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北京四中2017届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含答案

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2016-2017 学年北京四中高三(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 1.若集合 A={1,2,3},B={0,1,2},则 A∩B=( A.{0,1,2,3} )

B.{0,1,2} C.{1,2} D.{1,2,3} ,则( )

2.设 a=log32,b=log2 ,c=

A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.c>a>b 3.“数列{an}既是等差数列又是等比数列”是“数列{an}是常数列”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 4.若 x,y 满足 D.既不充分也不必要条件 ,则 z=x+2y 的最大值为( ) )

A.0

B.1

C.

D.2 )

5.从 A,B,C,D,E5 名学生中随机选出 2 人,A 被选中的概率为( A. B. C. D.

6 .下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是 ( ) C.y=2x D.y= )

A.y=x B.y=lgx

7.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为(

-1-

A.3

B.4

C.5

D.6 <φ< )的部分图象如图所示,则 ω,

8.函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ φ 的值分别是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9.设命题 p:? n∈N,n2>2n,则¬p 为 10.i 是虚数单位,则 = . . .

11.已知数列{an}中,a1=1,an=an﹣1+ (n≥2) ,则数列{an}的前 9 项和等于 12.函数 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线方程为 .

13.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=3,b=2,cos(A+B)

-2-

= ,则边 c=

. , ; .

14.设函数 f(x)= ①若 a=1,则 f(x)的最小值为

②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,验算步骤或证明过 程. 15.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin2B= (1)求 B; (2)已知 cosA= ,求 sinC 的值. 16.某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情 况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ × √ × √ √ √ √ × × bsinA.

217 × 200 300 85 √ √ √

× × × √ × ×

98 ×

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率; (3) 如果顾客购买了甲, 则该顾客同时购买乙、 丙、 丁中哪种商品的可能性最大? 17.已知:函数 f(x)=2 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅲ)把函数 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求 的值. x+sin2x.

-3-

18.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex(a>0)的导函数 y=f′(x)的两个零点为﹣3 和 0. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为﹣1,求 f(x)的极大值. 19.已知:f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[﹣1, 1],且 a+b≠0 时,有 >0 恒成立.

(Ⅰ)用定义证明函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数; (Ⅱ)解不等式: <f(1﹣x) ;

(Ⅲ)若 f(x)≤m2﹣2m+1 对所有 x∈[﹣1,1]恒成立,求:实数 m 的取值范围. 20.对于无穷数列{an}与{bn},记 A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=bn,n∈N*},若同 时满足条件:①{an},{bn}均单调递增;②A∩B=?且 A∪B=N*,则称{an}与{bn}是 无穷互补数列. (1)若 an=2n﹣1,bn=4n﹣2,判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列,并说明理由; (2)若 an=2n 且{an}与{bn}是无穷互补数列,求数量{bn}的前 16 项的和; (3)若{an}与{bn}是无穷互补数列,{an}为等差数列且 a16=36,求{an}与{bn}的通 项公式.

2016-2017 学年北京四中高三(上)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解+析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 1.若集合 A={1,2,3},B={0,1,2},则 A∩B=( A.{0,1,2,3} )

B.{0,1,2} C.{1,2} D.{1,2,3}

【考点】交集及其运算. 【分析】利用交集定义求解. 【解答】解:∵集合 A={1,2,3},B={0,1,2}, ∴A∩B={1,2}.

-4-

故选:C.

2.设 a=log32,b=log2 ,c=

,则(



A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.c>a>b 【考点】对数值大小的比较. 【分析】利用对数函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵a=log32∈(0,1) ,b=log2 <0,c= 则 c>a>b, 故选:D. >1,

3.“数列{an}既是等差数列又是等比数列”是“数列{an}是常数列”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据等比数列和等差数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判 断即可. 【解答】解:若数列{an}既是等差数列又是等比数列,则数列{an}为常数列,且 an ≠0, 则反之当 an=0 时,满足数列{an}为常数列,但数列{an}不是等比数列, 即 “ 数列{an} 既是等差数列又是等比数列 ” 是 “ 数列 {an} 是常数列 ” 的充分不必要条 件, 故选:A

4.若 x,y 满足

,则 z=x+2y 的最大值为(



A.0

B.1

C.

D.2

【考点】简单线性规划. 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数 z=x+2y 对应的直线进
-5-

行平移,即可求出 z 取得最大值. 【解答】解:作出不等式组 表示的平面区域,

当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=0+2×1=2. 故选:D.

5.从 A,B,C,D,E5 名学生中随机选出 2 人,A 被选中的概率为( A. B. C. D.



【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】先求出基本事件总数 n= m= =4,由此能求出 A 被选中的概率. ,再求出 A 被选中包含的基本事件个数

【解答】解:从 A,B,C,D,E5 名学生中随机选出 2 人, 基本事件总数 n= , =4,

A 被选中包含的基本事件个数 m= ∴A 被选中的概率为 p= 故选:B. .

6 .下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是 ( )

-6-

A.y=x B.y=lgx

C.y=2x D.y=

【考点】对数函数的定义域;对数函数的值域与最值. 【分析】分别求出各个函数的定义域和值域,比较后可得答案. 【解答】解:函数 y=10lgx 的定义域和值域均为(0,+∞) , 函数 y=x 的定义域和值域均为 R,不满足要求; 函数 y=lgx 的定义域为(0,+∞) ,值域为 R,不满足要求; 函数 y=2x 的定义域为 R,值域为 R(0,+∞) ,不满足要求; 函数 y= 故选:D 的定义域和值域均为(0,+∞) ,满足要求;

7.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为(



A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 a,k 的值,当 a= 足条件 a< ,退出循环,输出 k 的值为 4. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 时满

-7-

k=0,a=3,q= a= ,k=1 不满足条件 a< ,a= ,k=2 不满足条件 a< ,a= ,k=3 不满足条件 a< ,a= ,k=4

满足条件 a< ,退出循环,输出 k 的值为 4. 故选:B.

8.函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ φ 的值分别是( )

<φ<

)的部分图象如图所示,则 ω,

A.

B.

C.

D.

【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值,求出函数的周期 T= =π, 解得 ω=2. 由函数当 x= 时取得最大值 2, 得到 +φ= +kπ (k∈Z) ,

取 k=0 得到 φ=﹣

.由此即可得到本题的答案. 时取得最大值,x= 时取得最小

【解答】解:∵在同一周期内,函数在 x= 值, ∴函数的周期 T 满足 = 由此可得 T= ﹣ = ,

=π,解得 ω=2,

得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+φ)

-8-

又∵当 x= ∴2sin(2? ∵ 故选:A.

时取得最大值 2, +φ)=2,可得 +φ= +2kπ(k∈Z)

,∴取 k=0,得 φ=﹣

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9.设命题 p:? n∈N,n2>2n,则¬p 为 ? n∈N,n2≤2n . 【考点】命题的否定. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可. 【解答】解:命题是特称命题,则命题的否定是“? n∈N,n2≤2n”, 故答案为:“? n∈N,n2≤2n”

10.i 是虚数单位,则

=

1﹣i



【考点】虚数单位 i 及其性质. 【分析】先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分子和分 母再进行复数的除法运算,整理成最简形式. 【解答】解:∵ ∴ =1﹣i, = = =1﹣i,

故答案为:1﹣i

11. a1=1, an=an﹣1+ (n≥2) 已知数列{an}中, , 则数列{an}的前 9 项和等于 【考点】数列递推式. 【分析】通过 an=an﹣1+ (n≥2)可得公差,进而由求和公式即得结论. 【解答】解:∵an=an﹣1+ (n≥2) , ∴an﹣an﹣1= (n≥2) , ∴数列{an}的公差 d= ,
-9-

27 .

又 a1=1, ∴an=1+ (n﹣1)= ∴S9=9a1+ 故答案为:27. , ?d=9+36× =27,

12.函数 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线方程为 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由 y=x+1nx,知 线方程. 【解答】解:∵y=x+1nx, ∴ ,

2x﹣y﹣1=0



,由此能求出函数 y=x+1nx 在点(1,1)处的切

∴k=y′|x=1=1+1=2, ∴函数 y=x+1nx 在点(1,1)处的切线方程为 y﹣1=2(x﹣1) , 整理,得 2x﹣y﹣1=0. 故答案为:2x﹣y﹣1=0.

13.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=3,b=2,cos(A+B) = ,则边 c= 【考点】正弦定理. 【分析】由已知利用三角形内角和定理,诱导公式可求 cosC,进而利用余弦定理 即可计算得解. 【解答】解:∵cos(A+B)=cos(π﹣C)= ,可得:cosC=﹣ , 又∵a=3,b=2, ∴由余弦定理可得:c= 故答案为: . = = . .

- 10 -

14.设函数 f(x)= ①若 a=1,则 f(x)的最小值为 ﹣1 ;



②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是 【考点】函数的零点;分段函数的应用.

≤a<1 或 a≥2 .

【分析】①分别求出分段的函数的最小值,即可得到函数的最小值; ②分别设 h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a) ,分两种情况讨论,即可求出 a 的范围. 【解答】解:①当 a=1 时,f(x)= 当 x<1 时,f(x)=2x﹣1 为增函数,f(x)>﹣1, 当 x>1 时,f(x)=4(x﹣1) (x﹣2)=4(x2﹣3x+2)=4(x﹣ )2﹣1, 当 1<x< 时,函数单调递减,当 x> 时,函数单调递增, 故当 x= 时,f(x)min=f( )=﹣1, ②设 h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a) 若在 x<1 时,h(x)=与 x 轴有一个交点, 所以 a>0,并且当 x=1 时,h(1)=2﹣a>0,所以 0<a<2, 而函数 g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a)有一个交点,所以 2a≥1,且 a<1, 所以 ≤a<1, 若函数 h(x)=2x﹣a 在 x<1 时,与 x 轴没有交点, 则函数 g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a)有两个交点, 当 a≤0 时,h(x)与 x 轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去) , 当 h(1)=2﹣a≤0 时,即 a≥2 时,g(x)的两个交点满足 x1=a,x2=2a,都是满 足题意的, 综上所述 a 的取值范围是 ≤a<1,或 a≥2. ,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,验算步骤或证明过

- 11 -

程. 15.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin2B= (1)求 B; (2)已知 cosA= ,求 sinC 的值. 【考点】解三角形. 【分析】 (1)利用正弦定理将边化角即可得出 cosB; (2)求出 sinA,利用两角和的正弦函数公式计算. 【解答】解: (1)∵asin2B= ∴2sinAsinBcosB= ∴cosB= ,∴B= sinBsinA, . , = . bsinA, bsinA.

(2)∵cosA= ,∴sinA=

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

16.某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情 况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ × √ × √ √ √ √ × ×

217 × 200 300 85 √ √ √

× × × √ × ×

98 ×

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率; (3) 如果顾客购买了甲, 则该顾客同时购买乙、 丙、 丁中哪种商品的可能性最大? 【考点】相互独立事件的概率乘法公式. 【分析】 (1)从统计表可得,在这 1000 名顾客中,同时购买乙和丙的有 200 人, 从而求得顾客同时购买乙和丙的概率.
- 12 -

(2)根据在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 300 人,求得顾客顾客在甲、 乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率. (3)在这 1000 名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、 同时购买甲和丁的概率,从而得出结论. 【解答】解: (1)从统计表可得,在这 1000 名顾客中,同时购买乙和丙的有 200 人, 故顾客同时购买乙和丙的概率为 =0.2.

(2) 在这 1000 名顾客中, 在甲、 乙、 丙、 丁中同时购买 3 种商品的有 100+200=300 (人) , 故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率为 (3)在这 1000 名顾客中,同时购买甲和乙的概率为 同时购买甲和丙的概率为 同时购买甲和丁的概率为 =0.1, =0.6, =0.2, =0.3.

故同时购买甲和丙的概率最大.

17.已知:函数 f(x)=2 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期;

x+sin2x.

(Ⅱ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅲ)把函数 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求 的值.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用;正弦函 数的图象. 【分析】 (Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解+析式为 f(x) = (Ⅱ)由 间. ,进而利用周期公式即可计算得解. (k∈Z) ,即可解得 f(x)的单调递增区

- 13 -

(Ⅲ)利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换的规律可求 用特殊角的三角函数值即可计算得解. 【解答】 (本题满分为 13 分) 解: = (Ⅰ) (Ⅱ)由 ∈Z) , f x) 则( 的单调递增区间是 (k∈Z) ; ; (k∈Z) ,得 = = ,…

,进而利

… (k



(Ⅲ)函数 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 得到函数 的图象, 个单位得到函数 的图象,即

再把得到的图象向左平移 , 则 .



18.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex(a>0)的导函数 y=f′(x)的两个零点为﹣3 和 0. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为﹣1,求 f(x)的极大值. 【考点】利用导数研究函数的极值;导数的运算;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)f'(x)=[ax2+(2a+b)x+b+c]ex.令 g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c,简 化运算; (Ⅱ)由 f(x)的极小值为﹣1 确定参数值,通过导数求极大值. 【解答】解: (Ⅰ)f'(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=[ax2+(2a+b)x+b+c]ex. 令 g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c, ∵ex>0, ∴y=f'(x)的零点就是 g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c 的零点,且 f'(x)与 g(x)符
- 14 -

号相同. 又∵a>0, ∴当 x<﹣3,或 x>0 时,g(x)>0,即 f'(x)>0, 当﹣3<x<0 时,g(x)<0,即 f'(x)<0, ∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣3) , (0,+∞) ,单调减区间是(﹣3,0) . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,x=0 是 f(x)的极小值点, 所以有

解得 a=1,b=1,c=﹣1. 所以函数的解+析式为 f(x)=(x2+x﹣1)ex. 又由(Ⅰ)知,f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣3) , (0,+∞) ,单调减区间是(﹣ 3,0) . 所以,函数 f(x)的极大值为 .

19.已知:f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[﹣1, 1],且 a+b≠0 时,有 >0 恒成立.

(Ⅰ)用定义证明函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数; (Ⅱ)解不等式: <f(1﹣x) ;

(Ⅲ)若 f(x)≤m2﹣2m+1 对所有 x∈[﹣1,1]恒成立,求:实数 m 的取值范围. 【考点】奇偶性与单调性的综合;函数恒成立问题. 【分析】 (Ⅰ)设任意 x1,x2∈[﹣1,1],且 x1<x2,由奇函数的性质化简 f(x2) ﹣f(x1) ,由 性的定义证明结论成立; (Ⅱ)根据函数的单调性和定义域列出不等式,求出不等式的解集; (Ⅲ)由函数的单调性求出 f(x)的最大值,由恒成立列出不等式,求出实数 m 的取值范围. 【解答】证明: (Ⅰ)设任意 x1,x2∈[﹣1,1],且 x1<x2,
- 15 -



,判断出符号后,由函数单调

∵f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数, ∴f(x2)﹣f(x1)=f(x2)+f(﹣x1) ∵x1<x2,∴x2+(﹣x1)≠0, 由题意知, ,则 ,

∵x2+(﹣x1)=x2﹣x1>0, ∴f(x2)+f(﹣x1)>0,即 f(x2)>f(x1) , ∴函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数.… 解: (Ⅱ)由(Ⅰ)和不等式 得,

,解得



∴不等式的解集是[0, )… (Ⅲ)由(Ⅰ)得,f(x)最大值为 f(1)=1, 所以要使 f(x)≤m2﹣2m+1 对所有 x∈[﹣1,1], 只需 1≤m2﹣2m+1 恒成立,解得 m≤0 或 m≥2, 得实数 m 的取值范围为 m≤0 或 m≥2.…

20.对于无穷数列{an}与{bn},记 A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=bn,n∈N*},若同 时满足条件:①{an},{bn}均单调递增;②A∩B=?且 A∪B=N*,则称{an}与{bn}是 无穷互补数列. (1)若 an=2n﹣1,bn=4n﹣2,判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列,并说明理由; (2)若 an=2n 且{an}与{bn}是无穷互补数列,求数量{bn}的前 16 项的和; (3)若{an}与{bn}是无穷互补数列,{an}为等差数列且 a16=36,求{an}与{bn}的通 项公式. 【考点】数列的应用;数列的求和. 【分析】 (1){an}与{bn}不是无穷互补数列.由 4?A,4?B,4?A∪B=N*,即可判断; (2)由 an=2n,可得 a4=16,a5=32,再由新定义可得 b16=16+4=20,运用等差数列

- 16 -

的求和公式,计算即可得到所求和; (3)运用等差数列的通项公式,结合首项大于等于 1,可得 d=1 或 2,讨论 d=1, 2 求得通项公式,结合新定义,即可得到所求数列的通项公式. 【解答】解: (1){an}与{bn}不是无穷互补数列. 理由:由 an=2n﹣1,bn=4n﹣2,可得 4?A,4?B, 即有 4?A∪B=N*,即有{an}与{bn}不是无穷互补数列; (2)由 an=2n,可得 a4=16,a5=32, 由{an}与{bn}是无穷互补数列,可得 b16=16+4=20, 即有数列{bn}的前 16 项的和为 (1+2+3+…+20)﹣(2+4+8+16)= ×20﹣30=180;

(3)设{an}为公差为 d(d 为正整数)的等差数列且 a16=36,则 a1+15d=36, 由 a1=36﹣15d≥1,可得 d=1 或 2, 若 d=1,则 a1=21,an=n+20,bn=n(1≤n≤20) , 与{an}与{bn}是无穷互补数列矛盾,舍去; 若 d=2,则 a1=6,an=2n+4,bn= .

综上可得,an=2n+4,bn=



2017 年 2 月 13 日

- 17 -


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北京四中 2018 届高三第二次模拟考试卷 文科数学 注意 事项: 1 .答 题前 ,先将 自己 的姓 名、 准考 证号 填 写在试 题卷 和答 题卡 上 ,并将 准...

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