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题组21:数列的综合应用

时间:2015-11-03


题组 21:数列的综合应用
【期中试题回顾】 真题训练 1【13-14 郑州一中期中】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? ? ? 2n ?1 an ?
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? ? 2n ? 1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n

n , n? N* . 2

答案
1 n? N* ? n ? 2 2n ? 3 (2) S n ? 3 ? 2n
(1) an ?

点拨辨析
n ,① 2 n ?1 ∴当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? ? ? 2n ? 2 an ?1 ? ,②, 2 1 1 1 ① - ② 得 , 2n ?1 an ? , ∴ an ? n ? n ? 2 ? , ③ 又 ∵ a1 ? 也 适 合 ③ 式 , ∴ 2 2 2 1 an ? n ? n ? N * ? . 2 1 1 1 1 1 (2)由(1)知 bn ? ? 2n ? 1? ? n ,∴ S n ? 1 ? ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1? ? n ,④ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 4 ? ? ? ? 2n ? 1? ? n ?1 ,⑤, 2 2 2 2 2
解: (1)∵ a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? ? ? 2n ?1 an ? ④-⑤得,

1? 1 ? 1 ? n ?1 ? ? 1 1 1 ? 1 1 1 4 2 ? ? 1 1 1 S n ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? ? ? 2n ? 1? ? n ?1 ? ? 2 ? ? ? ? 2n ? 1? ? n ?1 1 2 2 2 ? 2 2 2 ?2 2 2 1? 2
? 1 1 1 3 2n ? 3 ? 1 ? n ?1 ? ? 2n ? 1? ? n ?1 ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2
∴ Sn ? 3 ?

2n ? 3 . 2n

真题训练 2【14-15 河南省实验中学期中】 )已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f '( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为

Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m. 20 a n a n ?1

答案
(1) an=6n-5 ( n ? N ) (2) 10
?

点拨辨析
(1)根据当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 求解数列 an 的通项,再验证 a1 是否满足该通项; (2)根据裂项求和求出 m 的最小值

真题训练 3【14-15 郑州 47 中期中】已知递增等比数列
(1)求数列 (2)若数列 求证: Tn ? 2 的通项公式; 满足 ,且

的前 n 项和为 Sn ,

,且 S3 ? 2S2 ? 1 .

的前 项和 Tn .

答案
( 1) . (2)见解析.

点拨辨析
(1) 设公比为 q,由题意:q>1, (2)由(I)得到 ,根据

s

3

? 2 s2 ? 1建立 q 的方程即可.



Tn ? ?1 ? 3 ? .....? ?2n ? 1?? ? 1 ? 1 ? 2 ? ......2n?1

?

?

利用“分组求和法” ,应用等差数列、等比数列的求和公式得到

1,??? 上是单调递增即可得证. Tn ? n 2 ? 2n ?1 利用其在 ?

真题训练 4【11-12 河南省实验中学期中】已知函数 f ( x) ?
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;

bx ? c 的图象过原点,且关于点(?1,1)成中心对称. x ?1

(Ⅱ)若数列 ?an ? (n ? N *) 满足: an ? 0, a1 ? 1, an?1 ? f ( an ) ,求数列 ?an ? 的通项 an ;
2

?

?

(Ⅲ)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,判断 Sn 与 2 的大小关系,并证明你的结论.

答案
(Ⅰ) f ( x ) ?

点拨辨析
x x ?1
解 (Ⅰ) 根据函数的图像得出解析式; (Ⅱ)化简 an?1 ? f ( an ) , 得到数列 ? 而得到通项; (Ⅲ)对 an 利用放缩法得到 an ?

1 (Ⅱ) an ? 2 . n
(Ⅲ) Sn ? 2

?

?

2

? 1 ? ? ? an

? ? 进 ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. ? ?

1 1 1 1 ? ? ? ,再进行求和得出结论. 2 n n(n ? 1) n ? 1 n

真题训练 5【13-14 郑州 47 中期中】已知公比为 q 的等比数列 {an } 是递减数列,且满足 a1 + a2 + a3 = (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 求数列 {(2n ?1) ? an } 的前 n 项和 Tn ; (3) 若 bn ?

13 1 , a1 a2 a3 = 。 9 27

1 1 1 4 n 3 ? (n ? N ? ) 。证明 ? ?? ? ? 。 b1b2 b2b3 bnbn?1 35 3 ? an 2
n ?1

答案
( 1) a n =

点拨辨析
1 3
n ?1

; (2) Tn =3-

n ?1 ; (3)略 3 n ?1

(1) 利用等比数列的性质及递减数列确定通项; (2) 利用错位相减法求和; (3) 利用裂项的方法求和

考法、解法规律总结 【题型分析】 【考点】 :一般数列通项与求和的方法。 (频率:5/5★★★) 【考法分析】 分数: 平均 12 分 题数:平均 1 题 题型:解答题 【解法模型】 1、 2、 一般数列通项的求解方法; 一般数列求和的方法。

针对性训练
1、正项数列 ?a n ? 满足: a n ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 0 .
2

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式 an ; (2)令 bn ?

1 ,求数列 ?a n ? 的前 n 项和 Tn . (n ? 1)an

答案
(1) = 2; (2)
2( +1)

点拨辨析
(1)通过分解因式,利用正项数列 {an } ,直接求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)利 用数列的通项公式化简 bn ?

1 ,利用裂项法直接求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn (n ? 1)an

2、已知数列{an}满足 a1=1,an>0,Sn 是数列{an}的前 n 项和,对任意的 * 2 n∈N ,有 2Sn=2an +an-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn ?

an ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2n

答案
(1) an ?

点拨辨析
n ?1 ; 2
(2) Tn ?

3 n?3 ? 。 2 2 n ?1

(1)由 2an?1 ? 2Sn?1 ? 2Sn 得, (an+1+an) (2an+1-2an-1)=0,又因为 an>0,所以 an+1 =an+

1 ,所以数列 {an } 是等差数列,可求其通项公式; 2

(2)用错位相减法求 Tn 。

3、在数列{an}中,已知 a 1 =-20,a n?1 =a n +4(n∈ N * ). (1)求数列{an}的通项公式和前 n 项和 An; (2)若 bn ?

2 (n∈ N * ),求数列{bn}的前 n 项 Sn. An ? 24n
点拨辨析

答案
? (1) an ? 4n ? 24, n ? N ,A n = 2n ? 22n (n ∈ N * ) ;

?

?

2

(1)由 a 1 =-20,a n?1 =a n +4(n∈ N * )确定数列 ?an ? 为等差数列,并确定其首项与公差, 从而由等差数列的通项公式与前 n 项和公式求得 an , An . (2)由(1)的结果知: bn ?

(2) S n ?

n n ?1

2 1 1 1 ? ? ? An ? 24n n(n ? 1) n n ? 1

所以可用拆项法求数列 ?bn ? 的前 n 项和.

4、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ?

1 n ? an ?1 ,其中 a1 ? 1 2

1 an ?1 an ? 2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 2n ? ? 2 an ? 2 an ?1

答案
(1) an ? n, n ? N ? ;(2)略

点拨辨析
( 1 ) 利 用 an ? S n ? S n?1 , 表 示 出 数 列 的 通 项 , 再 由 已 知 求 出 S n ?1 , 整 理 得 到

an ?1 n ? 1 a a a n n ?1 3 ,则 n ? n?1 ??? 3 ? ? , (n ? 2) ,利用“累积法” ? ? ?? ,(n ? 3) , an n an?1 an?2 a2 n ? 1 n ? 2 2


an n ? , (n ? 3) ,得? an ? n, n ? N ? ,验证 a1 时也符合即可; a2 2

n ?1 n ? 2 n ?1 1 n?2 ? ,根据裂项相消法,将 拆为 1 ? ,将 拆 n ? 2 n ?1 n?2 n?2 n ?1 1 1 1 ? 为1 ? ,则 bn ? 2 ? , n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? (2 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? ... ? (2 ? ? ) 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2
(2)由(1)得 bn ? 将上式中消去相同的项进行整理即可证得

5、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ?

1 n ? an ?1 , n ? N ? ,其中 a1 ? 1 2

1 3
an?1

?2

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

答案
(1) an ? n, n ? N ? ;(2)略

1 4 点拨辨析

( 1 ) 利 用 an ? S n ? S n?1 , 表 示 出 数 列 的 通 项 , 再 由 已 知 求 出 S n ?1 , 整 理 得 到

an ?1 n ? 1 a a a n n ?1 3 ,则 n ? n?1 ??? 3 ? ? , (n ? 2) ,利用“累积法” ? ? ?? ,(n ? 3) , an n an?1 an?2 a2 n ? 1 n ? 2 2


an n ? , (n ? 3) ,得? an ? n, n ? N ? 验证 a1 时也符合即可; a2 2
1 1 1 ? n ?1 , 将 上 式 整 理 可 得 bn ? , 3 ?2 3 ?2 2 ? 3n
an?1

( 2 ) 由 ( 1 ), ? bn ?

?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ( 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? (1 ? n ) ? 1 2 3 n 2?3 2?3 2?3 2?3 2 3 3 3 3 4 3 4 ,上式可利用等比数列的前 n 项和进行整理.

6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的正整数 n,都有 an=4Sn+1 成立. (1)求数列{an}的通项公式; 1 3 (2)设 bn=log3|an|,数列{ }的前 n 项和为 Tn, 求证:Tn< . bn ? bn ? 2 4

答案
1 (1) an ? (? )n , n ? N * ; (2)略 3

点拨辨析
?an ?1 ? 4 Sn ?1 ? 1 1 (1)由已知,计算 a1=4S1+1?a1=- ,又由 ? 得 an+1-an=4an+1 3 ?an ? 4 Sn ? 1

1 1 推出数列{an}是首项为- ,公比为- 的等比数列. 3 3 1 n (2)由 bn=log3|an|=log3|(- ) |=n 3 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,利用“裂项相消法”计算得 得到 bn ? bn ? 2 n(n ? 2) 2 n n ? 2

Tn=

1 1 1 1 (1+ ― ― )“放大”即得证. 2 2 n ?1 n ? 2

7. 在数列 ?an ?、 ?bn? 中,已知 a1 ? 0 , a2 ? 1 , b1 ? 1 , b2 ?

1 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且满足 Sn ? Sn ?1 ? n2 , 2

2Tn ? 2 ? 3Tn ?1 ? Tn ,其中 n 为正整数.
(1)求数列 ?an ?、 ?bn? 的通项公式; (2)问是否存在正整数 m , n ,使

Tn ?1 ? m ? 1 ? bm ? 2 成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对 ? m, n ? ,若不存在,请说明理由. Tn ? m

答案
(1) an ? n ? 1 , bn ?

点拨辨析
1 2 n ?1
(2) (1, 2). (1) 由 和 项 与 通 项 的 关 系 Sn ? Sn ?1 ? an (n ? 2) , 化 简 得 到 数 列 的 递 推 关 系 :

an ?1 ? an ? 2n ? 1 当 n ? 2 时, an ? an ?1 ? 2n ? 3 ,两式相减得 an ?1 ? an ?1 ? 2 ,从
而 得 到 数 列 为 隔 项 成 等 差 , 又 a1 ? 0, a2 ? 1 , 可 解 得 an ? n ? 1 , 同 理 因 为

2Tn ? 2 ? 3Tn ?1 ? Tn ,所以 2Tn ? 2 ? 2Tn ?1 ? Tn ?1 ? Tn ,2bn ? 2 ? bn ?1 所以数列 ?bn ? 成公比


1 1 的等比数列,所以 bn ? n ?1 2 2 1 ) ,代入化简繁分数并部分分离得: 2n

(2)先根据等比数列和项公式得: Tn ? 2(1 ?

1 1 ? m ?1 n (2 ? m)2 ? 2 2



























(2 ? m)2n ? 2 ? 0,(2 ? m)2n ? 2 ? 2m?1 ,从而可解得 m ? 1, n ? 2

8.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a ?

a ? an ? 1? , a 为常数,且 a ? 0 , a ? 1 . a ?1

1 1 an a ,设 bn ? ? n ?1 ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 3 3 1 ? an 1 ? an ?1

答案
(1) an ? n ;(2)略

点拨辨析
(1)利用 an ? ? (2)先将 an ? 系.

? S1 , n ? 1 ,即可得数列 ?an ? 的通项公式; ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2
1 1 代入,化简 bn ,再放缩,进而得到 ?n ,即可得 ?n 与 的大小关 n 3 3

(2 n ? 1, ) ,满足条件 a ? ?b , ? ? R 且 ? ? 0 . 9. 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,向量 a ? (Sn ,1) , b ?
(1)求数列 ?a n ?的通项公式;
x (2)设函数 f ( x ) ? ( ) ,数列 ?bn ?满足条件 b1 ? 2 , f (bn ?1 ) ?

1 2

1 2

1 , (n ? N ? ) f (?3 ? bn )

①求数列 ?bn ?的通项公式; ②设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ?的前 n 和 Tn . an

答案
(1) an ? 2n ; (2)① bn ? 3n ? 1 ;② Tn ? 5 -

点拨辨析
3n ? 5 . 2n
(1)根据题意得到数列 ?a n ?的和,进而利用 an ? Sn ? Sn?1 ,得到数列 ?a n ?的通项公式, 进一步检验,从而得到所求; (2)①根据题意得到数列 ?bn ?的递推关系,进而根据等差数列的定义知数列 ?bn ?为等差数 列,得到 ?bn ?的通项公式;②根据前面得到的数列 ?a n ?和 ?bn ?的通项公式,进而求得数列

?cn ?的通项公式,利用错位相减法求得数列 ?cn ?的前 n 和.

2 10.已知数列 {an } 的首项 a1 ? a ,其前 n 和为 S n ,且满足 S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) ( n ? N*) .

(1)用 a 表示 a2 的值; (2)求数列

{an }

的通项公式;

(3)对任意的 n ? N*, an?1 ? an ,求实数 a 的取值范围.

答案
(1)12-2a;

点拨辨析
(1)根据递推关系 S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) ,即可用 a 表示 a2 的值;
2

n ?1 ? a, an ? ? n (2) ?3n ? (6 ? 2a)(?1) ,n ? 2 ;
9
(3) 4

(2) 由条件

S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) 2 得,Sn ? Sn?1 ? 3n2 (n ? 2) , 两式相减得 an?1 ? an ? 6n ? 3

?a?

15 4

(n ? 2) ,故 an?2 ? an?1 ? 6n ? 9 ,两式再相减得 an? 2 ? an ? 6 (n ? 2) ,? a2,a4,a6, ?构

?构成以 a3 为首项, 成以 a2 为首项, 公差为 6 的等差数列;a3,a5,a7, 公差为 6 的等差数列;
由(1)得 从而

a2n ? 6n ? 6 ? 2a

;由条件

n ? 2 得 a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? 27 ,得 a3 ? 3 ? 2a ,
n ?2

a2 n?1 ? 6n ? 3 ? 2a

a ? 3n ? (a2 ? 6) ? (?1) , 即可求出结果;当 n ? 2 时, n

, 即

a ? an , 当 n ? 1 时,由 an ? 3n ? (6 ? 2a) ? (?1)n?2 即可求出结果; (3)对任意的 n ?N*, n?1

a2 ? a1 ,有 3 ? 2 ? (6 ? 2a) ? a 得 a ? 4

①;
n?1

当 n ? 2 时 , 由 an?1 ? an , 有 3(n ? 1) ? (6 ? 2a) ? (?1)

? 3n ? (6 ? 2a) ? (?1) n?2 , 即

3 ? (6 ? 2a) ? (?1)n?1 ? (6 ? 2a) ? (?1)n?2 ,对 n 进行分类讨论解不等式,即可求出结果.

总结归纳 知识 试 题 总 结 方法 能力

学 生 总 结

K型 不会-错 S型 会-错


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