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福建省厦门六中2014-2015学年高一数学上学期期中试卷

时间:2016-09-26


2014-2015 学年度厦门六中高一年级上学期期中考试 数 学 试 题
一、选择题:本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选项中,只 有一项符合题目要求。 1 .设集合 M ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2}, N ? {n ? N | ?1 ? n ? 3} ,则 M ? N ? ( A. {0,1} 2.已知集合 B. {?1, 0,1} )

1, 2} C. {0,

, 0, 1, 2} D. {?1
,下列从 P 到 Q 的各对应关系 f ( )

P ? {x 0 ? x ? 4}

,集合

N ? {y 0 ? y ? 2}

不是函数的是

f :x? y?
A.

1 1 2 x f :x? y? x f :x? y? x 2 B. 3 C. 3 D. f : x ? y ? x

M(
3.已知点
2 A. f ( x) ? x 1

3 ,3) 3 在幂函数 f ( x ) 的图象上,则 f ( x ) 的表达式为
B. f ( x) ? x
? 1 2


?2



C. f ( x) ? x

2

D. f ( x) ? x

4.设

a ? 70.3 , b ? log7 0.3, c ? 0.37 ,则 a, b, c 的大小关系是
B. b ? c ? a
x

( D. c ? b ? a ( D. (1, 2)



A. a ? b ? c

C. c ? a ? b

5. 函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点所在的一个区间是 A. (?2, ?1) B.

)

(?1, 0)

C. (0,1)

y ? log 1 ?4 x ? 3?
6.函数
2

的定义域为





3 ( , +?) A. 4
7.函数

, +?) B. [1

3 ( ,1) C. 4

3 ( ,1] D. 4


f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ?1? x ? 2
B. a ? ?3

在 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( C. a ? 5 D. a ? 3

A. a ? ?3

8.函数

f ? x? ?

1 3 ? 1 的值域是
x

( C. (1, ??) D. (??,1) ? (1, ??)



A. (??,1)

B. (0,1)

1

9.若函数

f ( x) ? loga x 在区间 [a,3a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值为(
3 B. 9
2



A. 3

3 C. 3 或 3

3 D. 3 或 9

?0, m? 上的最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值 10.已知函数 y ? x ? 2x ? 3 在区间
范围是 A. ( B. )

?0, 2?

?1, 2?

C.

? ??,2?

D.

?1, ???


11.函数

f ( x) ? 1 ? log 2 x 与 g ( x) ? 2? x?1 在同一直角坐标系下的图象大致是 (

f (log2 x) ? f (1) , 12.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在 [0, ??) 上为增函数, 若
则 x 的取值范围是 A. (2, ??) ( )

1 ( , 2) B. 2

1 (0, ) ? (2, ??) 2 C.

D. (0,1) ? (2, ??)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上。

? ? 1 ?? ?lnx, x ? 0 f ? f ? ?? f ? x? ? ? x ? 3 , x ? 0 ,则 ? ? e ? ? 的值是 13. 已知函数
14.函数

. .

f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 1 (a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 P ,则 P 点的坐标是

? ?5,5? ,若当 x ? [0,5] 时, 15.设奇函数 f ( x) 的定义域为
f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解集为
. 16.若函数 f ?x ? 同时满足:①对于定义域上的任意 x ,恒有

f ?x ? ? f ?? x ? ? 0

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?0 x1 ? x2 ②对 于定义域上的任意 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时,恒有 ,则称函数 f ?x ? 为
“理想函数” 。

2

给出下列四个函数 中:①

f ?x ? ?

1 2x ?1 ? ? f x ? 2 x ;② f ?x? ? x ; ③ 2x ?1 ;

?? x 2 f ?x ? ? ? 2 ? x ④

x?0 x ? 0 ,能被称为“理想函数”的有_

_ (填相应的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (12 分)计算下列各式
3 6

xy 2
(x>0,y>0) (结果用指数表示)

(1)

x5 ?4 y 3

log8 4 ? log 2 6 ? log 2 3 + log36?log69-lg100+ (2)

2

?

log 23

18. (本题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 3} , B ? {x | ?2 ? x ? 4} ,全集 U ? R

(C A) ? B ; (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 A ? B 和 R
(Ⅱ)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)

f ( x) ?
已知函数

x x ?1 ,

(1 )用函数单调性定义证明: f ( x ) 在 (?1, ??) 是增函数;

f ( x) ?
(2)试求

2x 2 x ? 1 在区间 [1, 2] 上的最大值与最小值.

20.(本小题满分 12 分)

3

已知函数

f ?x? ? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x? ?a ? 0, a ? 1? .

(1 )判断函数 f ?x ? 的奇偶性,并说明理由; (2)求使 f ?x ? ? 0 的 x 的取值范围.

21. (本题满分 12 分) 某家庭进行理财投资, 根据长期收益率市场预测, 投资债券等稳健型产品的收益与投资额成 正比, 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知投资 1 万元时两类 产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) .

(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系; (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收 益,其最大收益为多少万元?

22.(本题满分 14 分) 设 a ∈R,函数

f ( x) ? x x ? a ? 2x



(1)若 a =2,求函数 f ( x ) 在区间[0,3]上的最大值; (2)若 a >2,写出函数 f ( x ) 的单调区间(不必证明) ; (3)若存在 a ∈[3,6],使得关于 x 的方程 f ( x) ? t ? 2a 有三个不相等的实数解,求实数

t 的取值范围.

4

厦门六中 2014—2015 学年上学期高一半期考 数学答题卷 一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是正确的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上. 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13._______________ 14._____________ 15.________________________ 16. ________ _____________ 三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分;解答应写出文字说明与演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)解:

姓名 座号 班级


19. (本小题满分 12 分)解.



线


18.(本小题满分 12 分)解:




17.





5

20.(本小题满分 12 分)解:

21.(本小题满分 12 分)解:

6

22.(本小题满分 14 分)解:

密 封 线 内 请 勿 答 题
7

18.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, A ? {x |1 ? x ? 5}

A ? B ? {x | ?2 ? x ? 5} , CR A ? {x | x ? ?1或x ? 5}

(CR A) ? B ? {x | ?2 ? x ? ?1}
(Ⅱ) ? A ? B ? A ,? A ? B ①若 A ? ? ,则 a ? 1 ? 2a ? 3 解得 a ? ?4 ;

??6 分

??8 分

②若 A ? ? ,? A ? B 则

? a ? 1 ? 2a ? 3 ? ? a ? 1 ? ?2 ? 2a ? 3 ? 4 ?

?1 ? a ?
解得

1 2

1 ( ??, ?4] ? [ ?1, ] 2 综上: a 的取值范围是
19. 证明: (1)任取

??12 分

x1 , x2 ? (?1, ??), 且 x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ?

x1 ? x2 1 1 1 1 ) ? (1 ? )? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? x1 , x2 ? (?1, ??), 且 x1 ? x2 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,

? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 )
??6 分

? f ( x) 为 (?1, ??) 上的增函数。
x (2)令 t ? 2 , 则 t ? [2, 4], 由(1)可知

g (t ) ?

t t ? 1 在 [2, 4] 上为增函数,
8



f min ? g (2) ?

2 , 3

4 f max ? g (4) ? . 5

??12 分

?1 ? x ? 0 ?? ,? ?1 ? x ? 1 1 ? x ? 0 20.解: (1) ? ,
函数的定义域为 ?? 1,1? . ? f ( x ) 的定义域关于原点对称 又 ??2 分 ??6 分

f ?? x? ? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x? ? ? f ?x? , ? f ?x ? 为奇函数. ? f ?x? ? 0,? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x?
当 0 ? a ? 1 时, 1 ? x ? 1 ? x,? ?1 ? x ? 0; 当 a ? 1 时, 1 ? x ? 1 ? x,? 0 ? x ? 1 .

(2)

) ) 综上可知:当 0 ? a ? 1 时, x 都范围是 (?1,0 ;当 a ? 1 时, x 都范围是 (0,1 ??12 分
21. 解: (1)f(x)=k1x, , , , (x≥0) ,

(x≥0) (2)设:投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 20﹣x 万元. (0≤x≤20)



,则

=

=

所以当 t=2,即 x=16 万元时,收益最大,ymax=3 万元

22.解: (1)当 a=2,x∈[0,3]时, 作函数图象,

9

可知函数 f(x)在区间[0,3]上是增函数. 所以 f(x)在区间[0,3]上的最大值为 f(3)=9.

(2)

①当 x≥a 时,



因为 a>2,所以



所以 f(x)在[a,+∞)上单调递增.

②当 x<a 时, 因为 a>2,所以 所以 f(x)在 . 上单调递增,在



上单调递减. 和[a,+∞) ,递减区间是[ ,a].

综上所述,函数 f(x)的递增区间是 (3)当 3≤a≤6 时,由(1)知 f(x)在 在 上是减函数,

和[a,+∞)上分别是增函数,

当且仅当

? a ? 2? 2a ? t ? 2a ?
4

2

时,方程 f(x)=t+2a 有三个不相等的实数解.



0?t ?

? a ? 2?
4

2



? a ? 2? g (a) ?
4

2

,g(a)在 a∈[3,6]时是增函数,
10

故 g(a)max=4. ∴实数 t 的取值范围是(0,4).

11


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