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第一次月考理科数学试卷

时间:2016-08-29


高三博学区第一次月考理科数学试卷
考试时间:120 分钟
一、选择题(每题 5 分) 1.若集合 A ? ? x | x 2 ? 1 ? 0? , B ? ? x | 0 ? x ? 4? ,则 A ? B ? ( A. ?x | 0 ? x ? 1? C. ?x | ?1 ? x ? 4? B. ?x | ?1 ? x ? 1? D. ?x |1 ? x ? 4? ) )

2. “若 x, y ? R, x2 ? y 2 ? 0 ,则 x , y 全为 0”的逆否命题是( A.若 x, y ? R, x, y 全不为 0,则 x2 ? y2 ? 0 B.若 x, y ? R, x, y 不全为 0,则 x2 ? y2 ? 0 C.若 x, y ? R, x, y 不全为 0,则 x2 ? y2 ? 0 D.若 x, y ? R, x, y 全为 0,则 x2 ? y2 ? 0

3.设函数 y=f(x)在(a,b)上可导,则 f(x)在(a,b)上为增函数是 f′ (x)>0 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知命题 p :对任意 x ? R, ,总有 3x ? 0 ;命题 q : " x ? 2" 是 " x ? 4" 的充分 不必要条件,则下列命题为真命题的是( A. p ? q B. ?p ? ? q C. ? p ? q ) D. p ? ?q )

5.命题“ ?x ? (0, ??),ln x ? x ? 1 ”的否定是(

A. ?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ? 1 B. ?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ? 1 C. ?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ? 1 D. ?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ? 1 6.函数 f(x)=

1 ? ? 1 ? ? log 1 x ? ? 2 ?
2

的定义域为(



?1 ? ? 1? A. ? , 2 ? B. ? 0, ? ? ? 2, ?? ? ?2 ? ? 2?

答案第 1 页,共 4 页

C. (2,+∞)

? 1? D. ? 0, ? ? 2?

7.下列函数中,既是偶函数,又在(0, ? ? )上是单调减函数的是( A. y ? ?2
x



B. y ? x 2

1

C. y ? ln x ? 1 D. y ? cos x 8.定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,且当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? x2 ? x ,则 当 x ? [?1,0] 时, f ( x) 的最小值为( (A) ? 1
8

) (D) 1
4

(B) ? 1

4

(C) 0

3 ? x ?1 2e , x ? ? ? 2 9.已知 f(x)= ? ,则 f(f(2) )的值是( ?log ? x 2 ? 1? , x ? 3 3 ? ? 2



A.0

B.1

C.2

D.3 )

10.设 a ? log0.3 2, b ? log0.3 3, c ? 20.3 , d ? 0.32 ,则这四个数的大小关系是( A. a ? b ? c ? d C. b ? a ? c ? d B. b ? a ? d ? c D. d ? c ? a ? b

11. f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象如图 1 所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的 图象是图 2 中的( )

12.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x? ? x2 ? 4 x ,则不等式

f ? x? ? x 的解集用区间表示为(



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A. ? ?5,0? ? ?5, ??? B. ? ??, ?5? ? ?5, ??? C. ? ?3,0? ? ?5, ??? D. ? ??,0? ? ? 0,3? 13.已知函数 f ( x) ? ln 是( )
1? x ? sin x ,则关于 a 的不等式 f (a ? 2) ? f (a2 ? 4) ? 0 的解集 1? x

A. ( 3 ,2) B. (?3 ,2) C. (1 ,2) D. ( 3 , 5)

? x 2 ? (4a ? 3) x ? 3a, x ? 0, 14. 已知函数 f (x) =? (a>0,且 a≠1) 在 R 上单调递减, log ( x ? 1) ? 1 , x ? 0 ? a
且关于 x 的方程│f(x)│=2 ? x 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是 ( ) (A)(0,

2 ] 3

(B)[

2 3 , ] 3 4

1 2 3 (C)[ , ] ? { } 3 3 4
二、填空题(每题 5 分)

1 2 3 (D)[ , ) ? { } 3 3 4

15.函数 y ? ln ? 2x ?1? ? x2 的单调递增区间是.
? ??1-a ? x ? 2a, x ? 1 16.若函数 f ? x ? ? ? 的值域为 R,则 a 的取值范围是. ? ?ln x, x ? 1

17. f ? x ? ? x ? x ? c ? 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________.
2

18.设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x ?

a2 , g ( x) ? x ? ln x ,若对任意的 x1 , x2 ??1, e? ,都 x

有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题(每题 10 分) (请写出必要的文字说明和关键的解题过程。 ) 19. (1)计算 (5
1 0.5 10 ? 3 ) ? 2 ? (2 ) 3 ? 2 ? ( 2 ? ? ) 0 ? ( ) ? 2 16 27 4
2

1 (2)计算 9 log3 2 ? 4 log 4 3 ? log 27 8 ? log 6 8 ? 2 log 6?1 3 3

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20.已知命题 p :关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立;命题 q :函数 y ? log( 4?2a ) x 在
(0,??) 上递减.若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围.

21.已知函数 g ( x) ? (a ? 1) x?2 ? 1(a ? 0) 的图象恒过定点 A ,且点 A 又在函数 f ( x) ? log 3 ( x ? a) 的图 象上. (1)求实数 a 的值 (2)解不等式 g ( x) ? 3

22.若二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ,满足 (1)求函数
f ( x) 的解析式;

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 16 x 且 f (0) =2.

(2)若存在 x ? [1,2] ,使不等式 f ( x) ? 2 x ? m 成立,求实数 m 的取值范围.

23. 设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c( a ? 0) , f (0) ? 0 ,其图象在点 (1,f (1)) 处的切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,
导函数 f ?( x ) 的最小值为 ?12 . (Ⅰ)求 a,b,c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间,并求函数 f ( x ) 在 ??13 , ? 上的最大值和最小值.

24.已知函数 f ? x ? ?

a ? ln x ,其中 a ? R 。 (1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; x

(2)若不等式 f ? x ? ? 1 在 x ? ? 0, e? 上恒成立,求实数 a 的取值范围。

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理科参考答案 1.C 【解析】 试题分析:
A ? ? x | x 2 ? 1 ? 0? ? (?1,1),

所以 A ? B ? ?

x | ?1 ? x ? 4?

,选 C.

2.C【解析】试题分析:根据命题“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 q ? ,则 p ? ” ,可以写出 “若 ,选 C. x, y ? R, x2 ? y 2 ? 0 ,则 x , y 全为 0”的逆否命题是“若 x, y ? R, x, y 不全为 0,则 x2 ? y2 ? 0 ” 3.A【解析】 :因若 f / ( x) ? 0 ,则 f ( x) 单调递增;反之,若 f ( x) 单调递增,则 f / ( x) ? 0 .如 y ? x 3 ,故应 选 A. 4.D【解析】 :根据指数函数的性质,可知命题 p 是真命题,而根据 " x ? 2" 是 " x ? 4" 的必要不充分条 件,所以命题 q 是假命题,根据复合命题的真值表,以确定选 D. 5.A【解析】 :命题“ ?x ? (0, ??),ln x ? x ? 1 ”的否定是“ ?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ? 1 ” . 6.A【解析】 :因 1 ? (log1 x) 2 ? 0 ,故 ? 1 ? log 1 x ? 1 ,由对数函数的性质可得
2
2

1 ? x ? 2 ,故应选 A. 2

7.A【解析】 :B,C 是非奇非偶函数,D 不是恒单调递减,故选 A.
2 8.A【解析】 : 设 x ? [?1,0] , 则 x ? 1? [ 0 , 1] , 则 f ( x? 1) ? (x ? 1) , 又 f ( x? 1)? 2f (x , ) ∴ ? x ( ? 1)

f ( x) ?

1 2 1 (x ? ) x ,∴当 x ? ? 时,取到最小值为 ? 1 . 2 2 8

9.C【解析】 :由已知, f (2) ? log3 (2 2 ? 1) ? 1,则 f ( f (2)) ? f (1) ? 2e1?1 ? 2 . 10.B 【解析】 试题分析:由对数函数的性质判出 b<a<0,由指数函数的性质得到 c>1,由幂函数的性质得到 d 大于 0 小于 1, 则四个数的大小得到比较. 解: 因为 log0.33<log0.32<log0.31=0, 所以 b<a<0, c=20.3 >20=1, 0<d=0.32<0.30=1.所以四个数 a,b,c,d 的大小关系是 b<a<d<c.故选 B 11 . A 【 解 析 】 由 图 像 可 知 f ( x) ? 0 的 两 个 根 为 a , b ,并且 b ? ?1 ? 0 ? a ? 1 , 所以对应的 g(x)的图像应该为 A.
2 12 . A 【解 析】 : 因为 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的奇 函 数, 当 x ? 0 时 , f ? x? ? x ? 4 x, 所以 x ? 0 时

?x ? 0 ?x ? 0 得 x ? 5 ,由 ? 2 得 ?5 ? x ? 0 ,故选 A. f ? x ? ? ?x2 ? 4x ,由 ? 2 ?x ? 4x ? x ?? x ? 4 x ? x

13.A【解析】 :因为函数 f ( x) ? ln

1? x 1? x ? 0} ? (?1,1) ,且 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,所 ? sin x 的定义域为 {x | 1? x 1? x

试卷第 2 页,总 4 页

以 函 数 f ( x)? l n

1? x ? 1? x

si x为 n 奇 函 数 , 又 f ( x) ? ln( ?1 ?

2 ) ? sin x 在 ( ?1,1) 上 为 增 函 数 , 则 x ?1

?? 1 ? a 2 ? 4 ? 1 ? 2 f (a ? 2) ? f (a 2 ? 4) ? 0 可化为 f (a ? 4) ? ? f (a ? 2) ? f (2 ? a) ,则 ?? 1 ? a ? 2 ? 1 ,解得 3 ? a ? 2 ;故选 ?a 2 ? 4 ? 2 ? a ?

A.
?3 ? 4a ? 0 1 3 ? 14.C【解析】 :由 f ( x) 在 R 上单调递减可知 ?3a ? 1 ? ? a ? ,由方程 | f ( x) |? 2 ? x 恰好有两个 3 4 ?0 ? a ? 1 ?
1 2 3 不相等的实数解, 可知 3a ? 2, , ? a ? , 又 a ? 时, 抛物线 y ? x2 ? (4a ? 3) x ? 3a 与直线 y ? 2 ? x 相 3 3 4 1 2 3 切,也符合题意,∴实数 a 的取值范围是 [ , ] ? { } ,故选 C. 3 3 4

2x ?1 ? 0 2 1 1 ? 1 1? ' 2 ? 2x , 15.? ? , ? . 解析: 因为 y ? ln ? 2x ?1? ? x y ? 所以由 { 2 得,? ? x ? , , 2x ?1 2 2 ? 2x ? 0 ? 2 2? 2x ?1
? 1 1? 故函数 y ? ln ? 2x ?1? ? x2 的单调递增区间是 ? ? , ? . ? 2 2?

16. ?1 ? a ? 1
? ??1-a ? x ? 2a, x ? 1 【解析】 : f ? x? ? ? ,? x ? 1 ,ln x ? 0 ,由 f ( x) 值域为 R ,? (1 ? a) x ? 2a 必须到 ? ? , ? ?ln x, x ? 1

?1 ? a ? 0 即满足: ? ,即 ?1 ? a ? 1 ,故答案为 ?1 ? a ? 1 . ?1 ? a ? 2a ? 0
17. 6 【解析】 : f ? x ? ? x ? 2cx ? c x ,则 f ' ? x ? ? 3x ? 4cx ? c ,由题意知 f ? 2? ? 0 ,即 1 2? 8 c?c ? 0 ,
3 2 2 2 2

2

得 c ? 2, 或 6 ,当 c ? 2 时, f ' ? x ? ? 3x ? 8 x ? 4 ? ? 3 x ? 2 ?? x ? 2 ? ,当
2

2 ? x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 ,当 x ? 2 3

时 f ' ? x ? ? 0 ,有极小值,当 c ? 6 时,可由导致判断,在 x ? 2 时有极大值.
a2 x2 ? a2 ? 【解析】 e ? 2,1 18. ? : f ?( x) ? 1 ? 2 ? ,当 0 ? a ? 1 ,且 x ??1, e? 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 ?1, e? 上 ? ? x x2
? 是 增 函 数 , f ( x1 )min ? f (1) ? 1 ? a2 , 又 g ?( x) 1 1 ? x x (? , 0 ) ∴ g ( x) 在 ?1, e? 上 是 增 函 数 ,

g ( x2 )max ? g (e) ? e ?1 .由条件知只需 f ( x1 )min ? g ( x2 )max .即 1 ? a 2 ? e ? 1 .∴ a 2 ? e ? 2 .即 e ? 2 ? a ? 1.
考点:函数与导数恒成立问题.

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19. (1) 0 (2) 3 解: (1) (5
1 0.5 10 ? 3 ) ? 2 ? (2 ) 3 ? 2 ? ( 2 ? ? ) 0 ? ( ) ? 2 16 27 4
2
2

?

81 64 ? 4 9 3 3 ? 2 ? ( ) 3 ? 2 ? ( )2 ? ? 2 ? ( )2 ? 2 ? ( )2 ? 0 4 4 4 16 27 3

1 (2) 9 log3 2 ? 4 log 4 3 ? log 27 8 ? log 6 8 ? 2 log 6?1 3 3

? 3log3 4 ? 2 ? log6 2 ? log6 3 ? 4 ? 2 ? log6 6 ? 2 ? 1 ? 3
3 20. (?? ,?2] ? ( ,?? ) . 2 【解析】试题解析:命题 p 为真,则有 4a2-16<0,解得-2<a<2; 3 命题 q 为真,则有 0<4-2a<1,解得 <a<2. 2 由“p∨q 为真,p∧q 为假”可知 p 和 q 满足: p 真 q 真、p 假 q 真、p 假 q 假.

? ?2 ? a ? 2 3 ? 而当 p 真 q 假时,应有 ? 3 ,即-2<a≤ , 2 a ? 2ora ? ? ? 2
取其补集得 a≤-2,或 a>
3 , 2

3 此即为当“p∨q 为真,p∧q 为假”时实数 a 的取值范围,故 a ? (?? ,?2] ? ( ,?? ) . 2 21. (1)2 (2)见解析

【解析】试题解析: (1)由题意知定点 A 的坐标为 (2,2)

所以; log 3 (2 ? a) ? 2 ,解得; a ? 1 所以;

g ( x) ? 2 x?2 ? 1
(2)由 g ( x) ? 3 得; 2 x?2 ? 1 ? 3 ,
2 x ?2 ? 2 ,所以; x ? 2 ? 1

解得; x ? 3

考点:1.过定点及待定系数法求函数解析式;2.指数函数的性质及不等式的解法. 22. (1) f ( x) ? 4 x 2 -8 x ? 2 ; (2) m ? ?2 . 【解析】 试题分析: (1) 根据题意由 f ? 0? ? 2 , 得 c ? 2 将 x ? 2 带入二次函数的 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 中得:

f ? x ? 2? ? ax2 ? ? 4a ? b? x ? 4a ? 2b ? c ,再利用

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 16 x 求得 a

? 4, b ? ?8 ,所以得到

( 2 ) 将 不 等 式 分 离 参 量 , 得 到 使 m ? 4 x 2 ? 10 x ? 2 , x ??1, 2? 成 立 , 令 f ? x ? ? 4 x 2 ? 8x ? 2 ;
g ( x) ? 4 x2 ? 10x ? 2, x ??1, 2? ,进而只需证明 m ? g ? x ?max ,所以利用二次函数的单调性进而求得 g ? x ?
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在 ?1, 2? 的最大值为 ?2 ,所以答案为: m ? ?2 . 试题解析: (1)由 f ? 0? ? 2 ,得 c ? 2 ,所以 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 2(a ? 0) 由 f(x+2)-f(x)= [a( x ? 2) 2 ? b( x ? 2) ? 2] - [ax 2 ? bx ? 2] =4ax+4a+2b 又 f(x+2)-f(x)=16x,得 4ax+4a+2b=16x,故 a ? 4, b ? ?8 , 所以 f ? x ? ? 4x2 ? 8x ? 2 . (2)因为存在 x ??1, 2? ,使不等式 f ? x ? ? 2x ? m , 即存在 x ??1, 2? ,使不等式 m ? 4 x 2 ? 10 x ? 2 成立, 令 g ( x) ? 4 x 2 ? 10 x ? 2 , x ??1, 2? ,故 g man ( x) ? g (2) ? ?2 , 所以 m ? ?2 . 考点:1.待定系数法求解析式;2.分类变量求最值. 23. a ? 2, b ? ?6, c ? 0 f ( x) 的最小值为 f (1) ? ?4 最大值为 f (3) ? 36
【解析】解: (1) f / ( x) ? 3ax2 ? b

?c ? 0 ?b ? ?12 ? 由题意可得 ? 得 a ? 2, b ? ?6, c ? 0 ?3a ? b ? ?6 ? ?a ? 0
(2) f ( x) ? 2x ? 6x
3

即 f ( x) ? 6 x ? 6 令 f ( x) ? 0
/ 2 /

得 x ? 1或x ? ?1

所以 f ( x) 在 (1,??) 和 (??,?1) 上单调递增,在 (?1,1) 上单调递减 (II)当 ? 1 ? x ? 3 时, f ( x) (?1,1) 上单调递减,在 (1,3) 的单调递增 且 f (1) ? ?4 , f (3) ? 36 f (?1) ? 4 因此 f ( x) 的最小值为 f (1) ? ?4 最大值为 f (3) ? 36 24. (1)详见解析; (2) a ? 1 . 【解析】试题解析:解: (1)定义域为 (0, ??), f ?( x) ? ? ①当 a ? 0 时,? x ? 0,? x ? a ? 0,? f ?( x) ? 0 ,

a 1 x?a ? ? 2 , x2 x x

2分

? f ( x) 在定义域 (0, ??) 上单调递增;

4分

②当 a ? 0 时,当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增;
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当 0 ? x ? a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减。

? 函数 f ( x) 的单调递增区间: (a, ??) ,单调递减区间: (0, a )
(2) f ( x) ? 1 ?

7分

a a ? ln x ? 1 ? ? ? ln x ? 1 ? a ? ? x ln x ? x 对任意 x ? ? 0, e? 恒成立 x x
10 分

令 g ( x) ? ? x ln x ? x, x ? ? 0, e? ,所以由g ?( x) ? ? ln x ? 0得x=1

? g ( x) 在 x ? (0,1] 上单调递增,在 x ? ?1, e? 上单调递减 ? g ( x)max ? g (1) ? 1 ,? a ? 1
12 分

考点:1、导数在研究函数性质中的应用;2、等价转化的思想.3、分类讨论的思想.

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