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峨山彝族自治高中数学必第二章数列2.4等比数列课件新人教A版必修5_图文

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学习目标: 1.知识目标: 1).理解等比数列的定义并证明数列为等比数列; 2).掌握等比数列的通项公式.会解决知道n, a1, an , q 中的三个,求另一个的问题. 2.能力目标: 培养类比思维能力,数学归纳能力及应用数学知识 解决问题的能力。 学习重点: 1.等比数列概念的理解与掌握; 2.等比数列的通项公式的推导及应用. 一:旧知回顾 名称 概念 常数 等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零 常数性质 通项公式 通项变形 an ? a1 ? (n ? 1)d a n ? a k ? (n ? k )d (n, k ? N * ) 二:创设情景,引入新课 有一个巴伊老爷很小气,阿凡提听说后就想治治他。阿凡 提给巴伊老爷打工,还说第一天只需支付1分钱,第二天2 分,第三天4分,依次类推,每一天都是前一天的2倍,伊 巴老爷觉得才几分钱便欣然同意了,大家猜猜看,到第30 天,巴伊老爷能支付出工资来吗? 2 ? 536870912 (分) ? 537 (万元) 29 观察下列数列,说出它们的特点. (1)1,2,4,8,… (2)5, 25,125, 625... 1 1 1 (3)1, ? , , ? , 2 4 8 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一 项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比 数列,这个常数叫做公比,记为q(q≠0). an ? q ( n ? 2且n ? N* ). 数学语言: an ?1 an ?1 或 ? q ?n ? N *? an 1.等比数列定义 一般的,如果一个数列从第2项起,每一 项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比,公比通常用字母q表示。 (q≠0) 其数学表达式: an ? q ( n ? 2) an ?1 或 an ?1 * ? q(n ? N ) an 思考1: 1.已知等比数列{ an }: (1) an 与q能不能是零? 不能 能 (2)公比q能不能是1? 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ① 1,-1,1,…,(-1)n+1 √ ; ②1,2,4,6…; ③a,a,a,…,a; × × ④已知a1=2,an=3an+1 ; √ 2 3 ⑤ m, 2m, 4m ,8m ,... × 非零的 ⑥2a,2a,2a,…,2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列?常数列 等差数列通项公式的推导: 方法一:(累加法) a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d … … an?1 ? an?2 ? d an ? an?1 ? d ? an ? an?1 ? d a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d 方法二:(归纳法) (n-1)个 式子 ? a1 ? 2d ? (a1 ? d ) ? d a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d an ? a1 ? (n ? 1)d an ? a1 ? (n ? 1)d … … 通项公式的推导: 方法一:(累加法) (等差数列) a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d … … an?1 ? an?2 ? d an ? an?1 ? d ? 方法一:(累乘法) (等比数列) (n-1)个 式子 an ? a1 ? (n ? 1)d a2 ?q a1 a3 ?q a2 a4 ?q a3 … … an ?q an?1 an n ?1 ?q a1 ? (n-1)个 式子 通项公式的推导: 等差数列通项公式的推导(归纳法) 等比数列通项公式的推导(归纳法) a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d ? (a1 ? d ) ? d a2 ? a1q a3 ? a2 q ? (a1q)q 2 ? a1q a4 ? a3q ? (a1q 2 )q a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1q 3 ? a1 ? 3d an ? a1 ? (n ? 1)d … … … … a n ? a1 q n ?1 2:等比数列的通项公式 等比数列 an ,首项为 a1,公比为q,则通项公式为 当q=1时,这是 一个常函数。 ? ? an ? 0 an ? a1 ? q n ?1 变形结论: 在等差数列 ?an ? 中 an ? am ? (n ? m)d (n, m ? N * ) 试问:在等比数列 ?an ? 中,如果知道 am 和公 比q,能否求 an ?如果能,请写出表达式。 an ? amq n ?m (n, m ? N ) * 等比数列通项公式的变形 已知等比数列的公比为q,第m项为 am ,求 an . 解:由等比数列的通项公式可知   an ? a1q n ?1   am ? a1q m ?1 an 两式相除,得 ? q n ? m am ?  an ? amq n?m 试比较 a n =a1qn-1 与an ? amqn?m 13 通项公式 an ? a1 ? q 通项公式的变形 ?  an ? amq n ?1 n?m “知三求一”的方程思想 三:应用示例 ?an ?满足a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 例1:已知数列 ?an ? 1?是等比数列; (1)求证:数列 ?an ?的通项公式。 (2)求数列 ?an ? 1?为等比 ? 分析:要证 ??an ? 1?是以a1 ? 1 ? 2为首项,公比为 2的等比数列。 ? an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ? an ? 2n ? 1 an?1 ? 1 2an ? 2 证明:

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