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2013年成都七中高2013级高考适应性考试数学理科及答案详解

时间:


成都七中高 2013 级高考适应性考试数学(理科)试题
时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求. (1)已知全集 韦恩 ,集合 和 的关系的

图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 (B)2 个 (D)0 个 上点到直线 (B) 的满足: (B) (C) (C) 的最短距离为 (D) ,若 (D) ,则

(A)3 个 (C)1 个 (2)圆 (A) (3)已知数列 (A)

(4)已知实数 (A) (5)函数 (A) (6)把 为

满足 (B) 在区间 (B)

,则 (C) (D) 的值域为 (C) 的图象经过某种平移得到

的最大值为

,则实数 的取值范围为 (D) 的图象,则平移方式可

(A)按

平移

(B)按

平移

(C)先向右平移

个单位再向上平移 个单位

(D)先向左平移 (7)设 (A) ,

个单位再向下平移 个单位 ( 为虚数单位),则 (C) 或 (D)不存在

(B)

(8)若

,则“

”是“

”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)用边长为 6 分米的正方形铁皮做一个无盖的水箱,先在四角分别截去一个小正方形, 然后把四边翻转 ,再焊接而成(如图)。设水箱底面边长为 分米,则

(A)水箱容积最大为 立方分米 (B)水箱容积最大为 (C)当 (D)当 (10)在 心率为 在 在 立方分米 随 随 增大而增大 增大而减小 ,则以 为焦点且过点 的双曲线的离

时,水箱容积 时,水箱容积 中,

(A)

(B)

(C)

(D)

(11)将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息,假定每个人可以选 择任一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻 的安排方式的总数为 (A) (B) (C) (D)1440

(12) 已知球 与球

的表面积为 ,平面

, 球心 截球

在大小为

的二面角 的半径为 ,若点

的内部, 且平面 为圆 上任意一

相切与点

所得的小圆

点, 记 两点在该球面上的球面距离为 ,则下列结论正确的是

(A)当 (B)当 (C)

取得最小值时, 取得最小值时,点 的最大值为

与 到平面

所成角为 的距离为

(D)

的最大值为

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在答题卡上. (13) 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大, 则展开式中的第 2 项为________.

(14)抛物线 长等于________.

的焦点与双曲线

的右焦点重合,则该双曲线的虚轴

(15)已知二面角











为线段 则直线

的中点, 与平面





所成角的大小为________. 到实数集的变换过程: 区间 中的实数对应数轴上的

(16) 下图展示了一个由区间

点 个正方形,使两端点 恰好重合(如图 2),

(如图 1),将线段

围成一

再将这个正方形放在平面直角坐标系中,使其中两个顶点在轴上, 点的坐标为 交于点 记作 ① ③ (如图 3),若图 3 中直线 ,则点 的变换结果就是点 , 与 轴

.现给出以下命题: ;② 的图象的对称中心为 的不等式 ; 的解集为 ;

为偶函数;④关于

⑤若数列

,则

为等比数列. .

其中所有正确命题的番号应是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知向量 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)在 且 ,求 中, 的值. , 的最小正周期; 分别是角 的对边,且 , , , ,函数 .

(18)(本小题满分 12 分) 如图,正方形 .且 (Ⅰ)求证:四点 (Ⅱ)求二面角 、直角梯形 , 共面; 的大小; 、直角梯形 . 所在平面两两垂直,

(19)(本小题满分 12 分) 某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动.根据市场行情,该商场决定从 3 种品牌 的服装类商品、2 种品牌的家电类商品、4 种品牌的日用类商品中,任选出 3 种商品进行促 销活动.(Ⅰ)求选出的 3 种商品中至少有一种是日用类商品的概率; (Ⅱ)商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售,即在该类商品成本价的基 础上每件提高 180 元作为售价销售给顾客,同时给该顾客 3 次抽奖的机会,若中奖一次,

就可以获得一次奖金.假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是 且每次获奖时的奖金数额都为 和数学期望

,每次中奖与否互不影响, 的分布列

元,求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额

,并以此测算 至多为多少时,此促销方案使商场不会亏本?

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 ,数列 满足 .

(Ⅰ)若 (Ⅱ)记 ,

,求数列 ,数列

的前项和 的前 项和为

; ,对于给定的正整数 ,

如果

恒为定值(与 的变化无关),求 的值.

(21)(本小题满分 12 分) 已知 径 是圆 ,当点 的方程; 上的动点,点 在圆上运动时,点 ,线段 . 的垂直平分线与半

交于点

的轨迹为曲线

(Ⅰ)求曲线

(Ⅱ)已知点 点). ①求直线 ②求证:当



在曲线

上,且





是坐标原

的斜率; 的面积取得最大值时, 恰好为 的重心.

(22)(本小题满分 14 分) 设函数 . (Ⅰ)当 时,求函数 的最小值; ,都有 ; 其中 为自然对数的底数,

(Ⅱ)证明:对任意正数

(Ⅲ)若

,证明:

.

成都七中高 2012 级高考适应性考试数学(理科)参考答案
一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分)

题号 答案

1 B

2 D

3 C

4 A

5 A

6 B

7 B ,则 ,

8 C

9 C

10 B

11 A ,

12 D

(9)解:设箱底边长为 ,则箱高 解得 (10)解:由题知, (舍), ,设

时, ,由余弦定理

单增,故选 C ,由双曲线

的定义有





,故选 B

(11) 解: 第一步先将 5 人分成 3 组, 再全排, 有

种,第二步,另两个空房间插空,有 选A (12)解:球半径 ,小圆

种,

总共有

=900 种,故

的半径为 ,

,

,



取得最小值时 ,

,



所成角为

,

故 A 错;点

到平面

的距离为 2,故 B 错当

取得最大值时,

,

的最大值为

,故选 D.

二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分)

(13)

;(14)

;(15)

;(16)①②⑤.

(15)(参见高二下 B P57,6 题第 3 小题) (16)

故选①②⑤

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分) (17) 解:(Ⅰ)

???4 分 ∴函数 的最小周期 ???6 分

(Ⅱ)



是三角形内角,∴

,∴

???8 分



,∴

???10 分

将 ∴ ,∴

可得: , ,

,解得:

???12 分 、直角梯形 、直角梯形 所在平面两两

(18)(Ⅰ)证明:由正方形

垂直,易证:AD、DE、DG 两两垂直,建立如图的坐标系,则 A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2), E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0)



,即四边形 BCGF 是平行四边形. ???4 分 即可.

故四点 B、C、F、G 共面.

也可用几何法:取 DG 的中点 M,连结 FM,BF,证 (Ⅱ) ,

设平面 BCGF 的法向量为

,

则 设平面 DBC 的法向量

则 ;且

, ,







故二面角



???12 分

(19)解:(I)设选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品为事件 A,则

(法一)

.(法二)



即选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率为

. ????5 分

答:选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率为 (II)设顾客抽奖的中奖中奖奖金总额为 ,则 =

. ,于是









∴ 顾客中奖次数的数学期望

.???10 分

设商场将每次中奖的奖金数额定为 元,则

≤180,解得 x≤120,

即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为 120 元,才能使商场不亏本.???12 分 答:该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为 120 元,才能使商场不亏本. (20)解:(Ⅰ) ∴ , ,∴ 为等比数列,公比 ????3 分

① ,② ①-②得 . (Ⅱ)∵ ∴ ∴ ∵ ,∴ , .∴数列 ,且 是首项为 2,公比为 . 是首项为 ,公差为 的等差数列. , 的等比数列,∴ . , ????6 分





????10 分





又∵

恒为定值(即与 的变化无关),

∴ (21)解:(Ⅰ)由题意

,解得 ,



????12 分

由椭圆的定义知,

的轨迹是以

为焦点,半长轴为 2,

半焦距为 1 的椭圆,曲线

的方程为

???4 分

(Ⅱ)①设



,由





,两式相减得

???6 分

②设

的直线方程为



联立 ,

到直线

的距离

???8 分

求最值的方法一:



用导数法 (此处略)可得





???11 分

方法二:

当且仅当 由韦达定理得:

,即

时取等号 ,

11 分 .





的重心.

???12 分

(22)解:解:(Ⅰ)

时,



;令





时,





是减函数;



时,





是增函数;

∴ (Ⅱ) ∵



时取得最小值,即

???4 分

,不妨设

(其中

),则

原式

=

=



???8 分

(Ⅲ)证法一:数学归纳法 ①当 ②假设当 即若 当 设 由(Ⅱ)得 时, 时,由(Ⅱ)知命题结论成立; 时命题成立; ,则 满足

= 即 时命题成立.;

由①②可知, 证法二:若 由(Ⅱ)可得 = =

.

=

.??14 分

附:理科备选题
22.已知函数 (Ⅰ)求证:对任意的 ;

(Ⅱ)证明:



(Ⅲ)求证:对任意的

.

22.解(Ⅰ)只需证明 令 是 ,得

的最大值为 0 即可 ,当 时, ,当 ,∴

, 时

唯一的极大值点,故 ,从而

4分 ,即

(Ⅱ)由(Ⅰ)当

时,





由上面 个不等式相加得 (Ⅲ)由(Ⅰ)当 时 ,即

9分

14 分 21.(本题满分 14 分)已知函数 的切线方程;(2)若 (3)当 22.(1)解:因为 函数 的图像在点 时,证明 ,所以 处的切线方程 ,所以 ,且 . , ; ??3 分 对任意 恒成立, .(1)求函数 对任意 的图像在点 处

恒成立,求的最大值;

(2)由(1)知,

对任意

恒成立.令

,则



令 因为 根 当 ,且满足 .

,则 ,所以方程



在 在

上单调递增. 上存在唯一实

???5 分 ,当 ,即 ,

,即

所以函数



上单调递减,在

上单调递增.

所以 所以 .故整数的最大值是 3.

. ???8 分


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