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空间中的平行关系(3)

时间:2017-11-30


空间中的平行关系(3)

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解 空间中线面平行的判定定理与有关性质. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图 形的平行关系的简单命题.

考点三

平行关系中的计算问题

[例3] (1)如图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之 间.点A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E.设AF交β于 M,AC与DF不平行,α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,则当 h′ △BEM的面积最大时 h =________.

(2)如图所示,四边形EFGH所在平面为三棱锥A-BCD的一 个截面,四边形EFGH为平行四边形.

①求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH; ②若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.

审题视点

(1)由面面平行得到线线平行,进而得到各线段间

的关系,结合三角形的面积公式求解即可; (2)①证明AB,CD各平行于平面EFGH内的一条直线即可; ②设EF=x,用含x的式子表示四边形EFGH的周长,转化为求关 于x的函数的值域.

解析

(1)由题意知BM∥CF,

BM AB h′ ME h-h′ ∴ CF =AC= h .同理, AD = h . h′? h′? 1 ? ? ∴S△BEM=2CF· AD h ?1- sin∠BME. ? h ? ? 据题意知,AD与CF是异面直线,只是β在α与γ间变化位置. 故CF、AD是常量,sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值, 也是常量,令h′∶h=x.

1 只要考查函数y=x(1-x)的最值即可,显然当x=2, h′ 1 即 h =2时,y=-x2+x有最大值. h′ 1 ∴当 h =2,即β在α,γ两平面的中间时,S△BEM最大.

1 答案 2

(2)①证明:∵四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥GH. ∵HG? 平面ABD,EF 平面ABD,∴EF∥平面ABD. ∵EF? 平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB, ∴EF∥AB, ∵EF? 平面EFGH,AB 平面EFGH, ∴AB∥平面EFGH. 同理可得CD∥平面EFGH.

②设EF=x(0<x<4),四边形EFGH的周长为l. CF x 由①知EF∥AB,则CB=4; FG BF 又由①同理可得CD∥FG,则CD=BC, FG BF BC-CF x ∴ 6 =BC= BC =1-4. 3 从而FG=6-2x.

? 3 ? ∴四边形EFGH的周长l=2?x+6-2x?=12-x ? ?

又0<x<4

∴8<l<12

即四边形EFGH周长的取值范围为(8,12).

解决立体几何中范围(或最值)问题的关键是如何确定变量及 如何建立关系式,求最值的常用方法是运用函数或利用基本不等 式,解题中需注意函数的定义域及基本不等式成立的条件.

1.(2014· 高考安徽卷)如图,四棱锥PABCD的底面是边长为 8的正方形,四条侧棱长均为2 17 .点G,E,F,H分别是棱PB, AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平 面GEFH. (1)证明:GH∥EF; (2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.

解:(1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC?平面PBC,且平面 PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.同理可证EF∥BC,因此 GH∥EF.

(2)如图,连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接PO, GK.

因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC, 同理可得PO⊥BD.

又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面ABCD内, 所以PO⊥底面ABCD. 又因为平面GEFH⊥平面ABCD, 且PO 平面GEFH,所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH=GK, 所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD, 从而GK⊥EF. 所以GK是梯形GEFH的高.

由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 从而KB=4DB=2OB,即K为OB的中点. 1 再由PO∥GK得GK=2PO, 1 即G是PB的中点,且GH=2BC=4. 由已知可得OB=4 2, PO= PB2-OB2= 68-32=6,所以GK=3.

GH+EF 4+8 故四边形GEFH的面积S= · GK= 2 ×3=18. 2

2.(2016· 淄博市高三考前检测)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,AD⊥A1B,AD⊥A1C,P为AC的中点. (1)求证:B1C∥平面A1PB; (2)若AD= 3,AB=BC=2, 求三棱锥PA1BC的体积.

解:(1)证明:∵三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱,连接 AB1 交 A1B 于点 E,则 E 为 AB1 的中点,连接 PE,又 P 为 AC 的中点, ∴PE∥B1C,又 PE? 平面 A1PB,B1C 平面 A1PB,∴B1C∥平面 A1PB.

(2)∵AD⊥A1B, AD⊥A1C, A1B∩A1C=A1, ∴AD⊥平面 A1BC, 又 BC? 平面 A1BC, ∴AD⊥BC, 又三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱, ∴A1A⊥平面 ABC,又 BC? 平面 ABC,∴A1A⊥BC.

又AA1? 平面A1AB,AD? 平面A1AB,A1A∩AD=A, ∴BC⊥平面A1AB,∴BC⊥AB. 1 又在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=2,∴S△ABC=2 1 1 AB×BC=2×2×2=2,又P为AC的中点,∴S△BCP=2S△ABC=1.∵ AD⊥A1B,AD= 3,AB=2,

3 AD ∴在Rt△ADB中,sin ∠ABD= AB = 2 ,∠ABD=60° . 在Rt△A1AB中,AA1=AB· tan 60° =2 3,A1B=4, ∴V三棱锥PA1BC=V三棱锥A1BCP= 2 3 ×1×2 3= 3 . 1 3 S△BCP×A1A= 1 3

立体几何中的探索性问题 [典例] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱

DD1的中点. (1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值; (2)在棱C1D1上是否存在一点F, 使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.

解题指南 (1)可过E作平面ABB1A1的垂线、作线面角;(2)先 探求出点F,再进行证明B1F∥平面A1BE.注意解题的方向性.
【解】 (1)如图(a)所示,取AA1的中点M,连接EM,BM.因

为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,所以EM∥AD.2分

又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1,所以 EM⊥平面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,∠ EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.4分 设正方体的棱长为2, 则EM=AD=2,BE= 22+22+1=3. EM 2 于是,在Rt△BEM中,sin∠EBM= BE =3, 2 即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为3.6分

(2)在棱C1D1上存在点F,使B1F∥平面A1BE.事实上,如图(b) 所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接B1F,EG,BG, CD1,FG.

因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,8分 所以四边形A1BCD1是平行四边形,因此D1C∥A1B. 又E,G分别为D1D,CD的中点, 所以EG∥D1C,从而EG∥A1B. 这说明A1,B,G,E共面. 所以BG? 平面A1BE.10分

因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和 CD的中点,所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C1C=B1B,因此四边 形B1BGF是平行四边形, 所以B1F∥BG,12分 而B1F 平面A1BE,BG? 平面A1BE, 故B1F∥平面A1BE.14分

【思维流程】 作(找)出直线和平面所成的角并证明符合要求. 计算边长. 求角. 探求出点的位置. 证明所探求出的点符合题目要求. 给出明确答案.

阅卷点评

从近几年的高考来看,对立体几何解答题的考

查难度逐步降低,一般以低中档题的形式考查,因此在备考时要 高度关注基础知识,避免不必要的失分. 创新点评 (1)第(1)问常见错误是无法作出平面ABB1A1的垂

线,以致无法确定线面角. (2)第(2)问为探索性问题,考生找不到问题的切入口,入手较 难. (3)书写格式混乱,不条理,反映考生思路不清晰.

备考建议 理、性质的用法.

(1)熟练掌握判定定理、性质定理,悉心研究定

(2)会用分析法逆推,分析所证结论所需条件,综合法、分析 法结合使用. (3)证明、解答步骤要规范,不得跳跃、漏步,使证明思路跨 度太大,容易造成失分.

◆一个关系 平行问题的转化关系

◆两个防范 (1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则, 会出现错误. (2)要正确区别“任意”、“所有”与“无数”等量词的意 义.如“一条直线与平面内无数条直线平行,则这条直线一定与 这个平面平行”是错误的.


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