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高中数列的通项公式的几种常用求法

时间:2018-06-30


高中数列的通项公式的几种常用求法

数列是高考的必考内容, 也是同学们比较怕的一个知识点。 其实归结起来数列常考的就 三个知识点:等差等比数列性质的应用、求数列的通项公式、求数列的前 n 项和。而数列的 通项公式往往又决定着前 n 项和的求法, 所以求出数列的通项公式至关重要。 下面我将对数 列通项公式的几种常用求法进行总结。 一. 观察法 1 适用类型:已知数列前若干项,求该数列的通项时。 2 具体方法:一般对所给的项观察分析,找出项数 n 与项 an 之间的关系,从而根据规

律写出此数列的一个通项。 3 例题示范 例 1:根据数列的前 4 项,写出它的一个通项公式: (1)4,44,444,4444,?

4 9 16 , 3 , 4 ,? 5 10 17 2 1 2 , , ,? (3) 1, 3 2 5 1 2 3 4 , ? ,? (4) , ? , 2 3 4 5
(2) 1 , 2 4 方法总结: (1)有分式又有整式的统一表示成假分式,再分子分母分别观察规律。

1 2

(?1) n 或(?1) n?1
(2)正负相间的先把负号去了观察规律,再用 来调节符 号。 二. 公式法 1 适用类型:当已知数列为等差或等比数列时。 2 具体方法:可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比。 等差数列: an ? a1 ? (n ? 1)d 等比数列: an ? a1q n?1 (q ? 0) 三. 已知 sn 求 an

1 适用类型:已知数列的前 n 项和求通项时。 2 具体发方法:通常用公式 a n ? ? 3 例题示范 例 1、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为:① S n ? 2n ? n
2

(n ? 1) ?S1 。 S ? S n ?1 (n ? 2) ? n

② Sn ? n2 ? n ? 1

求数列 ?an ? 的通项公式。

四. 由递推式求数列通项 1 适用类型:已知数列的递推公式求通项公式时。 2 具体方法: (1)形如 an ? an?1 ? d 或 an ? an?1q ————利用等差等比来求 例 1 已知a1 ? 1, an?1 ? an ? 2求an 的通项公式 (2)形如 an?1 ? pan ? q -------构造等比数列 例 2 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an 【解析】? an?1 ? 2an ? 3 ,∴ an?1 ? 3 ? 2an ? 6 , 即 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,?

an ?1 ? 3 ? 2. an ? 3

∴ {an ? 3} 是以 a1 ? 3 ? 4 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? 2 n?1 ? 3 .

(3)形如

--------累加法 , an ? an?1 ? 2n ?1,(n ? 2) ,求 an

例 3 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2

【解析】∵当 n ? 2 时, an ? an?1 ? 2n ?1 ,∴ an ? an?1 ? 2n ?1 , ∴ an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1

? [(2n ? 1) ? (2n ? 3) ? ? ? 3] ? 2

?

[(2n ? 1) ? 3] ? (n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 1 , 2

∵ a1 ? 2 ? 12 ? 1 ,∴ an ? n2 ? 1 (4)形如 ---------累乘法

例 4 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2n ? an ,求 an . 【解析】∵ an?1 ? 2n ? an ,∴

an ?1 ? 2n , an



a a2 a3 a4 ? ? ????? n ? 21 ? 22 ??????2n?1 , a1 a2 a3 an ?1



n ( n ?1) an ? 21?2?????( n?1) ? 2 2 , a1

又? a1 ? 1 ,∴ an ? 2

n ( n ?1) 2



(5)形如 an?1 ? pan ? qn 方 法 : ① 将 原 递 推 公 式 两 边 同 除 以 q n ?1 , ② 得

an ?1 p an 1 a ,得 ? ? n ? , ③ bn ? n n ?1 q q q q qn

bn?1 ?

p 1 bn ? , ④再利用“递推关系形如 an?1 ? pan ? q ”方法来求. q q

例 5 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3n ,求 an 【解析】在 an?1 ? 2an ? 3n 两边除以 3

an ?1 2 an 1 ? ? ? , 3n ?1 3 3n 3 an 2 1 2 令 bn ? n ,则 bn ?1 ? bn ? ,∴ bn ?1 ? 1 ? (bn ? 1) , 3 3 3 3 2 n ?1 2 n ∴ bn ? 1 ? (b1 ? 1) ? ( ) ? ?( ) , 3 3 2 n ∴ bn ? 1 ? ( ) .∴ an ? 3n ? bn ? 3n ? 2n . 3
n ?1

,得

总之,数列的通项公式的求法有很多,着需要我们多做题,多总结。做到从题目中来到题目 中去。


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