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甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-1同步练习 2.2.2第2课时(新人教A版选修2-1)

时间:2015-07-05


第2章

2.2.2

第 2 课时

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.点 A(a,1)在椭圆 + =1 的内部,则 a 的取值范围是( 4 2 A.- 2<a< 2 C.-2<a<2 B.a<- 2或 a> 2 D.-1<a<1
2 2

x2 y2

)

a 1 解析: 由点 A 在椭圆内部得 + <1 4 2
∴- 2<a< 2.故选 A. 答案: A 2.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 9 4 A.相切 C.相离 B.相交 D.不确定

x2 y2

)

解析: 直线 y=kx-k+1 恒过定点(1,1). 1 1 x y 又∵ + <1,∴点(1,1)在椭圆 + =1 内部. 9 4 9 4 ∴直线 y=kx-k+1 与椭圆相交.故选 B. 答案: B 3.已知以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点, 则椭圆的长轴长为( A.3 2 C.2 7 解析: 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). ) B.2 6 D.4 2
2 2 2 2

x a

2

y b

2

?b x +a y -a b =0, 由? ?x+ 3y+4=0,
得(a +3b )y +8 3b y+16b -a b =0, 由题意得 Δ =(8 3b ) -4(a +3b )(16b -a b )=0 且 a -b =4,可得 a =7,∴2a=2 7. 答案: C
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

4.过椭圆 + =1 的右焦点且倾斜角为 45°的弦 AB 的长为( 25 9 A.5 C. 90 17 B.6 D.7

x2

y2

)

解析: 椭圆的右焦点为(4,0),直线的斜率为 k=1, ∴直线 AB 的方程为 y=x-4,

y=x-4 ? ? 2 2 由? x y + =1 ? ?25 9

得 9x +25(x-4) =225,

2

2

90 由弦长公式易求|AB|= . 17 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原 5 4 点,则△OAB 的面积为________. 解析: 椭圆的右焦点为 F(1,0), ∴lAB:y=2x-2.

x2 y2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

y=2x-2, ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?5 4
5 ∴x=0 或 x= , 3

得 3x -5x=0,

2

?5 4? ∴A(0,-2),B? , ?, ?3 3?
1 1 ? 4? 5 ∴S△AOB= |OF|(|yB|+|yA|)= ?1??2+ ?= . 2 2 ? 3? 3 答案: 5 3
2

π x 2 6.若倾斜角为 的直线交椭圆 +y =1 于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的轨迹方程是 4 4

________________. 解析: 设中点坐标为(x,y),直线方程为 y=x+b,代入椭圆方程得 5x +8bx+4(b - 1)=0,
2 2

x +x 4 ? ?x= 2 =-5b, 则? b ? ?y=5,
1 2

得 x+4y=0.

由 Δ >0 得- 5<b< 5, 4 4 故- 5<x< 5. 5 5 4 ? ? 4 答案: x+4y=0?- 5<x< 5? 5 5 ? ? 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 (1)求该椭圆的标准方程; → → (2)若 P 是该椭圆上的一个动点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,求PF1?PF2的最大值与 最小值. 解析: (1) +y =1. 4 (2)设 P(x,y),由(1)知 F1(- 3,0),F2( 3,0), → → 2 2 则PF1?PF2=(- 3-x,-y)?( 3-x,-y)=x +y -3 3 2 =x +(1- )-3= x -2, 4 4
2

x2 y2 a b

3 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 2. 2

x2

2

x2

∵x∈[-2,2], → → ∴当 x=0 时,即点 P 为椭圆短轴端点时,PF1?PF2有最小值-2; → → 当 x=±2,即点 P 为椭圆长轴端点时,PF1?PF2有最大值 1.

x2 y2 8.设 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交 a b
于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距; → → (2)如果AF2=2F2B,求椭圆 C 的方程. 解析: (1)设椭圆 C 的焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c=2 3,故 c=2. 所以椭圆 C 的焦距为 4.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知 y1<0,y2>0, 直线 l 的方程为 y= 3(x-2).

? ?y= 3 x- 联立?x2 y2 2+ 2= 1 ? ?a b
2

,得(3a +b )y +4 3b y-3b =0.

2

2

2

2

4

- 3b +2a - 3b -2a 解得 y1= ,y2= . 2 2 2 2 3a +b 3a +b → → 因为AF2=2F2B,所以-y1=2y2. 即 3b +2a - 3b -2a =2? ,得 a=3. 2 2 2 2 3a +b 3a +b
2 2 2 2

2

而 a -b =4,所以 b= 5. 故椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5

x2 y2

尖子生题库 ☆☆☆ 9.(10 分)如图,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

3 ,x 轴 2

被曲线 C2:y=x -b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长. (1)求 C1,C2 的方程. (2)设 C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分 别与 C1 相交于点 D,E. 证明:MD⊥ME. 解析: 由题意知 e= =

2

c a

3 ,从而 a=2b. 2

又 2 b=a,所以 a=2,b=1. 故 C1,C2 的方程分别为 +y =1,y=x -1. 4 (2)证明:由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y=kx.

x2

2

2

由?

?y=kx, ? ?y=x -1, ?
2

得 x -kx-1=0.

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根,于是 x1+x2=k,x1x2=-1. 又点 M 的坐标为(0,-1), 所以 kMA?kMB=

y1+1 y2+1 kx1+ kx2+ ? = x1 x2 x1x2

k2x1x2+k x1+x2 +1 -k2+k2+1 = = =-1. x1x2 -1
故 MA⊥MB,即 MD⊥ME.


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