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2017_2018高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4

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1.6 三角函数模型的简单应用 预习课本 P60~64,思考并完成以下问题 (1)如何利用数据建立拟合三角函数模型? (2)解三角函数应用题的解题步骤是什么? [新知初探] 1.三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型, 可以用来研究很多问题, 在刻 画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用. 2.用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据― →画散点图― →选择函数模型― →求解函数模型― →检验. [小试身手] 1.电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系是 I=2sin 100π t,t∈(0,+∞),则电流 I 变 化的周期是( 1 A. 100 1 C. 50 答案:C 2.某人的血压满足函数式 f(t)=24sin(160π t)+110,其中 f(t)为血压,t 为时间, 则此人每分钟心跳的次数为( A.60 答案:C π? 1 ? 3.电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I=5sin?100π t+ ?,则当 t= 时,电流 3? 200 ? B.70 ) C.80 D.90 ) B.100 D.50 I 为________. 5 答案: 2 1 三角函数在物理中的应用 [典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时, 小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s=4sin?2t+ ?,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图, 3 ? ? π? ? 并回答下列问题: (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少? (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次? [解] 列表如下, t π 2t+ 3 π? ? sin?2t+ ? 3? ? - π 6 π 12 π 2 1 4 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -4 5π 6 2π 0 0 0 0 0 s 描点、连线,图象如图所示. π? π ? (1)将 t=0 代入 s=4sin?2t+ ?,得 s=4sin =2 3, 3? 3 ? 所以小球开始振动时的位移是 2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和-4 cm. (3)因为振动的周期是 π ,所以小球往复振动一次所用的时间是 π s. 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意 义并与对应的三角函数知识结合解题. [活学活用] π? ? 交流电的电压 E(单位: V)与时间 t(单位: s)的关系可用 E=220 3sin?100π t+ ?来 6? ? 2 表示,求: (1)开始时电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 解:(1)当 t=0 时,E=110 3(V), 即开始时的电压为 110 3 V. 2π 1 (2)T= = (s),即时间间隔为 0.02 s. 100π 50 (3)电压的最大值为 220 3 V, π π 1 当 100π t+ = ,即 t= s 时第一次取得最大值. 6 2 300 三角函数在实际生活中的应用 [典例] 如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要 12 分钟,其中心 O 距离地 面 40.5 米,半径 40 米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的 距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答 下列问题: (1)求出你与地面的距离 y 与时间 t 的函数关系式; (2)当你第四次距离地面 60.5 米时,用了多少时间? (3)当你登上摩天轮 2 分钟后,你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮,问你的朋友登 上摩天轮多少时间后,你和你的朋友与地面的距离之差最大,并求出最大值. [解] (1)由已知可设 y=40.5-40cos ω t(t≥0),由已知周期为 12 分钟,可知 ω = 2π π ,即 ω = . 12 6 所以 y=40.5-40cos π t(t≥0). 6 π π 1 t=60.5,得 cos t=- , 6 6 2 (2)令 y=40.5-40cos π 2 π 4 所以 t= π 或 t= π ,解得 t=4 或 t=8,故第四次距离地面 60.5 米时,用时为 6 3 6 3 12+8=20(分钟). (3)与地面的距离之差最大,此时你必须在你的朋友的正上方,或你的朋友在你的正上 方,由周期性知,再过 2 分钟后,你恰在你的朋友的正上方,再过半个周期时,恰相反,故 过(6k+2)(k∈Z)分钟后距离之差最大,最大值为 40 米. 3 解三角函数应用问题的基本步骤 [活学活用] 已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位小时)的函数,记作:y =f(t),下表是某日各时的浪高数据: t(时) y(米) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1 18 0.5 21 0.99 24 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ω t+b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acos ω t+b 的最小正周期 T、振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一 天内的上午 8:00 时至晚上 20:00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 解:(1)由表中数据,知周期 T=12. 2π 2π π ∴ω = = = . T 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5, 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0, 1 ∴A=0.5,b=1,∴振幅为 , 2 1 π ∴y= cos t+1. 2 6 (2)由题

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