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高三数学二轮复习第一篇专题突破专题七概率与统计第2讲概率、离散型随机变量及其分布课件理_图文

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第2讲 概率、离散型随机变量及其 分布

考情分析

总纲目录
考点一 考点二 考点三 古典概型与几何概型 相互独立事件和独立重复试验(高频考点) 随机变量的分布列、均值与方差

考点一 古典概型与几何概型
1.古典概型的概率公式
P(A)=? =?
m 事件A所包含的基本事件数 . 基本事件总数 n

[说明] 求事件包含的基本事件数常用到计数原理与排列、组合的相

关知识.
2.几何概型的概率公式 P(A)=?
构成事件A的区域长度(面积或体积) . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

典型例题
(1)(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机
抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是? ( A.?
5 18

) B.?
4 9

C.?

5 9

D.?

7 9

(2)(2017西安八校联考)在平面区域{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤4}内随机投入 一点P,则点P的坐标(x,y)满足y≤x2的概率为? ( A.?
1 2

)

B.?

1 3

C.?

2 3

D.?

3 4

答案 (1)C (2)B
解析 (1)由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n=9×8=72,抽到的2
A2 C1 C1 张卡片上的数奇偶性不同的基本事件个数m=? 2 =40,所以所求概率 5? 4?

P =? =?=? .故选C. (2)不等式组? ?
?0 ? x ? 2, 表示的平面区域的面积为2×4=8,不等式组 0 ? y ? 4 ?

m 40 5 n 72 9

?
?

?0 ? x ? 2, 2 2 1 x3? 8 ,因此所求的概率为 ? 表示的平面区域的面积为 ? x d x = ? ? 2 =? ?0 ? y ? 4, 0 ?0 3 3 ? y ? x2 ? 8 1 ,故选B. 3 =? 8 3

方法归纳 1.古典概型求解的关键点

(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,这常常用到
排列、组合的有关知识; (2)对于较复杂的题目计数时要正确分类,分类时应不重不漏. 2.几何概型的适用条件及其关键 (1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、 夹角等时,应考虑使用几何概型求解. (2)关键:寻找构成试验全部结果的区域和事件发生的区域是关键,有时 需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.

跟踪集训
1.(2017广东五校协作体第一次诊断考试)从1至9共9个自然数中任取七 个不同的数,则这七个数的平均数是5的概率为? ( A.?
2 3

)

B.?

1 3

C.?

1 9

D.?

1 8

7 C9 答案 C 从1至9共9个自然数中任取七个不同的数的取法共有? =

9?8 ? =36种,因为1+9=2+8=3+7=4+6,所以从(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)中任选三 2

组,则有? =? ,故选C. C3 4 =4,故这七个数的平均数是5的概率为?

4 1 36 9

2.(2017广东五校协作体第一次诊断考试)在区间[-1,1]上随机取一个
数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为? ( A.?
1 2

)

B.?

1 3

C.?

2 4

D.?

2 3

答案 C 若直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交,则圆心到直线的距离d=
| 3k | ? 1? k2

<1,解得-?<k<?,故在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k

2 4

2 4

2 2 (x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为P= 2 =? ,选C. 2 4

?

考点二 相互独立事件和独立重复试验(高频考点)
命题点

1.条件概率. 2.相互独立事件的概率. 3.独立重复试验的概率.
1.条件概率
P( AB) 在A发生的条件下B发生的概率:P(B|A)=? P( A) .

2.相互独立事件同时发生的概率
P(AB)=P(A)P(B). 3.独立重复试验、二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中
k n-k 恰好发生k次的概率为Pn(k)=C ? n p (1-p) ,k=0,1,2,…,n.

k

典型例题
(2017天津,16改编)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯
1 1 1 工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为? ,? ,? . 2 3 4

(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列;

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解析 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
? 1? ? 1? ? 1? 1 ? 1 ? ?×? ? 1 ? ?×? ? 1 ? ?=? P(X=0)=? , 2 3 ? ? ? ? ? 4? 4 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 11 ? 1 ? ?×? ? 1 ? ?×? P(X=1)=? 1-? ×? 1-? +? 1-? ×? 1-? +? =?, 3? 3×? 2 2×? 4? 2? 4? ? ? ? 3 ? 4 24

P(X=2)=? ×? +? ×? +? ×? ×? , ? 1 ? ?×? ? 1 ? ?×? ? 1 ? ?= ? 3 3 4 2 4 2 4 2 3 4 ? ? ? ? ? ?

?

1? 1 1 1 ?

1? 1 1 1 ?

1? 1

P(X=3)=? ×? ×? =?. 所以,随机变量X的分布列为
X P 0 ?
1 4

1 1 1 1 2 3 4 24

1 ?
11 24

2 ?
1 4

3 ?
1 24

(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的
个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)
1 11 11 1 11 =? ×?+?×? =?. 4 24 24 4 48

所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为?.

11 48

方法归纳 求相互独立事件和独立重复试验概率的策略

(1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件能转化
为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时 发生的积事件,然后用概率公式求解. (2)一个复杂事件若正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对立事 件进行求解,对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解. (3)注意辨别独立重复试验的基本特征:①在每次试验中,试验结果只有 发生与不发生两种情况;②在每次试验中,事件发生的概率相同.
k n-k (4)牢记公式Pn(k)=? p (1p ) ,k=0,1,2,…,n,并深刻理解其含义. Ck n

跟踪集训
1.(2017武汉武昌调研考试)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游,每
人只去一个景点,设事件A=“4个人去的景点不相同”,事件B=“小赵 独自去一个景点”,则P(A|B)=? (
2 9 4 C.? 9

)

A.?

1 3 5 D.? 9

B.?

答案 A 小赵独自去一个景点,则有4个景点可选;其余3人只能在剩下 的3个景点中选择,共有3×3×3=27种选取方法,所以小赵独自去一个景点 共有4×27=108种选取方法, 4个人去的景点不相同共有4×3×2×1=24种选取方法, 所以P(A|B)=? =? .故选A.
24 2 108 9

2.(2017宝鸡质量检测(一))现有4个人去参加春节联欢活动,该活动有
甲、乙两个项目可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一 枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为1或2的人 去参加甲项目联欢,掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢. (1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率; (2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人 数的概率.

解析 依题意,这4个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为? ,去参加 乙项目联欢的概率为? .设“这4个人中恰好有i人去参加甲项目联欢”
?1? ? 2? 为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=? Ci4 ? ? · ? ? . 3 ? ? ?3?
2 3

1 3

? ?

i

4 ?i

1? ? 2? (1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P(A2)= C ? ? ? ×? ? = ?3? ? 3? 8 . ? 27
2 ?4

? ?

2

2

(2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的

2 1 ? 1 ? ×? 4?1? 人数”为事件B,则B=A3∪A4,故P(B)=P(A3)+P(A4)=? + ? = ? . C3 C 4? ? 4? ? 3 ? ? 3 ?3? 9

?

3

?

4

∴这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数 的概率为? .
1 9

考点三 随机变量的分布列、均值与方差
1.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为实数). (2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为实数). 2.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). (2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).

典型例题
(2017课标全国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量
相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高 气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气 温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温 数据,得下面的频数分布表:
最高气温 天数 [10,15) 2 [15,20) 16 [20,25) 36 [25,30) 25 [30,35) 7 [35,40) 4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶 一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 解析 (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知
36 2 ? 16 25 ? 7 ? 4 =0.2,P(X=300)=?=0.4,P(X=500)=? =0.4. 90 90 90
200 0.2 300 0.4 500 0.4

P(X=200)=?

因此X的分布列为
X P

(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因
此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间[20,25), 则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n. 当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.

所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.

方法归纳
求解随机变量分布列问题的两个关键点 (1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所 表示的具体事件,然后综合应用各类概率公式求概率. (2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列,若随 机变量服从二项分布,则可直接使用公式法求解.

跟踪集训
(2017广西三市第一次联考)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案: 应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成.

规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲
有4道题能正确完成,2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都
2 是? ,且每题正确完成与否互不影响. 3

(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大. 解析 (1)设甲正确完成面试的题数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3.
2 C1 1 4C2 P(ξ=1)= 3 =? ; 5 C6

?

1 C2 C 3 4 2 P(ξ=2)= 3 =? ; 5 C6

?
?

0 C3 1 4C2 P(ξ=3)= 3 =? . 5 C6

应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为
ξ 1 2 3
1 3 1

P

? 5

? 5

? 5

E(ξ)=1×? +2×? +3×? =2. 设乙正确完成面试的题数为η,则η的可能取值为0,1,2,3.
1 0?1? C3 P(η=0)=? = ? ; ? ? 3 27 ? ?

1 5

3 5
3

1 5

?

? 2? ?1? 6 P(η=1)=? C1 ? × ? ? =?; 3? 3 ? ? ? 3 ? 27

? ?

1

2

2 ? 1 12 P(η=2)= C ? =?; ? ? ×? ? 3 ? 3 27
2 ?3

?

2

2? 8 P(η=3)= C ? ? ? = ?. ? 3 ? 27
3 ?3

?

3

应聘者乙正确完成题数η的分布列为
η P 0
1 ? 27

1
6 ? 27

2
12 ? 27

3
8 ? 27

E(η)=0×?+1×?+2×?+3×?=2.
? 2 ? ? 2? ? 或因为 η ~ B 3, , 所以 E ( η ) ? 3 ? ? 2. ? ? ? ? ? ? 3? 3 ?

1 27

6 27

12 27

8 27

(2)因为D(ξ)=(1-2)2×? +(2-2)2×? +(3-2)2×? =? ,D(η)=3×? ×? =? ,所以D(ξ)<
D(η).综上所述,从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的 方差考察,甲较稳定;从至少完成2道题的概率考察,甲面试通过的可能性大.

1 5

3 5

1 2 5 5

2 1 2 3 3 3

随堂检测
1.(2017课标全国Ⅰ,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的
太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是? ( )

1 A.? 4

? B.?
8

1 C.? 2

? D.?
4

答案 B 设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部 分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为? ,所以在
? ? 正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P= 2 =? ,故选B. 2? 2 8
2

?

?

2.(2017安徽两校阶段性测试)将三颗骰子各掷一次,记事件A=“三个点
数都不同”,B=“至少出现一个6点”,则条件概率P(A|B),P(B|A)分别是
?(

) B.? ,?
1 60 2 91

A.?,?

60 1 91 2

C.? ,?

5 60 18 91

D.? ,?

91 1 216 2

答案 A 由题意得事件A包含的基本事件个数为6×5×4=120,事件B包

含的基本事件个数为63-53=91,在B发生的条件下A发生包含的基本事件
2 2 A5 A5 个数为? =60,在A发生的条件下B发生包含的基本事件个数为? = C1 C1 3? 3?

60,所以P(A|B)=?,P(B|A)=? =? .故选A.

60 91

60 1 120 2

3.(2017课标全国Ⅱ,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中
每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= . 答案 1.96 解析 由题意可知X~B(100,0.02),由二项分布可得DX=100×0.02×(1-0.0

2)=1.96.

4.(2017湖南五市十校联考)为响应国家“精准扶贫,产业扶贫”战略的 号召,进一步优化能源消费结构,某市决定在地处山区的A县推进光伏发 电项目.在该县山区居民中随机抽取50户,统计其年用电量得以下统计 表.以样本的频率作为概率.
用电量(单位:度) 户数 (0,200] 5 (200,400] 15 (400,600] 10 (600,800] 15 (800,1 000] 5

(1)在该县山区居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户 数为X,求X的数学期望; (2)已知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量 为300千瓦的光伏发电机组,该机组所发电量除保证该村正常用电外,剩 余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的 发电机组年平均发电1 000度,试估计该机组每年所发电量除保证正常 用电外还能为该村创造直接收益多少元.

解析 (1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户,其年用电量不超过600
3 度为事件A,则P(A)=? . 5

由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过60
3 ? 3? 0度的户数为X,X服从二项分布,即X~B? , 故 E ( X )=10 × ? =6. 10, ? ?

?

5?

5

(2)设该县山区居民户年均用电量为E(Y),由抽样可得E(Y)=100×?+300 ×?+500×?+700×?+900×?=500(度). 则该自然村年均用电约150 000度. 又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度,故该机组每年所发电 量除保证正常用电外还能剩余电量约150 000度,能为该村创造直接收
15 50 10 50 15 50 5 50

5 50

益120 000元.


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