
∴f(2x-1)的定义域为 ? x | ?

? ?

1 3? ?x? ? 2 2?

练习

1] , 2、设函数 f ( x ) 的定义域为 [0, 则函数 f ( x2 ) 的定义域为_、 [?1,1] ;
_______;函数 f ( x ? 2) 的定义域为___ [4,9] _____;

3] ,则函数 f (2 x ?1) 的定义域是 3 、若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,
5 1 1 1 [0, ]; ;函数 f ( ? 2) 的定义域为 (??, ? ] ? [ , ??) 。 x 3 2 2

3.复合函数定义域 复合函数形如:y ? f ( g ( x)) ,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉 的函数组成的函数,或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。

3

例 2:

若函数f ( x)的定义域为(?2,3), g ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), 求g(x)的定义域。

分析: 由题目可以看出 g(x)是由 y=x+1、 y=x-2 和 y=f(x)三个函数复合起来 的新函数。此时做加运算,所以只要求出 f(x+1)和 f(x-2)的定义域,再根 据求函数定义域要所有式子同时满足,即只要求出 f(x+1)和 f(x-2)的定义 域的交集即可。 解:由 f(x)的定义域为(-2,3) ,则 f(x+1)的定义域为(-3,2) ,f(x-2)的定义域为(0,4) ;

??3 ? x ? 2 ,解得 0<x<2 ?? ? 0? x?4
所以,g(x)的定义域为(0,2).

(一)求函数值域方法和情形总结 1.直接观察法(利用函数图象) 一般用于给出图象或是常见的函数的情形, 根据图象来看出 y 值的取值 范围。

练习
2 (1) y ? x ? 2x ? 3 x ? [1, 2] 求值域。

y ? [0,5]

2.配方法 适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数, 此时注意对称轴 的位置,在定义域范围内(以 a<0 为例) ,此时对称轴的地方为最大值,定 义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值; 对称轴在定义域的两边则根 据单调性来求值域。总结为三个要点: (1)含参数的二次型函数,首先判断 是否为二次型,即讨论 a; (2)a 不为 0 时,讨论开口方向; (3)注意区间, 即讨论对称轴。 例 1:求 f ( x) ? x ? 4 x ? 6在[1,5]上的值域.
2

4

解:配方: f ( x) ? ( x ? 2)2 ? 2 f(x)的对称轴为 x=2 在[1,5]中间

ymin ? f (2) ? 2
(端点 5 离 x=2 距离较远,此时为最大值)

ymax ? f (5) ? 11
所以,f(x)的值域为[2,11].

练习
(2) y ? x2 ? 2x ? 3 ( x ? R) 求值域。

{ y | y ? ?4}

3.分式型 (1)分离常量法:应用于分式型的函数,并且是自变量 x 的次数为 1,或 是可以看作整体为 1 的函数。具体操作:先将分母搬到分子的位子上去,观 察与原分子的区别,不够什么就给什么,化为 y ? a ? 例 2: 求f ( x) ?

d 。 bx ? c

5x ? 1 的值域. 4x ? 2

5 10 (4 x ? 2) ? 1 ? 5x ? 1 4 7 4 ?5? ? 解: f ( x) ? 4x ? 2 4x ? 2 4 2(4 x ? 2)
由于分母不可能为 0,则意思就是函数值不可能取到 即:函数 f(x)的值域为 { y | y ? } .

5 , 4

5 4

练习
⑶y?

3x ? 1 求值域 x ?1
5

(3) { y | y ? 3}

(2)利用 x 2 ? 0 来求函数值域:适用于函数表达式为分式形式,并且只 出现 x 2 形式,此时由于为平方形式大多时候 x 可以取到任意实数,显然用 分离常量法是行不通,只有另想它法(有界变量法) 。 例 3:求函数 f ( x) ?

3x 2 ? 1 的值域. x2 ? 2

解:由于 x 2 ? 2 不等于 0,可将原式化为

yx2 ? 2 y ? 3x2 ?1
2 2 即 ( y ? 3) x ? ?1 ? 2 y (由于 x ? 0 )

只需 y ? 3 ,则有

x2 ?

?1 ? 2 y ? 0 ( y ? 3) (?1 ? 2 y) ? 0 y ?3

所以,函数值域 y ? ? ?

? 1 ? ,3 ? . ? 2 ?

练习
(4) y ?

5 x 2+9x ? 4 求值域 x2 ?1
6

1 { y | y ? 5且y ? } 2

(3) 方程根的判别式法: 适用于分式形式, 其中既出现变量 x 又出现 x 2 混 合,此时不能化为分离常量,也不能利用上述方法。对于其中定义域为 R 的情形,可以使用根的判别式法。 例 4:求函数 y ?

2x 的值域 x ?1
2

解:由于函数的定义域为 R,即 x2 ? 1 ? 0 原式可化为 yx2 ? 2 x ? y ? 0 (由于 x 可以取到任意的实数,那么也就说总有一个 x 会使得上述方程有 实数根,即方程有根那么判别式大于或等于 0,注:这里只考虑有无根,并 不考虑根为多少) 所以, ? ? 4 ? 4 y ? 0
2

所以,函数值域为 y ???1,1?

练习:求值域
(5) y ?

1 1 ? x2

7

4.换元法 通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域,一般函数特征是函 数解析式中含有根号形式, 以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。 而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路, 注重换元 思维的培养,并不是专一的去解答某类问题,应该多加平时练习。注:换元 的时候应及时确定换元后的元的取值范围。 例 5:求函数 f ( x) ? 2x ? x ?1 的值域 解:令 t ?

x ?1, t ? 0, 则x ? t 2 ? 1,带入原函数解析式中得

1 15 y ? 2(t 2 ? 1) ? t ? 2t 2 ? t ? 2 ? 2(t ? )2 ? 4 8 因为, t ? 0
所以,函数的值域为 y ? ?

?15 ? , ?? ? . ?8 ?

练习:求值域
(6) y ? x ? 1 ? 2x

1 {y | y ? } 2

8

一.选择题(共 10 小题) 1. (2007?河东区一模)若函数 f(x)= (x) g = A.(﹣1,3) 的定义域为 A,函数 )

的定义域为 B, 则使 A∩B=?的实数 a 的取值范围是 ( B.[﹣1,3] C.(﹣2,4) D.[﹣2,4]

2.若函数 f(x)的定义域是[﹣1,1],则函数 f(x+1)的定义域是( ) A.[﹣1,1] B.[0,2] C.[﹣2,0] D.[0,1] 3. (2010?重庆)函数 A.[0,+∞) B.[0,4] 的值域是( ) D.(0,4) ) )

C.[0,4)

4. (2009?河东区二模)函数 A.(0,+∞)
2

的值域是( C.(0,2)

B.

D.(0,

5.已知函数 y=x +4x+5,x∈[﹣3,3)时的值域为( ) A.(2,26) B.[1,26) C.(1,26) D.(1,26] 6.函数 y= A.[1,2] 在区间[3,4]上的值域是( B.[3,4]
2 3

) D.[1,6] ) D.[6,24]

C.[2,3]

7.函数 f(x)=2+3x ﹣x 在区间[﹣2,2]上的值域为( A.[2,22] B.[6,22] C.[0,20]

8.函数

的值域是(

) C.{y|y≠﹣4 且 y≠1} D.R

A.{y|y∈R 且 y≠1} B.{y|﹣4≤y<1}

9.函数 y=x ﹣2x(﹣1<x<2)的值域是( ) A.[0,3] B.[1,3] C.[﹣1,0]
9

2

D.[﹣1,3)

10.函数 A.[2,+∞) 二.填空题 11. (2013?安徽)函数 y=ln(1+ )+ B.

的值域为( C.

) D.(0,2]

的定义域为

_________



12. (2012?四川)函数 间表示) 13.求定义域: .

的定义域是 _________

. (用区

14.函数 y=x +2x﹣1,x∈[﹣3,2]的值域是 15.函数 y=10﹣

2

_________ .

的值域是 _________ .

10


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