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二项分布及其应用_图文

时间:2018-05-08

高三总复习· 数学(理)
提 素 养 误 区 分 析

研 动 向 考 纲 考 向

第八节 二项分布及其应用
切 脉 搏 核 心 突 破

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[基础真题体验]
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考查角度[条件概率] 1.(2014· 课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表 明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良

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的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的 空气质量为优良的概率是( A.0.8 B.0.75 ) C.0.6 D.0.45

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考纲要求:1.了解条件概率和两个事件相互独立的概 念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一

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些简单的实际问题

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【解析】 已知连续两天为优良的概率是0.6,那么在 前一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空气质量 0.6 为优良的概率,可根据条件概率公式,得P=0.75=0.8.
【答案】 A
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2.(2013· 重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖 活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白
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球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋 中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设 一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200元 50元 10元

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其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
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(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期 望E(X).
【解】 设Ai(i=0,1,2,3)表示摸到i个红球,Bj(j=0,1)表 示摸到j个蓝球,则Ai与Bj独立. (1)恰好摸到1个红球的概率为
2 C1 C 18 3 4 P(A1)= C3 =35. 7
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(2)X的所有可能值为:0,10,50,200,且
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C3 1 31 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=C3· =105, 3 7 C3 2 32 P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)= 3·= , C7 3 105
1 C2 C 4 3 41 P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= C3 · =35, 3 7

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1 2 4 6 P(X=0)=1-105-105-35=7.

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综上可知,获奖金额X的分布列为 X 0 10 6 4 P 7 35 50 2 105 200 1 105

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6 4 2 1 从而有E(X)=0× 7 +10× 35 +50× 105 +200× 105 = 4(元).

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3.(2014· 北京高考)李明在10场篮球比赛中的投篮情况 统计如下(假设各场比赛相互独立):
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(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投 篮命中率超过0.6的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明 的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;

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(3)记 x 为表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随 机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数,比较EX 与 x 的大小.(只需写出结论)

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【解】 (1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投 篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场 5,客场2,客场4. 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过

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0.6的概率是0.5.

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(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投
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篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛 中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一 个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一 场不超过0.6”. 则C=A B ∪ A B,A,B独立. 3 2 根据投篮统计数据,P(A)= ,P(B)= . 5 5

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P(C)=P(A B )+P( A B)
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3 3 2 2 =5×5+5×5 13 =25. 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投

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13 篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为25. (3)E(X)= x .

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[命题规律预测] 从近几年的高考试题看,对本节内容的考查
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命题 规律

体现在以下两点: 1.条件概率、相互独立事件的概率、n次独立 重复试验的概率是高考考查的热点. 2.题型以解答题为主,属中档题目.

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考向 预测

预测2016年高考,将以实际问题为背景,考 查相互独立事件的概率、二项分布等知识, 难度适中.
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考向一 条件概率
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[典例剖析] 【例 1】 (1)在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合 格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次
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取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为________. (2)(2014· 平顶山模拟)有一批种子的发芽率为 0.9, 出芽后 的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒 种子能成长为幼苗的概率为________.
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P?AB? 【思路点拨】 (1)利用P(B|A)= 或缩小样本空间 P?A?
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法求解. (2)利用P(AB)=P(B|A)P(A)求解.
【解析】 (1)法一 设事件A为“第一次取到不合格

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C2 5 品”,事件B为“第二次取到不合格品”,则P(AB)= 2 , C100 5×4 P?AB? 100×99 4 所以P(B|A)= = 5 =99. P?A? 100
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法二 第一次取到不合格产品后,也就是在第二次取之
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前,还有99件产品,其中有4件不合格的,因此第二次取到 4 不合格品的概率为99. (2)设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件AB(发 芽,又成长为幼苗),则出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8. 根据条件概率公式P(AB)=P(B|A)· P(A)=0.8×0.9= 0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 4 【答案】 (1)99 (2)0.72
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条件概率的两种求解方法: P?AB? (1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)= 求 P?A? P(B|A). (2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件A包 含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数 n?AB? n(AB),得P(B|A)= . n?A?

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[ 对点练习] 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”, 则 P(B|A)等于( ) 1 B. 4 2 C. 5 1 D. 2

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1 A. 8

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【解析】

2 2 2 C3 +C2 4 2 C2 1 P(A)= = = ,P(A∩B)= 2= . C2 10 5 C5 10 5

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1 P?A∩B? 10 1 由条件概率计算公式,得P(B|A)= = = . 4 4 P?A? 10 【答案】 B

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考向二 相互独立事件的概率
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[典例剖析] 【例2】 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种 设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备 相互独立.

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(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率; (2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若 要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于 0.1,求k的最小值.
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【思路点拨】

(1)同一工作日至少3人使用设备,包括
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恰有3人和恰有4人使用设备两类,恰有3人使用设备又可分 为4类,分别计算其概率,利用概率加法公式计算结果;(2) 分k=2和k=3讨论,确定k的最小值.

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【解】

设Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需

使用设备,i=0,1,2. B表示事件:甲需使用设备, C表示事件:丁需使用设备,

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D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备, E表示事件:同一工作日4人需使用设备, F表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k.

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- (1)D=A1· B· C+A2· B+A2· B· C, P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=Ci2×0.52,i=0,1,2, - 所以P(D)=P(A1· B· C+A2· B+A2· B· C) - =P(A1· B· C)+P(A2· B)+P(A2· B· C)

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=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(- B )P(C)=0.31. (2)由(1)知,若k=2,则P(F)=0.31>0.1. 又E=B· C· A2,

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P(E)=P(B· C· A2) =P(B)P(C)P(A2)=0.06. 若k=3,则P(F)=0.06<0.1.
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所以k的最小值为3.

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(1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来, 从而把所求事件表示为几个事件的和事件. (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:
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①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. ②正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计 算.

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[ 对点练习]
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(2014· 陕西高考)在一块耕地上种植一种作物,每季种植 成本为 1 000 元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具 有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 300 0.5 500 0.5

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作物市场价格(元/kg) 概
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6 0.4

10 0.6



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(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分 布列; (2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有

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2季的利润不少于 2 000元的概率. ...

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【解】
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(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示

事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B) =0.4, ∵利润=产量×市场价格-成本.

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∴X所有可能的取值为 500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000, 300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.

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P(X=4 000)=P( A )P( B )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P(X=2 000)=P( A )P(B)+P(A)P( B ) =(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,

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所以X的分布列为 X P 4 000 0.3 2 000 0.5 800 0.2

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(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i= 1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i= 1,2,3),

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3季的利润均不少于2 000元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512, 3季中有2季利润不少于2 000元的概率为

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P( C1 C2C3)+P(C1 C2 C3)+P(C1C2 C3 )=3×0.82×0.2 =0.384, 所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率
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为0.512+0.384=0.896.

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考向三 独立重复试验与二项分布
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[典例剖析] 【例 3】 (2013· 山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛, 约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局

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1 2 甲队获胜的概率是2外, 其余每局比赛甲队获胜的概率都是3, 假设各局比赛结果相互独立.

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(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率.
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(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0 分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分.求乙 队得分X的分布列及数学期望. 【思路点拨】 (1)根据题意确定每一个事件的比赛次

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数,由相互独立事件的概率公式求概率.(2)确定随机变量X 的所有可能取值,求出取每一个值时的概率即可得出分布 列,从而求出数学期望.

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【解】 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以 3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,
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由题意,各局比赛结果相互独立,
? 2? 8 3 ? ? 故P(A1)= 3 =27, ? ?

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2 2 2 2 2 P(A2)=C3? ? ?1- ?× =
? 3? ? ? ? ? ? 3? ?

? ? ?

? ?

3? 3?

8 3 27, 4 . 2 27

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22 1 2 2 2 ? ? ? 1- ? × = P(A3)=C4

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8 所以甲队以3∶0胜利和以3∶1胜利的概率都为 , 27 4 以3∶2胜利的概率为 . 27
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(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4, 由题意,各局比赛结果相互独立, 2222 1 2 所以P(A4)=C4?1- ? ? ? ×?1- ?=
? ? ? ? ? ? ? ?

3? ?3?

2?

4 27.

由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,
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根据事件的互斥性得 16 P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=27.

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4 又P(X=1)=P(A3)= , 27
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4 P(X=2)=P(A4)=27, 3 P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=27, 故X的分布列为

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X 0 1 2 3 P 16 4 4 3 27 27 27 27

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16 4 4 3 7 所以E(X)=0× +1× +2× +3× = . 27 27 27 27 9
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利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但
k n 需要注意检查该概率模型是否满足公式Pn(k)=C k p (1 - p ) n
-k

的三个条件:①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常 数p;②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试 验,而且各次试验的结果是相互独立的;③该公式表示n次 试验中事件A恰好发生了k次的概率.

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[ 对点练习]
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(2014· 余姚模拟)为拉动经济增长,某市决定新建一批重 点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三 1 1 1 类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 , , .现有 3 2 3 6 名工人独立地从中任选一个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2)记 ξ 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建 设工程的人数,求 ξ 的分布列.

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【解】
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记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、

民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由 题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1, C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不 1 1 1 相同)相互独立,且P(Ai)=2,P(Bj)=3,P(Ck)=6. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 1 1 1 1 3 P=A3P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=6× × × = . 2 3 6 6

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(2)法一:设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数
? 1? 为η,由已知,η~B?3,3?,且ξ=3-η,所以 ? ?
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3 1 3 P(ξ=0)=P(η=3)=C3? ? =

? ? ?3?

1 ,P(ξ=1)=P(η=2) 27
? ?? ? ?3??3?

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2 2 1 2 2 1 1 2 2 =C3? ? ? ?= ,P(ξ=2)=P(η=1)=C3? ?? ?
?3? ?3?

? ? ? ?

9

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? ? 4 8 0 2 3 ? ? =9,P(ξ=3)=P(η=0)=C3 3 =27. ? ?

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故ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27
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法二:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产
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业建设工程分别为事件Di,i=1,2,3.由已知,D1,D2,D3相 1 1 2 互独立,且P(Di)=P(Ai∪Ci)=P(Ai)+P(Ci)= + = ,所以 2 6 3
? ? ? ? ? 2? k 2 k 1 3-k ? ? ,k=0,1,2,3. ξ~B?3,3?,即P(ξ=k)=C3?3? · ? ? ? ? ?3?

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故ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27

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误区分析 20 混淆“二项分布”与“超几何分布”致误 [典例剖析] 【典例】 某高校设计了一个实验学科的实验考查方

案.考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题,按照题目要
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求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中 2 题的 便可提交通过.已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完 2 成,2 道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是3,且 每题正确完成与否互不影响.
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(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列, 并计算均值; (2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2
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题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.

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【解】 (1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别
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为ξ,η,则ξ的所有可能取值分别为1,2,3;η的所有可能取值 分别为0,1,2,3.
2 2 1 3 0 C1 C 1 C C 3 C 4 2 4 2 4C2 P(ξ=1)= 3 = ,P(ξ=2)= 3 = ,P(ξ=3)= 3 C6 5 C6 5 C6

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1 =5. 此处在求解时,常误认为ξ~B 错误,实际上ξ服从超几何分布.
? 2? ?6, ? 3? ?

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或ξ~B

? 2? ?3, ? 3? ?

导致
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所以考生甲正确完成题数的概率分布列为
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ξ 1 2 3 P 1 3 1 5 5 5

1 3 1 E(ξ)=1× +2× +3× =2. 5 5 5 23 0 因为P(η=0)=C3?1- ? =
? ? ?

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3?

1 2 27,同理P(η=1)=9,

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4 8 P(η=2)= ,P(η=3)= . 9 27

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所以考生乙完成题数的概率分布列为 η 0 1 2 3
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P

1 2 4 8 27 9 9 27

提 素 养 误 区 分 析

1 2 4 8 E(η)=0×27+1×9+2×9+3×27=2. 3 1 4 8 (2)因为P(ξ≥2)=5+5=0.8,P(η≥2)=9+27≈0.74, 所以P(ξ≥2)>P(η≥2). 故从正确完成题数的均值考察,两人水平相当;从至少 完成2题的概率考察,甲通过的可能性大. 因此可以判断甲的实验操作能力较强.
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【防范措施】
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1.正确理解二项分布与超几何分布间的

关系是求解此类问题的关键. (1)当n次试验是独立重复试验时,事件A发生的次数X服 从二项分布,当n次试验不是独立重复试验时,事件A发生的 次数X服从超几何分布.

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(2)在不放回n次试验中,如果总体数量N较大,而试验 次数n较小时,此时超几何分布可转化为二项分布. 2.应注意“二项分布”和“超几何分布”各自的适用 条件和情境,避免因概念不清致误.
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[ 对点练习] (2014· 大连模拟)为了调查某厂数万名工人独立生产某种 产品的能力,随机抽查了 m 位工人某天独立生产该产品的数 量, 产品数量的分组区间为[10,15), [15,20), [20,25), [25,30), [30,35),频率分布直方图如图 1081 所示,已知独立生产的 产品数量在[20,25)之间的工人有 6 位.

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图1081
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(1)求m的值; (2)工厂规定:若独立生产产品数量当日不小于25,则该 工人当选今日“生产之星”.若将这天独立生产该产品数量 的频率视为概率,随机从全厂工人中抽取3人,这3人中当日 “生产之星”人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
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【解】
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(1)由频率分布直方图可得产品数量在[20,25)之

间的频率为0.3, 6 所以m=0.3,即m=20. (2)由频率分布直方图可得产品数量不小于25的频率为

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2 0.4,所以3人中每人是“生产之星”的概率都是5,
? 2? X的取值为0,1,2,3,由题知X~B?3,5?, ? ?

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?3? 27 2 ?3? 2 54 3 1 P(X=0)= ?5? = 125 ,P(X=1)=C 3 × 5 × ?5? = 125 ,P(X ? ? ? ?
研 动 向 考 纲 考 向 提 素 养 误 区 分 析

22 3 2 ? =2)=C3× ? × =
?5?

? ?

?2? 36 8 3 ? ? 5 125,P(X=3)=?5? =125.

所以X的分布列为 X 0 1 54 125 2 36 125 3 8 125

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27 P 125 6 所以E(X)= . 5

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1.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事 件 A,“第二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A)等于( 1 A. 2 1 B. 4 1 C. 6 1 D. 8 )

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【解析】 抛硬币两次,则“第一次出现正面”的事件 A 包含(正,正),(正,反)两个,而事件 AB 为(正,正),故 n?AB? 1 P(B|A)= = . n?A? 2
【答案】
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A

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2.每次试验的成功率为p(0<p<1),重复进行10次试
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验,其中前7次都未成功后3次都成功的概率为(
3 7 A.C3 p (1 - p ) 10 3 3 B.C3 p (1 - p ) 10

)

C.p3(1-p)7

D.p7(1-p)3

【解析】 由题意可知,所求事件发生的概率p=(1-
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p)7p3.
【答案】 C

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3.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若
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5 P(X≥1)= ,则P(Y≥1)=________. 9

【解析】

5 ∵X~B(2,p),且P(X≥1)=9,

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5 0 2 ∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C2(1-p) =9, 1 解得p=3.又Y~B(3,p), 19 0 3 ∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-C3(1-p) = . 27

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19 【答案】 27
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4.某人射击,一次击中目标的概率为0.6,经过3次射 击,此人至少有两次击中目标的概率为( 81 A.125 54 B.125 36 C.125 ) 27 D.125

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【解析】

2 两次击中目标的概率为P1=C 2 0.6 (1-0.6)= 3

54 27 3 125 ,三次击中目标的概率为P2=0.6 = 125 ,∴至少有两次 81 击中目标的概率为P=P1+P2= . 125
【答案】 A

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