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向艳芳 简单多面体的外接球与内切球问题_图文

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圆锥曲线的最值问题

高三复习专题训练:

简单多面体的外接球与内切球问题
高三数学组 向艳芳

高考地位:
几何体与球有关的组合问题,一种是外接,
一种是内切。纵观近几年高考题,这种特殊的

位置关系在高考中既是考查的热点也是考查的
难点,这是因为与球有关的几何体能很好的考 查学生的空间想象能力以及化归能力。下面就 常见几何体内切球与外接球问题进行分析。

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题型一、公式法(包括补形法)
1.正方体的内切球与外接球 设正方体棱长为 a 结论 1:正方体的内切球半径 r ? 结论 2:正方体的外接球半径 R ?

1 a 2

3 a 2

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题型一、公式法(包括补形法)
2.长方体的外接球 结论 3:设长方体棱长为 a, b, c ,此长方体的外接球 半径 R ?

a 2 ? b2 ? c 2 2

结论 4:对棱两两相等的三棱锥,对棱长分别为 x, y , z , 此三棱锥外接球半径 R ? 结论 5:可构造成对应长方体求解:

x ?y ?z 8
2 2

2

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题型一、公式法(包括补形法)

3.正四面体的内切球与外接球 3 设正四面体棱长为 a a 2 结论 6:正四面体的斜高 6 正四面体的高 h ? a
3


6 a 12

结论 7:正四面体的内切球半径 r ? 结论 8:正四面体的外接球半径 R ?

6 a 4

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题型二、寻求轴截面

h 1. 圆柱外接球模型--- R ? r ? 4
2

2

(1)圆柱--------- r , h 自带 (2)直棱柱-------- r : 底面外接圆半径; h : 直棱柱的高 (3)一根侧棱 ? 底面的锥体--------- r : 底面外接圆半径; h : 垂直于底面的那条侧棱 (4)一个侧面 ? 矩形底面的四棱锥--------- r : 垂直底面的 侧面外接圆半径; h : 垂直于那个侧面的底边长

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题型二、寻求轴截面
例 1.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a ,顶 点都在一个球面上,则该球的表面积为( A. ? a
2

) D. 5? a
2

7 2 B. ? a 3
0

11 2 ?a C. 3

变式 1.“ ?BAC ? 60 ”换成“ ?BAC ? 120 ”
0

变式 2.“三棱柱”换成“六棱柱”

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题型二、寻求轴截面
例 2.已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球上,

SA ? 平面ABC , SA ? 2 3 , AB ? 1 , AC ? 2 ,
?BAC ? 600 ,则球 O 的表面积为(
A. 4? B. 12? C. 16? D. 64?
0



变式题: 等腰直角 ABC 中, ?A=90 ,BC ? 2 ,D 为 BC 的中点,将三角形沿 AD 翻折,使二面角 B ? AD ? C 为

60 0 ,则三棱锥 A ? DBC 的外接球的表面积
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题型二、寻求轴截面

r 2 ? h2 2.圆锥外接球模型--- R ? 2h
(1)圆锥--------- r , h 自带 (2)正棱锥-------- r : 底面外接圆半径; h : 正棱锥的高 (3) “底面为直角三角形+上顶点在底面投影为斜边中点”

1 的三棱锥--------- r : 底面斜边长的 ; h : 三棱锥的高 2

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题型二、寻求轴截面
例 3.正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长 1,侧棱长 2 ,点

S、A、B、C、D 都在同一球面上,则此球的体积
为 .

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题型二、寻求轴截面

变式题.一个几何体的三视图 如图所示,其中正视图是一 个正三角形,则这个几何体 的外接球的表面积为( )

16 A. ? 3
C. 4 3

8 B. ? 3
D. 2 3?

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题型三、确定球心位置
例 4.在矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 3 ,沿 AC 将矩形

ABCD 折成一个直二面角 B ? AC ? D , 则四面体 ABCD
的外接球的体积为( )

125 ? A. 12

125 ? B. 9

125 ? C. 6

125 ? D. 3

变式:“直二面角”换成“二面角”

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小结:
题型一、公式法(包括补形法) 题型二、寻求轴截面 题型三、确定球心位置

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