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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数

时间:2014-08-22


第4讲
一、选择题

二次函数性质的再研究与幂函数
).

1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( 1 A.y= x(x∈R,且 x≠0) C.y=x(x∈R) ?1? B.y=?2?x(x∈R) ? ? D.y=-x3(x∈R)

解析 对于 f(x)=-x3,∵f(-x)=-(-x)3=-(-x3)=-f(x),∴f(x)=-x3 是 奇函数,又∵y=x3 在 R 上是增函数,∴y=-x3 在 R 上是减函数. 答案 D 1? ? 2.已知幂函数 y=f(x)的图像经过点?4, ?,则 f(2)=( 2? ? A. 1 4 2 2 B.4 )

C.

D. 2 1? 1 ? 设 f(x)=xα,因为图像过点?4, ?,代入解析式得:α=- ,∴f(2) 2 2 ? ?

解析

1 2 =2- = . 2 2 答案 C

3.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围 为 A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3) ( ).

解析 f(a)=g(b)?ea-1=-b2+4b-3?ea=-b2+4b-2 成立,故-b2+4b -2>0,解得 2- 2<b<2+ 2. 答案 B

?2x,x>0, 4. 已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0, 则实数 a 的值等于 ?x+1,x≤0, A.-3 B.-1 C.1 D.3

(

).

?a>0, ?a≤0, 解析 f(a)+f(1)=0?f(a)+2=0?? 或? 解得 a= ?2a+2=0 ?a+1+2=0, -3. 答案 A 5 .函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于直线 x=-

b 对称.据此可推测,对 2a

任意的非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0 的解集都不可能是( A.{1,2} C.{1,2,3,4} 解析 =t2. 而 f(x)=ax +bx+c 的图象关于 x=-
2

). B.{1,4} D.{1,4,16,64}

设关于 f(x)的方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0 有两根, 即 f(x)=t1 或 f(x)

b 对称,因而 f(x)=t1 或 f(x)=t2 的 2a

两根也关于 x=- 答案 D

b 4+16 1+64 对称.而选项 D 中 ≠ . 2a 2 2

6.二次函数 f(x)=ax2+bx+c,a 为正整数,c≥1,a+b+c≥1,方程 ax2+bx +c=0 有两个小于 1 的不等正根,则 a 的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 ( ).

解析 由题意得 f(0)=c≥1,f(1)=a+b+c≥1.当 a 越大,y=f(x)的开口越小, 当 a 越小,y=f(x)的开口越大,而 y=f(x)的开口最大时,y=f(x)过(0,1),(1,1), b 1 则 c=1,a+b+c=1.a+b=0,a=-b,-2a=2,又 b2-4ac>0,a(a-4)>0, a>4,由于 a 为正整数,即 a 的最小值为 5. 答案 C 二、填空题

7.对于函数 y=x ,y=x 有下列说法:①两个函数都是幂函数;②两个函数在 第一象限内都单调递增;③它们的图像关于直线 y=x 对称;④两个函数都是 偶函数;⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1);⑥两个函数的图像都是抛物线 型. 其中正确的有________. 解析 答案 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较. ①②⑤⑥

2

1 2

8.若二次函数 f(x)= ax2 - 4x+c 的值域为[0,+∞),则 a, c 满足的条件是 ________. ?a>0, ? 解析 由已知得?4ac-16 =0 ? ? 4a 答案 a>0,ac=4 9.方程 x2-mx+1=0 的两根为 α 、β ,且 α >0,1<β <2,则实数 m 的取值 范围是________. 解析 ?α +β =m, ∵? ?α ·β =1, ∴m=β + 1 . β ?a>0, ?? ?ac-4=0.

∵β ∈(1,2)且函数 m=β +

1 在(1,2)上是增函数, β

5? 1 ? ∴1+1<m<2+ ,即 m∈?2, ?. 2? 2 ? 答案 5? ? ?2, ? 2? ?

10.已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件: ①?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0, 则 m 的取值范围是________. 解析 当 x<1 时,g(x)<0,当 x>1 时,g(x)>0,当 x=1 时,g(x)=0,m=0 不 符合要求;当 m>0 时,根据函数 f(x)和函数 g(x)的单调性,一定存在区间[a, +∞)使 f(x)≥0 且 g(x)≥0,故 m>0 时不符合第①条的要求;当 m<0 时,如图

所示,如果符合①的要求,则函数 f(x)的两个零点 都得小于 1,如果符合第②条要求,则函数 f(x)至 少有一个零点小于-4,问题等价于函数 f(x)有两 个不相等的零点, 其中较大的零点小于 1, 较小的 零点小于-4,函数 f(x)的两个零点是 2m,-(m+

3) , 故

m

满 足

?2m<-?m+3?, ?2m<-4, ?-?m+3?<1
m<0,



?-?m+3?<2m, ?2m<1, ?-?m+3?<-4,
m<0, 答案 (-4,-2) 三、解答题

解第一个不等式组得- 4<m< - 2 ,第二个不等式组无

解,故所求 m 的取值范围是(-4,-2).

11.设 f(x)是定义在 R 上以 2 为最小正周期的周期函数.当-1≤x<1 时,y=f(x) ?1 1? 的表达式是幂函数,且经过点?2,8?.求函数在[2k-1,2k+1)(k∈Z)上的表达 ? ? 式. ?1 1? 解 设在[-1,1)上,f(x)=xn,由点?2,8?在函数图象上,求得 n=3. ? ? 令 x∈[2k-1,2k+1),则 x-2k∈[-1,1), ∴f(x-2k)=(x-2k)3.又 f(x)周期为 2, ∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)3.即 f(x)=(x-2k)3(k∈Z). 12.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4, 6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)[理]当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. 解 (1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,

由于 x∈[-4,6],

∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, 又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图像开口向上,对称轴是 x=-a, 所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6], ?x +2x+3,x∈ ,6] 且 f(x)=? 2 ?x -2x+3,x∈[-6,0],
2

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0]. 13.设函数 f(x)=ax2-2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0,求实 数 a 的取值范围. 解 不等式 ax2-2x+2>0 等价于 a> 2x-2 ,x∈(1,4),则 2x-2

x2



设 g(x)=

x2

g′(x)=


2x2-

x- x4
= -2x

x x- x4

-2x2+4x

x

4



当 1<x<2 时,g′(x)>0,当 2<x<4 时,g′(x)<0,

g(x)≤g(2)= ,
1 由已知条件 a> , 2 ?1 ? 因此实数 a 的取值范围是? ,+∞?. 2 ? ? 14.已知函数 f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)满足 f(2)<f(3). (1)求 k 的值并求出相应的 f(x)的解析式; (2)对于(1)中得到的函数 f(x),试判断是否存在 q>0,使函数 g(x)=1-qf(x)+

1 2

17? ? (2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为?-4, 8 ??若存在,求出 q;若不存在,请 ? ? 说明理由. 解 (1)∵f(2)<f(3),∴f(x)在第一象限是增函数. 故-k2+k+2>0,解得-1<k<2. 又∵k∈Z,∴k=0 或 k=1. 当 k=0 或 k=1 时,-k2+k+2=2,∴f(x)=x2. (2)假设存在 q>0 满足题设,由(1)知 g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].
2 ?2q-1 4q +1? ∵g(2)=-1, ∴两个最值点只能在端点(-1, g(-1))和顶点? , 4q ?处 ? 2q ?

4q2+1 4q2+1 ?4q-1?2 4q2+1 取得. 而 4q -g(-1)= 4q -(2-3q)= 4q ≥0, ∴g(x)max= 4q = 17 8, g(x)min=g(-1)=2-3q=-4. 解得 q=2,∴存在 q=2 满足题意.


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