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【创新设计】2011届高三数学一轮复习 2-6 幂函数、一次函数及二次函数随堂训练 理 苏教版

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第 6 课时
一、填空题 1.若 . 解析: 解析:∵ + ?a+1>0 ? - ∴?3-2a>0 ?a+1>3-2a ? + -

幂函数、 幂函数、一次函数及二次函数

的取值范围是________. ,则 a 的取值范围是 . , + ?a+1<0 ? - 或?3-2a<0 ?a+1>3-2a ? + -
? - ?3-2a>0 3 2 或? - ,解之得3<a<2或 a<-1. ? + ?a+1<0

2 3 答案: 答案:3<a<2或 a<-1 - , = 2.(2010·山东潍坊模拟 已知函数 f(x)=xα 的图象经过点(4,2),则 log2f(2)=________. . 山东潍坊模拟)已知函数 = 的图象经过点 山东潍坊模拟 1 解析:由题意知: = 解析:由题意知:2=4α,∴α=2,∴log2f(2)= = = 1 答案: 答案:2 3.当|x|≤1 时,函数 f(x)=ax+2a+1 的值有正也有负,则实数 a 的取值范围是 . 的取值范围是________. ≤ = + + 的值有正也有负, . 1 解析: 解析:由题意知 f(-1)·f(1)<0,∴(-a+2a+1)(a+2a+1)<0,∴-1<a<-3. - , - + + + + , - 1 答案:? ,- ? 答案:?-1,-3? 4.(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查 一))已知集合 A={x|x2-2x<3},集合 B= .苏 镇四市高三教学情况调查(一 已知集合 = , = {x|x≤2},则 A∩B=________. ≤ , ∩ = 解析: = 解析:A={x|x2-2x-3<0}={x|(x+1)(x-3)<0}=(-1,3);B=(-∞,2], - = + - =- ; =- , ∴A∩B=(-1,2]. ∩ =- . 答案: - 答案:(-1,2] 2 ?1 5.(南通市调研考试 已知幂函数 f(x)=k·xα 的图象过点 , ?,则 k+α=________. . 南通市调研考试 南通市调研考试)已知幂函数 的图象过点 = = ?2 2 ? 2 ?1?α 1 2? ?1 α= 解析: 解析:由幂函数定义得 k=1,再将点 , , ?2 2 ?代入得 2 =?2? ,从而 =2, 3 故 k+α=2. = 3 答案: 答案:2 6.函数 f(x)=(x-1)log2a-6xlog3a+x+1 在区间 . 上恒为正值, = - + + 在区间[0,1]上恒为正值,实数 a 的取值范围 上恒为正值 3 - 是________. . 1 = 2.

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2 ?-log3a+1>0 + ?f(0)>0 ? 1 3 解析: ,? 解析:由题知? ,3<a< 3. < ?f(1)>0 ? + ?-6log3a+2>0

?1 3 ? 答案: 答案:? , 3? ?3 ?
7.(苏州市高三教学调研测试 设函数 f(x)=ax2+x-a(x∈[-1,1])的最大值为 M(a),则 . 苏州市高三教学调研测试 苏州市高三教学调研测试)设函数 = - ∈- 的最大值为 , 的最大值为________. 对于一切 a∈[-1,1],M(a)的最大值为 ∈- , , 的最大值为 . 解析: = ; ≤ 解析:①当 a=0 时,有 f(x)=x,此时当 x∈[-1,1]时有 f(x)max=f(1)=1;②当 0<a≤1 = = , ∈- 时有 1 1 = ; 时,f(x)的对称轴为 x=-2a∈?-∞,-2?,又图象开口向上,此时 f(x)max=f(1)=1; 的对称轴为 =- ? ? 又图象开口向上, 1 1 ,+∞ 且图象开口向下, 当-2≤a<0 时,对称轴 x=-2a∈[1,+∞)且图象开口向下,此时 f(x)max=f(1)=1; < =- ,+ 且图象开口向下 = ; 1 1 1 当-1≤a<-2时,对称轴 x=-2a∈?2,1?且图象开口向下, ≤ <- =- ? ?且图象开口向下, 1 1 - 此时 f(x)max=f ?-2a?= -a-4a, ? ? 1,0≤a≤1 ?,≤≤ ?1,-1≤a<0 ,-2 < 所以 M(a)=? = 1 ?-a-4a,- ≤a<-1 ? - ,-1≤ <-2 5 答案: 答案:4 二、解答题 2a 8.如果函数 y= x (x<0)的图象与函数 y=a2x+1(x<0)的图象有 2 个交点,求 a 的取值 . = 的图象与函数 = + 的图象有 个交点, 范围. 范围. 2a 个解, 解:当 x<0 时,有 2 个交点即方程 x =a2x+1 在(-∞,0)上有 2 个解, < + - 上 即函数 f(x)=a2x2+x-2a 在(-∞,0)上有 2 个零点,如右图, = - - 上有 个零点,如右图,

5 =-1 ,所以当 a=- 时,M(a)max=4. =-





1 1 ,解得- <a<0,故 a 应满足- <a<0. 解得- < , 应满足- < 2 2 (m∈Z),在(0,+∞)上是减函数,求 y 的解析式并讨论 ∈ , ,+∞ 上是减函数, ,+ 上是减函数
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9.已知幂函数 y= . =

单调性和奇偶性. 单调性和奇偶性. 解:由幂函数的图象和性质知: 由幂函数的图象和性质知: m2-2m-3<0,得-1<m<3,又 m∈Z,所以 m=0,1,2. - < , < < , ∈ , =
-3 定义域为(- ,+∞ ,+∞ 当 m=0 时,y=x ,定义域为 -∞,0)∪(0,+∞),此时函数在 ,+∞)和(-∞, = = ∪ ,+ ,此时函数在(0,+ 和 - -

0)上都是单调递减函数.又(-x) 3=- 3,y=x 上都是单调递减函数. - =-x 上都是单调递减函数 =






-3

是奇函数; 是奇函数;

4 定义域为(- ,+∞ 当 m=1 时,y=x ,定义域为 -∞,0)∪(0,+∞),结合图象,函数在 -∞,0)上 = = ∪ ,+ ,结合图象,函数在(- 上
- - 单调递增, ,+∞ 上单调递减. - - 是偶函数, 单调递增,在(0,+∞)上单调递减.又(-x) 4=x 4,故 y=x 4 是偶函数, ,+ 上单调递减 = - - -

当 m=2 时,y=x = =

-3

同 m=0 时的结论相同. = 时的结论相同.

10.(2010·盐城中学高三上学期期中考试 已知函数 g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1), . 盐城中学高三上学期期中考试)已知函数 + + ≠ , < , 盐城中学高三上学期期中考试 = g(x) 在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1,设 f(x)= x . 上有最大值 , 在区间 , = (1)求 a,b 的值; 求 , 的值; (2)不等式 f(2x)-k·2x≥0 在 x∈[-1,1]上恒成立,求实数 k 的范围; 不等式 上恒成立, 的范围; - ∈- 上恒成立 2 x 有三个不同的实数解, 的范围. (3)方程 f (|2 -1|)+k ?|2x-1|-3?=0 有三个不同的实数解,求实数 k 的范围. 方程 ? ? 解:(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a, = - + - ,
? ? - + + = , ? = = ?g(3)=4 ?9a-6a+1+b=4, ?a=1 上为增函数, 当 a>0 时,g(x)在[2,3]上为增函数,故? > 在 上为增函数 ?? ?? ? ? - + + = ? = = ?g(2)=1 ?4a-4a+1+b=1. ?b=0 ?g(3)=1 ?9a-6a+1+b=1 ?a=- =-1 = ? ? - + + = ? =- 上为减函数, . 当 a<0 时,g(x)在[2,3]上为减函数,故? < 在 上为减函数 ?? ?? ? ? - + + = ? = = ?g(2)=4 ?4a-4a+1+b=4 ?b=3

1 ∵b<1,∴a=1,b=0 即 g(x)=x2-2x+1.f(x)=x+x-2. < , = , = = + = + 1 1 1 x (2)不等式 f (2 )-k·2x≥0 化为 2x+ x-2≥k·2x,1+?2x?2-2 x≥k, 不等式 ≥ +? ? 2 2 1 1 令2x=t,k≤t2-2t+1,∵x∈[-1,1],∴t∈?2,2?,记 φ(t)=t2-2t+1,∴φ(t)min=0, , + , ∈- , ∈? + , , = ? ∴k≤0. 2 x (3)方程 f (|2 -1|)+k ?|2x-1|-3?=0,化为 x-1|+ 方程 化为|2 + ? ? , |2x-1|2-(2+3k)|2x-1|+(1+2k)=0,|2x-1|≠0. + k + + k= , ≠ 令|2x-1|=t,则方程化为 t2-(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0). =, + k + + k= ≠ . ∵方程|2x-1|+ 方程 + -(2+3k)=0 有三个不同的实数解, + k = 有三个不同的实数解, -(2+3k)=0 + k=

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的图象知, ∴由 t=|2x-1|的图象知,t2-(2+3 k)t+(1+2 k)=0 有两个根 t1、t2, 的图象知 且 0<t1<1<t2 或 0<t1<1,t2=1,记φ(t)=t2-(2+3 k)t+(1+2 k) < < < < , ,





,∴k>0.

1.(2010·全国大联考三江苏卷 设二次函数 k(x)=ax2+bx+c,且 k(-1)=0.对一切实数 . 全国大联考三江苏卷)设二次函数 全国大联考三江苏卷 = + , - = 对一切实数 1 恒成立(a≠ . x,不等式 x≤k(x)≤ (x2+1)恒成立 ≠0). , 恒成立 ≤ ≤2 (1)求函数 k(x)的表达式;(2)求证: 求函数 的表达式; 求证 求证: 的表达式 + +…+ 2n > . n+2 +

1 (1)解:由 x≤k(x)≤ (x2+1)得 1≤k(1)≤1,∴k(1)=1.∵k(x)=ax2+bx+c(a≠0), 解 ≤ ≤2 得 ≤ ≤ , = ∵ = + ≠ ,
?a+b+c=1, ? + + = , 1 1 1 又∵k(1)=1,k(-1)=0,∴? = , - = , ?a+c=2,b=2.又 x≤k(x)≤2(x2+1)恒 + = = 又 ≤ ≤ 恒 ? - + = , ?a-b+c=0,

成立, 成立, a>0, ? , ??=1-4ac≤0, 1 =4 ≤ , 则由 ax - x+c≥0(a≠0)恒成立得? + ≥ ≠ 恒成立得 2 ?a+c=1, ? + =2
2

1 ?a=c= . = = 4

1 1 1 1 1 1 1 同理由?2-a?x2- x+ -c≥0 恒成立得 -4ac≤0,可得 a=c= .综上 a=c= ,b= , + ≥ ≤ , = = 综上 = = = ? ? 2 2 4 4 4 2 1 1 1 所以 k(x)=4x2+2x+4. = + n2+2n+1 (n+1)2 + + (2)证明:k(n)= 证明: 证明 = = 4 ? 4 4 = (n+1)2 +

n 1 1 1 要证原不等式成立, > . 要证原不等式成立,即证22+32+…+ (n+1)2 2n+4 + + 1 1 1 1 > ∵ = - , (n+1)2 (n+1)(n+2) n+1 n+2 + + + + + n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > - + - +…+ . - = - = ∴ 2 2+ 3 2+ … + (n+1)2 2 3 3 4 + n+1 n+2 2 n+2 2n+4 + + + +

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+…+

2n > . n+2 + (k∈Z)满足 f(2)<f(3). k 满足 .

2.已知函数 f(x)= . =

(1)求 k 的值并求出相应的 f(x)的解析式; 求 的解析式; 的解析式 (2)对于 中得到的函数 f(x),试判断是否存在 q,使函数 g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x 在 对于(1)中得到的函数 对于 , , = - + - 17 区间[- 区间 -1,2]上的值域为?-4, 8 ??若存在,求出 q;若不存在,说明理由. 上的值域为? , ? 若存在, ;若不存在,说明理由.
2 在第一象限是增函数. 解:(1)∵f(2)<f(3),∴f(x)在第一象限是增函数.故-k +k+2>0,解得-1<k<2. ∵ , 在第一象限是增函数 ,解得- k 2 ,-k2 又∵k∈Z,∴k=0 或 k=1.当 k=0 或 k=1 时,-k +k+2=2,∴f(x)=x . , 当 = , =

(2)假设存在 q>0 满足题设,由(1)知 g(x)=- 2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2]. 假设存在 满足题设, =-qx 知 =- - + , ∈- . 2q-1 4q2+1 - =-1, 两个最值点只能在端点(- , - 和顶点 处取得. ∵g(2)=- ,∴两个最值点只能在端点 -1,g(-1))和顶点? 2q , 4q ?处取得. =- ? ? 4q2+1 4q2+1 (4q-1)2 - 而 -g(-1)= - = -(2-3q)= - = ≥0, , 4q 4q 4q 4q2+1 17 =-4.解得 = ∴ ∴g(x)max= 4q = 8 ,g(x)min=g(-1)=2-3q=- 解得 q=2.∴存在 q=2 满足题意. - = - =- = 满足题意.

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