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(5份)必修5第一章《解三角形》综合测试题(A)及解析

时间:2015-12-01


名师 CLUB:高一下学期数学

必修 5 第一章《解三角形》综合测试题(A)及解析
班级: ________ 姓名: ________ 座号: ________ 得分: ________

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 题号 答案 1 A 2 D 3 D 4 A 5 B 6 A 7 B 8 C

1. 某三角形的两个内角为 45 和 60 ,若 45 角所对的边长是 6 ,则 60 角所对的边长是 【 A 】 A. 3 6 答案:A. 解析:设 60 o 角所对的边长是 x ,由正弦定理得 A. B. 3 2 C. 3 3 D. 2 6

o

o

o

o

6 x ? ,解得 x ? 3 6 .故选 o sin 45 sin 60o
【 D 】 D. 105 或 15
o
o

c ? 10 ,A ? 30o , 2.在 ?ABC 中, 已知 a ? 5 2 , 则 B 等于
A. 105
o

B. 60

o

C. 15

o

答案:D. 解析: 在 ?ABC 中, 由 故
o o o o 当 C ? 45 时, B ? 105 ;当 C ? 135 时, B ? 15 .故选 D.

a c cs n i A 2 o o ? , 得s , 则 C ? 45 或 C ? 135 . n i C? ? sin A sin C a 2

BC ? 5 ,AC ? 6 , BB C ? 3.在 ?ABC 中, 三边长 AB ? 7 , 则A
A. 19 答案:D. 解析: 由余弦定理得 cos B ? B. ?14 C. ?18

? ?? ?

的值等于

【 D 】 D. ?19

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 49 ? 25 ? 36 19 ? BB C ? ? | AB | ? | BC , 故A c o ( s | 2?7?5 35

? ? B) ?

7 ? 5 ? (?

19 ) ? ?19 .故选 D. 35
【 A 】

sin A < sin B , 4.在 ?ABC 中, 则

A. a < b 不确定 答案:A.

B. a > b

C. a ≥ b

D. a 、 b 的大小关系

解析:在 ?ABC 中,由正弦定理

a b a b ? ? 2 R ,得 sin A ? , sin B ? ,由 sin A sin B 2R 2R

sin A

< sin B ,得

a b < ,故 a < b .故选 A. 2R 2R
【 B 】 D.②③

c ? 4, c ? 9, B ? 30o ; C ? 60o ; 5. ?ABC 满足下列条件: ①b ? 3, ② b ? 12 , ③b ? 3 3 , c ? 6, b ? 8, ④a ? 5, B ? 60o ; A ? 30o .其中有两个解的是
A.①② 答案:B. B.①④ C.①②③

o 解析: ① c sin B < b < c , 三角形有两解; ② c < b sin 60 , 三角形无解; ③ b ? c sin B ,

三角 形只有一解;④ b sin A < a < b ,三角形有两解.故选 B.
2 2 6.在 ?ABC 中, 已知 b ? bc ? 2c ? 0 , 且a ?

cos A ? 6,

7 , 则 ?ABC 的面积是 【 A 】 8
D. 3

A.

15 2

B. 15

C. 2

答案:A.
2 2 解析:由 b ? bc ? 2c ? 0 ,得 (b ? 2c )(b ? c ) ? 0 ,故 b ? 2c 或 b ? ? c (舍去),由余

2 2 2 2 弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 及已知条件,得 3c ? 12 ? 0 ,故 c ? 2 , b ? 4 ,又由

cos A ?
A.

7 1 15 15 15 及 A 是 ?ABC 的内角可得 sin A ? ,故 S ? ? 2 ? 4 ? .故选 ? 8 2 8 8 2
【 B 】 D.4 < a < 6

a ? 1、 a ? 2 是钝角三角形的三边长, 7.设 a 、 则 a 的取值范围为
A.0 < a < 3 答案:B.

1< a < 3 B.

C.3 < a < 4

解 析 : 设 钝 角 为 C , 由 三 角 形 中 大 角 对 大 边 可 知 C 的 对 边 为 a ? 2 , 且 c osC ?
2 a 2 ? ( a ? 1)2 ? (a? 2) 2 ? a ? (a ? 1)

?

(a ? 3)(a ? 1) <0 ,因为 a > 0 ,故 a ? 1 > 0 ,故 0 < a < 3 ,又 a ? (a ? 1) > a+2 ,故 2a(a ? 1)

a > 1 ,故 1 < a < 3 .故选 B. 8. ?ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 是 三 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 且 a ? 4 , b ? c ? 5 ,

tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A? t a Bn
【 C 】 A. , 则

?ABC









3 2

B. 3 3

C.

3 3 2

D.

5 2

答案:C. 解析: 由已知, 得 tan A ? tan B ? ? 3(1 ? tan A ? tan B) , 即t a n ( A?) B ?? 3 , 又A、

B 是 ?ABC
的内角,故 A ? B ? 120 ,则 C ? 60 ,由 c2 ? 42 ? (5 ? c )2 ? 2 ? 4 ? (5 ? c ) cos 60 ,
o o o

解得 c ? 故b ?

7 , 2

3 1 1 3 3 3 3 ,故 S?ABC ? ab sin C ? ? 4 ? ? .故选 C. ? 2 2 2 2 2 2

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 题号 答案

9

10

11

12
2 39 3

13
10 6 3

14

6

2

30o

? o 或 30 6

9.在 ?ABC 中, sin A ?

1 3 , cos B ? , a ? 1 ,则 b ? _________. 3 3

答案: 6 . 解析:由 cos B ? 得b ?

a b 3 3 2 6 ? ,得 sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? ( ,由 , ) ? sin A sin B 3 3 3

a sin B ? sin A

1? 1 3

6 3 ? 6.

10. ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 c ?

2 ,b ? 6 , B ? 120o ,

则 a ? ______. 答案: 2 . 解 析 : 由 余 弦 定 理 得 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B , 即 6 ? a ? 2 ? 2 2a cos120 , 即
2 o

a2 ? 2a ? 4
? 0 ,解得 a ? 2 (舍去负值). 2 2 2 a ?b ?c 11.如果 ?ABC 的面积是 S ? ,那么 C ? ____________. 4 3
答案: 30 . 解析:由题意得
o

1 a ?b ?c 3 ,即 3 sinC ? cosC ,故 tan C ? ,故 ab sin C ? 3 2 4 3
2 2 2

C ? 30o . o 12. ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 A ? 60 , b ? 1 ,三角形的
面积 S ?

3 ,则
答案:

a?b?c 的值为____________. sin A ? sin B ? sin C

2 39 . 3
1 1 2 2 bc sin A ? c sin 60o ? 3 , 得 c ? 4 . 由 余 弦 定 理 得 a ? b ? 2 2

解析:由 S ?

c2 ? 2bc cos A
? 13 ,故 a ? 13 .故
a b c 13 2 39 ,由等比性质,得 ? ? ? ? o sin A sin B sin C sin 60 3

a?b?c a 2 39 . ? ? sin A ? sin B ? sin C sin A 3
13.一蜘蛛沿正北方向爬行 x cm 捉到一只小虫,然后向右转 105 ,爬行 10 cm 捉到另一只 小虫,这 时它向右转 135 爬行回它的出发点,那么 x ? ____________.
o o

答案:

10 6 . 3
o o o

B

105

o

C
135
o

x
A

解析:由题意作出示意图如图所示,则 ?ABC ? 180 ? 105 ? 75 ,

?BCA ? 180 ? 135 ? 45 , BC ? 10 ,故 A ? 180 ? 75 ? 45 ?
o o o o o o

60 o ,由正弦定理得

x 10 10 6 ? (cm). o o ,解得 x ? sin 45 sin 60 3

C 的对边分别为 a 、 b、 14. ?ABC 的内角 A 、 向量 m ? ( 3, ?1) , c, n ? (cos A,sin A) , B、

??

?

? 或 30 o . 6 ?? ? ?? ? 解 析 : 由 m ? n 得 m ? n ? 0 ,故 3 cosA ? sin ,即 sin A ? 3 cos ,故 A? 0 A? 0
答案:

若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则 B ? ____________.

??

?

2 sin(A ?

?
3

)

? 0 ,故 A ?


?
3

.由 a cos B ? b cos A ? c sin C ,得 sin A cos B ? sinB cosA ? sin2 C ,

i s C n i s? 故n sin( A ? B) ? sin2 C ,


2

i s C1? , C, 故n 又 C 为 ?ABC 的内角, 故C ?

?
2



B ? ? ? ( A ? C) ? ? ? (

?
3

?

?
2

)?

?
6

.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,已知 a ? 2 , c ? 解:由正弦定理,得 sin C ?

6 , A ? 45o ,解此三角形.

c sin A 6 2 3 o ,故 ?C ? 60 或 120o . ? ? ? a 2 2 2

当 ?C ? 60o 时 , ?B ? 180o ? (?A ? ?C ) ? 75o , 由 余 弦 定 理 , 得

b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B

? 4 ? 6 ? 2 ? 2 ? 6 cos75o ? 4 ? 2 3 ,则 b ? 3 ? 1 .
o 当 ?C ? 120 时 , ?B ? 180o ? (?A ? ?C ) ? 15o , 由 余 弦 定 理 , 得

b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B

? 4 ? 6 ? 2 ? 2 ? 6 cos15o ? 4 ? 2 3 ,则 b ? 3 ? 1 .
故 b ? 3 ? 1 , ?C ? 60 , ?B ? 75 或 b ? 3 ? 1 , ?C ? 120 , ?B ? 15 .
o o o o

16.(本题满分 12 分)如图,在四边形 ABCD 中,已知 BA ? AD , AB ? 10 ,

A

D

BC ? 5 6 , ?BAC ? 60 , ?ADC ? 135 ,求 CD 的长. AB ? sin ?BAC 解:在 ?ABC 中,由正弦定理,得 sin ?BCA ? BC
o o

10sin 60o 2 C > A B , 因B ? ? 2 5 6
由正弦 定理, 得 AC ? 由正弦

B

C
o

A B , 故 ?C

>B C ? A

, 故 ?BCA ? 45 , 故 B ? 75 ,
o

10sin 75o o o C D 中, ? 5( 3 ? 1) , 在 ?A 因 ?CAD ? 90 ? ?BAC ? 30 , o sin 45

AC sin 30o 5( 6 ? 2) 定理,得 CD ? . ? sin135o 2
答: CD 的长为

5( 6 ? 2) . 2

17.(本题满分 14 分)a 、b 、c 是 ?ABC 的内角 A 、B 、C 的对边,S 是 ?ABC 的面积, 若a ? 4,

b ? 5 , S ? 5 3 ,求 c .
解: 由S ?

1 1 1 1 3 ab sin C ? ? 4 ? 5 ? sin C ? 5 3 , o s C ? 或 cos C ? ? . 得n , 则c s i C? 2 2 2 2 2

1 1 2 时,由余弦定理,得 c ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ? ? 21 ,故 c ? 21 ; 2 2 1 1 2 (2)当 cos C ? ? 时,由余弦定理,得 c ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ? ? 61 ,故 c ? 61 . 2 2
(1)当 cos C ? 综上可知 c 为 21 或 61 . 18.(本题满分 14 分)在 ?ABC 中, sin B ? sin A cos C ,其中 A 、 B 、 C 是 ?ABC 的三 个内角, 且 ?ABC 最大边是 12,最小角的正弦值是 (1)判断 ?ABC 的形状; (2)求 ?ABC 的面积.

1 . 3

a 2 ? b2 ? c 2 C 根 据 正 弦 定理 和 余 弦 定 理 , 得 b ? a ? 解: ( 1 )由 sinB ? sinA cos ,得 2ab
b2 ? c 2 ? a 2,
故 ?ABC 是直角三角形. (2)由(1)知 a ? 12 ,设最小角为 ? ,则 sin ? ? 故 S?ABC ?

1 2 2 ,故 cos ? ? (舍去负值) , 3 3

1 1 1 1 2 2 bc ? a sin ? ? a cos ? ? ? 12 ? ? 12 ? ? 16 2 . 2 2 2 3 3
19. (本题满分 14 分) 海上某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75 , 距离为 12 6 海里; 在A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30 ,距离为 8 3 海里;货轮向正北 由 A 处行驶到 D 处时看灯塔 B 在货轮的北偏东 120 .求
o
o o



D C
30
o

120

o


75
o

B



A 北

(1) A 处与 D 处之间的距离; (2)灯塔 C 与 D 处之间的距离. 解:由题意画出示意图,如图所示. ( 1 ) ?ABD 中 , 由 题 意 得 ?ADB ? 60o , ?B ? 45o , 由 正 弦 定 理 得

AD ?

AB sin 45o ? 24 sin 60o

(海里). ( 2 ) 在 ?ABD 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 CD2 ? AD2 ? AC 2 ? 2 AD ? AC cos 30o

? 242 ? (8 3)2 ?
2 ? 24 ? 8 3 ? 3 ,故 CD ? 8 3 (海里). 2

答: A 处与 D 处之间的距离为 24 海里,灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 3 海里.

● 以下两题任选一题作答 2 20.(本题满分 14 分)在锐角 ?ABC 中,边 a 、 b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根, A 、

B 满足
2sin( A ? B) ? 3 ? 0 ,解答下列问题:
(1)求 C 的度数; (2)求边 c 的长度; (3)求 ?ABC 的面积. 解: (1) 由题意, 得 sin( A ? B) ?
2

3 o C ? 60o ; , 因 ?ABC 是锐角三角形, 故 A ? B ? 120 , 2

(2)由 a 、 b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,得 a ? b ? 2 3 , a ? b ? 2 ,由余弦定 理,得

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 3ab ? 12 ? 6 ? 6 ,故 c ? 6 .
(3)故 S?ABC ?

1 1 3 3 ab sin C ? ? 2 ? . ? 2 2 2 2


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