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2018-2019学年高二数学苏教版选修1-1课件:第3章 3.2.1 常见函数的导数_图文

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第3章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.1 常见函数的导数 1 学习目标:1.能根据导数的定义,求函数y=c,y=x,y=x ,y=x ,y= 2 x的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式,求简单函数的导 数.(重点、难点) [自 主 预 习· 探 新 知] 基本函数的导数公式 (kx+b)′= k C′= 0 (C 为常数) α-1 (xα)′= αx (α 为常数) x a (a )′= ln a x (a>0,且 a≠1) 1 (logax)′= logae x x 1 =xln a(a>0,且 a≠1) x e (e )′= (ln x)′= 1 x (sin x)′= cos x (cos x)′= -sin x [基础自测] 1.判断正误: 1 (1)(log3π)′=πln 3.( ) ) ) 1 (2)若f(x)=x ,则f′(x)=ln x.( (3)因为(sin x)′=cos x,所以(sin π)′=cos π=-1.( (4)f(x)=a3(a为常数),f′(x)=3a2.( ) 【解析】 (1)×.(log3π)′=0. 1 1 (2)×.若f(x)=x ,则f′(x)=-x2. (3)×.(sin π)′=0. (4)×.∵a是常数,∴f(x)=a3是常数,故f′(x)=0. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.函数y=ln x在x=2处的切线的斜率为________. 1 1 【解析】 k=y′|x=2=(ln x)′|x=2=x |x=2=2. 1 【答案】 2 [合 作 探 究· 攻 重 难] 利用导数公式求函数的导数 求下列函数的导数: (1)y=x · x;(2)y=2cos -1;(3)y=log2x; 2 (4)y= 3 -x ? ? 1 x4;(5)y=?2? ;(6)y= ? ? 2 2x x . x [思路探究] 求导. (3)可直接利用公式求导;(1)(2)(4)(5)(6)需变形之后利用公式 【自主解答】 (1) (2)∵y=2cos 2-1=cos x, ∴y′=(cos x)′=-sin x. 1 (3)y′=(log2x)′=xln 2. 2x [规律方法] 利用求导公式求函数的导数的两个关注点 ?1?直接用公式:若所求函数符合基本初等函数导数公式,则直接利用公式 求解. ?2?变形用公式:对于不能直接利用公式的类型,关键是利用代数恒等变换 对函数解析式进行化简或变形,合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模 式,如根式化成分数指数幂的形式等. [跟踪训练] 1.求下列函数的导函数: (1)y=2x; (2)y= x3; x x (3)y=2sin 2cos 2. 4 利用导数求切线方程 (1)曲线y=x3在点(1,1)处的切线方程为________. (2)过点(3,5)且与曲线y=x2相切的切线方程为__________. [思路探究] (1)可直接利用k=f′(x0)求切线的斜率. (2)点(3,5)不在曲线上,故解答本题需先设出切点坐标,再利用导数的几何 意义求出斜率,进而求出切点坐标,得到切线的方程. 【自主解答】 1),即3x-y-2=0. (1)∵y′=3x2,∴k=3×12=3,故切线方程为y-1=3(x- (2)∵点(3,5)不在曲线y=x2上, ∴可设过点(3,5)与曲线y=x2相切的直线与曲线的切点为(x0,y0). ∵y′=2x,∴当x=x0时,y′=2x0,故切线方程为y-x2 0=2x0(x-x0). 又∵直线过(3,5)点,∴5-x2 0=2x0(3-x0), 即x2 0-6x0+5=0,解得x0=1或x0=5. 故切线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0. 【答案】 (1)3x-y-2=0 (2)2x-y-1=0或10x-y-25=0 [规律方法] 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. (2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进 行求解. [跟踪训练] 2.设 ? ? π?? P(x0,y0)?x0∈?0,2??是曲线 ? ? ?? y=cos x 上的点,在点 P 处的切线与直线 3x+2y-1=0 平行,则 P 点的坐标为________. 【解析】 ∵点P处的切线与 3x+2y-1=0平行, 3 ∴切线斜率k=- 2 , 3 3 ∴y′=-sin x0=- 2 ,∴sin x0= 2 . ? π? π ? ? 又∵x0∈ 0,2 ,∴x0=3, ? ? ?π 1? π 1 ∴y0=cos 3=2,∴P点为?3,2?. ? ? 【答案】 ?π 1? ? , ? ?3 2? 导数的综合应用 [探究问题] 1.函数y=f(x)的导数为f′(x),f′(x0)的几何意义是什么? 【提示】 f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率. 2.在涉及曲线的切线问题时,若切点坐标没有作为条件给出,应如何处 理? 【提示】 应设出切点坐标,利用k=f′(x0),y0=f(x0)等条件构建方程组求 解. 3.设某物体运动的位移为y=f(t),那么f′(t0)的实际意义是什么? 【提示】 f′(t0)是物体在t=t0时刻的瞬时速度. (1)曲线 y=x3 上一点 B 处的切线 l 交 x 轴于点 A, △OAB(O 是原点) 是以 A 为顶点的等腰三角形,则切线 l 的倾斜角为________. (2)某质点运动的方程为 y=2x,则在 x=3 时的瞬时速度为________. [思路探究] (1)设出切点的坐标,由已知条件求出切点坐标,并求出斜率 从而得出l的倾斜角. (2)求x=3时的导数.

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