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§5 5.1 从单位圆看正弦函数的性质 5.2 正弦函数的图像

时间:2012-12-18


§5 正弦函数的性质与图像
5.1 从单位圆看正弦函数的性质

5.2 正弦函数的图像

1.会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像. 2.掌握正弦函数图像的“五点作图法”. 3.掌握与正弦函数有关的简单图像平移变换和对称变换.

前面我们定义了任意角三角函数之后,又从“数”的角度 研究了三角函数的关系式及诱导公式,从这节课开始,我

们将从函数的角度来一起探讨三角函数的图像与性质,首
先来看:

正弦函数的图像与性质

从单位圆看正弦函数的性质 函数y=sinx 正弦函数y=sinx有以下性质: y (1)定义域:R (2)值域:[-1,1] P(u,v) (3)它是周期函数,其 α M x 周期是 2p

(4)在[0,2p ]上的单调性
增区间为: p ],[ 3p , 2p ] [0,
2 2

减区间为:p , 3p ] [
2 2

一、三角函数线
1. sinα 、cosα 的几何意义.

y
想一想? 1
P
T

正弦线MP 余弦线OM

o

M

1

A

x

三角问题

几何问题

2.作出 135

o

的三角函数线:

135 o

y P
A(1,0) x
135
o

角的

正弦线为 MP;
余弦线为 OM;

M

o

T

二、画出函数y=sinx图像
1.用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的?

(1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
3
3 2

x
y

0

?
6
1 2

?
2

2? 3
3 2

5? 6
1 2

?
0

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0

1
y 1-

?1 2

?

3 2

? 1 ? 23

?1 2

0

(2) 描点

0

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

(3) 连线

?1 -

2.函数

y ? sin x, x ? ?0,2? ?图像的几何作法
作法: (1)等分 (2)作正弦线

(3)平移 (4)连线
P 1
?
6

/ p1

o1

M1

A

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

3.正弦曲线

因为终边相同的角的三角函数值相同,

? 所以y=sinx的图像在……, 4? ,?2? , ?? 2? ,0?, ?2? ,4? ?,
…与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同.

?

?

4.五点作图法
y
1-

图像的最高点 (
-

?
2

,1)

-1

o
-1 -

?
6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

与x轴的交点

(0,0) (? ,0) (2? ,0)

图像的最低点

? ( 32 ,?1)

简图作法 (1)列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标) (2)描点(定出五个关键点) (3)连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)

例1.作出 y=-sinx,x 解:

? [0,2p ] 的图像.
0
π 2

x

π
0 0

3π 2

2?
0 0

y=sinx y=-sinx
y
1

0 0

1 -1

-1 1

y= -sinx,

.

x? [0,2? ]
2?

.
-1

? 2

.

. ?

3? 2

.

x

y ? sinx, ?[0,2π] x

例2.画出y=1+sinx , x∈[0,2p ]的简图

解:

x
sinx
1 ? sinx

0
0

π 2
1

π
0

3π 2

2?
0

-1

1

2

1

0

1

2 y 1.

.
π 2

y ? 1 ? sinx, ?[0,2π] x

.
?

.

o -1

. 3π
2

2?

x

y ? sinx, ?[0,2π] x

2p 1.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0, ]的简图

. . 2
1 o -1
π 2

y=sinx+2, x∈[0,2p ]

y

. .
?
3π 2

.

2?

x

y ? sinx, ?[0,2π] x

2p 2.用五点法画出y=sinx-1, x∈[0, ]的简图

2 y 1
y ? sinx, ?[0,2π] x

o -1.

. π
2

?

.

3π 2

2?

.

x

y=sinx-1, x∈[0, 2π ]

.

通过本节学习应掌握以下几点:
1.会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图像.

2.掌握正弦函数图像的“五点作图法”.
3.掌握与正弦函数有关的简单图像的平移变换和对称变换.

冰山在海里移动,它之所以显得庄严宏伟,
是因为只有1/8露出水面。

——海明威《老人与海》


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