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19.2、双曲线的定义及其标准方程

时间:2014-03-18


19.2、双曲线的标准方程

复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题:

Y

M ? x, y ?

F1 ?? c , 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=常数 ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=常数

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 常数 (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线在生活中

☆.☆

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考: (1)2a< |F1F2| ; (2)2a >0 ;
F1 o F2 M

(1)若2a= |F1F2|,则轨迹是?(1)两条射线

(2)若2a> |F1F2|,则轨迹是? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是? (3)线段F1F2的垂直平分线

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y
M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F1

O

F2

x

|MF1| - |MF2|=±2a


4.化简

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? ?2 a
2 2 2 2

? ( x ? c)

2

?y

2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a ? ? a ( x ? c) ? y
2 2

2

( c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2
x a2
2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0)

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? ? 1 2 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上

2

2

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

例 1 已 知 两 定 点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1 F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 ( ?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 ? ?1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练 1:已知两定点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1 F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 ( ?5,0), F2 (5,0)
x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2

x y 例2:如果方程 ? ? 1 表示双曲 2? m m ?1 线,求m的取值范围.

2

2

解: 由(2 ? m )(m ? 1) ? 0 得m ? ?2或m ? ?1 ∴ m 的取值范围为 ( ??, ?2) ? ( ?1, ?? )
思考:
方程 x ? y ? 1 可以表示哪些曲线? 2? m m ?1 _____________.
2 2

例3、求下列双曲线的焦点坐标:

y x (1) ? ? 1; 9 4

2

2

y (2) x ? ? 1. 5
2

2

例4、已知三角形的顶点坐标B(0,-5)、C(0,5), 且|AB-AC|=6,求动点A的轨迹方程。


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