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福建省漳州市第一中学2013届高三上学期期末考试数学文试题_Word版含答案[1]

时间:2013-06-05

漳州一中 2012~2013 学年上学期期末考试 高三年数学科(文科)试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设 i 为虚数单位,则 A. ?2 ? i

(1 ? i)(1 ? 2i) ?( 1? i B. ?2 ? i

) C. 2 ? i D. 2 ? i

2.定义集合 A*B={x|x ? A,且 x ? B},若 A={1,3,5,7} ,B={2,3,5} ,则 A*B 的 子集个数为( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 4 )

?x ? y ? 2 ? 0 ? 3.实数 x, y满足条件? x ? y ? 4 ? 0 ,则z ? x ? 2 y ? 4 的最大值为( ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 4.已知向量 a , b 满足| a |=2,| b |=3,|2 a + b |= 37 ,则 a 与 b 的夹角为( A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5.下列函数中,在区间(0, A. y ? sin
x 2



? )上为增函数且以 ? 为周期的函数是( 2



B. y ? sin x

C. y ? ? tan x

D. y ? ? cos 2 x

6.已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列命题: ① m∥ 若 β,n∥ β,m、n ? α,则 α∥ β; 甲 乙 ② α⊥ 若 γ,β⊥ γ,α∩ β=m,n ? γ,则 m⊥ n; ③ m⊥ 若 α,α⊥ β,m∥ n,则 n∥ β; ④ n∥ 若 α,n∥ β,α∩ β=m,那么 m∥ n; 其中真命题的个数是( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4 5 3 3 6 8 4 7 9 1 1 2 3 4 4 5 2 6 3 7 8 5 7

7.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比

(第 7 题图) ) ) )

赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( A. 62 B. 63 C. 64
x 3

D. 65

8. 用二分法求函数 f ( x) ? 2 ? x 的零点, 以下四个区间中, 可以作为起始区间的是 ( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2 2 9.直线 x-y+m=0 与圆 x +y -2x-1=0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是( A. 0<m<1 B. m<1 C. -3<m<1 D. -4<m<2 10.已知双曲线 范围是( A. ( 5,+ ∞) ) B. [ 5,+∞) C. (1, 5)∪( 5,+∞) D. (1, 5)
x2 a2 ? y2 b2

? 1 (a>0,b>0)与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值

11.若函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? ax ? 1) 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是(
3



A. a<-2 或 a>2

B. a≤-2 或 a≥2

C. -2<a<2

D. -2≤a≤2
a ?b 是( 4? | x ? 4 |

12.若向量 a =(1,1-x) b =(1,1+x),则函数 f ( x) ? , A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数



D. 减函数

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.若等差数列{ a n }的前 n 项和为 Sn ,且 S6=65,a7+a8+a9+a10+a11+a12=-15,则 a13+a14+a15+a16+a17+a18 =_________. 14.如果执行下面的程序框图,那么输出的 S 的值是_________. 开始 k=1 S=0 否

1

3
k≤100? 是 S=S+2k-1 k=k+1 (第 14 题图) 正视图

2
侧视图

1
输出S

1
结束

3
俯视图 (第 15 题图) cm2.

15.如图是一个几何体的三视图(单位:cm) .这个几何体的表面积为

16.有 n 粒球(n≥2,n∈N*) ,任意将它们分成两堆,求出两堆球数的乘积,再将其中一 堆任意分成两堆,求出这两堆球数的乘积,如此下去,每次任意将其中一堆分成两堆,求出 这两堆球数的乘积,直到不能分为止,记所有乘积之和为 S n .例如,对于 4 粒球有如下两 种分解: (4)?(1,3)?(1,1,2)?(1,1,1,1) ,此时 S4=1×3+1×2+1×1=6; (4) ?(2,2)?(1,1,2)?(1,1,1,1) ,此时 S4=2×2+1×1+1×1=6,于是发现 S4 为定值 6.请 你研究 Sn 的规律,猜想 Sn=_______.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤)
17. (本小题满分 12 分)已知 cos ? x ?
? ?

??

2 ? ? ?? ? , x ?? , ?? ?. 4 ? 10 ?2 4 ?

(Ⅰ)求 sinx 的值;

(Ⅱ)求 sin ? 2 x ?
?

?

??

? 的值. 3?

18. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长都等于 1 的三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,D、E 分别为 AA1 、 B1C 的中点. (Ⅰ)求证:DE//平面 ABC; (Ⅱ)求三棱锥 B1-BDE 的体积. B1 A1 C1 D

E B C

A

19. (本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2, a7,a22成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?
? 1 ?Sn ? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ?

20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)一个骰子投掷 2 次,得到的点数分别为 a,b,求直线 y=a-b 与函数 y ? sin x 图象 所有交点中相邻两个交点的距离都相等的概率. (Ⅱ )若 a 是从区间[0,6]上任取一个数,b 是从区间[0,6]上任取一个数,求直线 y=a-b 在函数 y ? sin x 图象上方的概率.

21. (本小题满分 12 分) 已知直线 l:y=kx+2(k 为常数)过椭圆 C:
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a ? b ? 0) 的上顶点 B 和左焦点 F,直

线 l 被圆 O:x2+y2=4 截得的弦 AB 的中点为 M. (Ⅰ)若|AB|=
4 5 ,求实数 k 的值; 5

(Ⅱ)顶点为 O,对称轴为 y 轴的抛物线 E 过线段 BF 的中点 T 且与椭圆 C 在第一象限的交 点为 S,抛物线 E 在点 S 处的切线 m 被圆 O 截得的弦 PQ 的中点为 N,问:是否存在实数 k, 使得 O、M、N 三点共线?若存在,请求出 k 的值;若不存在,请说明理由. y B T x F A O l S

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? y=-1,其中实数 a,b 是常数. (Ⅰ)求实数 a,b 的值;

a ln x ? bx 的图象在点 P(1,f(1))处的切线方程是 x

(Ⅱ)若 x=1 是函数 g ( x) ? 1 ? c ln x ? x 2 的唯一零点,求实数 c 的取值范围; (Ⅲ)若对任意的正实数 x,以及任意大于 m 的实数 t,都有 实数 m 的最小值.
ln(x ? t ) ln t 恒成立,求 ?x? x?t t

漳州一中 2012~2013 学年第一学期期末考试 高三年数学科(文科) 参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 C 5 D 6 B 7 C 8 B 9 A 10 A
n2 ? n 2

11 B

12 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.-95 14.10000 15. 8 ? 6 2 16.

解析:经计算 S 2 ? 1 ? 于是猜想 S n ?

2 ?1 3? 2 4?3 5? 4 , S3 ? 3 ? , S4 ? 6 ? , S 5 ? 10 ? , 2 2 2 2

n(n ? 1) n 2 ? n ? 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤)
17.解: (Ⅰ)∵ x ? ? ? , 3? ? ,∴ x ? ? ? ? ? , ? ? ,???????????? 1 分 ? ?
? ?2 ? 4 ?

4

?4 2?

∵ cos? x ?
?

?

??

2 ?? 4 ? 10

∴ sin? x ? ? ? ? 1 ? cos2 ? x ? ? ? ? 7 2 ????????? 3 分 ? ? ? ?
? 4? ? 4? 10

? ? ? ? ? ? ∴ sin x ? sin[(x ? ) ? ] ? sin(x ? ) cos ? cos(x ? ) sin 4 4 4 4 4 4
? 7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? ??????????????????? 6 分 10 2 10 2 5
3? ? ,故 ? cos x ? ? ?2 4 ? ,

(Ⅱ)因为 x ? ? ? ?

3 ?4? ? ? 1 ? sin 2 x ? ? 1 ? ? ? ? ? ??????? 7 分 5 ?5?

2

sin 2 x ? 2 sin x cos x ? ?
? 3?

24 7 ?????????? 9 分 , cos 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? ? 25 25
3 3 50

所以 sin? 2 x ? ? ? ? sin 2 x cos ? ? cos 2 x sin ? ? ? 24 ? 7 3 ??????????? 12 分 ? ? 18. (Ⅰ)证明:取 BC 中点 G ,连结 AG, EG , B1 A1 C1 D

? G, E 分别为 CB,CB1 的中点,
1 BB1,?????????????2 分 2 ? 三棱柱 ABC? A1 B1C1 ,AA1 BB1,D 为 AA1 中点

∴EG//

E B G C

1 BB1∴EG AD ? 四边形 ADEG 为平行四 2 ∴AG//DE ????????? 4 分 又? AG ? 平面ABC, DE ? 平面ABC

∴AD

A

边形

∴DE//平面 ABC;????????????????????????? 6 分 (Ⅱ)解:∵BB1⊥平面 ABC,AG ? 平面 ABC ∴AG⊥BB1, ∵AB=BC,G 为 BC 中点,∴AG⊥BC ∴AG⊥平面 B1BE 3 又 DE AG,∴DE⊥平面 B1BE 且 DE=AG= 2

1 1 1 1 1 1 S ?B1BC ? ? ( BC ? BB1 ) ? ? ( ?1?1) ? 2 2 2 2 2 4 1 1 1 3 3 ? ∴三棱锥 B1-BDE 的体积 V B1 ? BDE ? V D ? B1BE ? S ?B1BE ? DE ? ? ? ? 12 分 3 3 4 2 24

∵E 为 B1C 中点 ∴ S ?BB1E ?

?S 5 ? 70 ?5a1 ? 10d ? 70 ? ? 19. (Ⅰ)解:依题意,有 ? 2 ,即 ? ? 2分 ?(a1 ? 6d ) 2 ? (a1 ? d )(a1 ? 21d ) ?a 7 ? a 2 a 22 ? ?

解得 a1=6,d=4.?????????????????????????? 4 分 ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 2 ( n ? N ) .??????????? 5 分
*

(Ⅱ)证明:由(1)可得 Sn ? 2n2 ? 4n .??????????????? 6 分 ∴

1 1 1 1?1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? .???????????? 7 分 S n 2n ? 4n 2n ? n ? 2 ? 4 ? n n ? 2 ?
1 1 1 1 1 ? ? ??? ? S1 S 2 S 3 S n ?1 S n

∴ Tn ?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1?1 1 ? ???? 8 分 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 4? 3? 4? 2 4? 4? 3 5? 4 ? n ?1 n ? 1 ? 4 ? n n ? 2 ?

1? 1 1 1 ? 3 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ??????????? 9 分 4 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 8 4 ? n ?1 n ? 2 ? 3 3 1? 1 1 ? ∵ Tn ? ? ? ? ? ? ? 0 ,∴ Tn ? 8 .???????????? 10 分 8 4 ? n ?1 n ? 2 ? 1 1? 1 1 ? ∵ Tn ?1 ? Tn ? ? ? ? ? 0 ,所以数列 ?Tn ? 是递增数列.∴ Tn ? T1 ? 6 . 4 ? n ?1 n ? 3 ? 1 3 ∴ ? Tn ? .?????????????????????????? 12 分 6 8
20.解: (Ⅰ)基本事件共 36 个: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) , , , , , , (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) , , , , , , (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) , , , , , , (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) , , , , , , (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) , , , , , , (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) ????????? 3 分 , , , , , . 其中括号内第 1 个数表示 a 的取值,第 2 个数表示 b 的取值. 记“直线 y=a-b 与函数 y ? sin x 图象所有交点中相邻两个交点的距离都相等”为事件 A,则 A={(a,b)| a-b=1 或 a-b=0 或 a-b=-1,1≤a≤6,1≤b≤6,a,b∈N}

∴事件 A 包含 16 个基本事件: (2,1)(3,2)(4,3)(5,4)(6,5)(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5) , , , , , , , , , , (6,6)(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6) ???????? 5 分 , , , , , . 16 4 ∴所求事件的概率为 P( A) ? ? . ????????????????? 6 分 36 9 (Ⅱ)记“直线 y=a-b 在函数 y ? sin x 图象上 方” b 为事件 B,试验全部结果构成的区域为 6 a-b=1 ? ? {( a, b) | 0 ? a ? 6,0 ? b ? 6} ??????? 7 分 5 事件 B 的区域为 {( a, b) | 0 ? a ? 6,0 ? b ? 6, a ? b ? 1} , 如图 阴影部分所示: ?????????? 10 分 1 -1 a

O

6

1 ? 5? 5 25 ? ∴所求事件的概率为 P( B) ? 2 .? 12 分 6?6 72

21.解: (Ⅰ)圆 O 的圆心为 O(0,0) ,半径为 r=2 ∵OM⊥AB,|AB|= ∴ | OM |? ∴
2 k 2 ?1
r2 ?(

y B

l S P

4 5 5

| AB | 2 4 5 ) ? 2 5

??????? 2 分 A

M F

T x O N

?

4 5 1 ,∴ k 2 ? 5 4

又 k ? k FB ? 0 (Ⅱ)∵F( ? ∴T ( ?

∴k ?

1 ??????? 4 分 2

Q m

2 ,0),B(0,2),T 为 BF 中点 k

1 1 ,1) . 设抛物线 E 的方程为 y=tx2(t>0),∵抛物线 E 过 T ∴ 1 ? t ? 2 ∴ t ? k 2 k k

∴抛物线 E 的方程为 y ? k 2 x 2 , ????????????????????? 6 分 ∴ y ' ? 2k 2 x ,设 S(x0,y0),则 k m ? y ' x ? x ? 2k 2 x0 ,????????????? 7 分
0

假设 O、M、N 三点共线,则∵OM⊥l,ON⊥m,∴l//m ,?????????? 8 分 又 kl ? k ? 0 ∴ kl ? k m ∵S 在椭圆 C 上,∴
1
2 x0

∴ k ? 2k 2 x 0
?
2 y0

∴ x0 ?

1 1 1 2 , y 0 ? k 2 x0 ? k 2 ? 2 ? ?? 2k 4 4k
4 2 , a2 ? b2 ? c2 ? 4 ? 2 , k k

9分

a

2

b

2

? 1 结合 b ? 2 , c ?

1 4k 2 ? 16 ? 1 ,∴ k 2 ? ? 59 ∴k 无实数解,矛盾,∴假设不成立 得 4 4 63 4? 2 k

故不存在实数 k,使得 O、M、N 三点共线.???????????????? 12 分 a(1 ? ln x) 22. (Ⅰ)f ' ( x) ? 解: f(1))处的切线方程是 y=-1 ? b ∵函数 f (x) 的图象在点 P(1, x2 ∴?
? f (1) ? ?1 ?b ? ?1 ?a ? 1 ,即 ? ∴? ????????????????? 3 分 ?b ? ?1 ? f ' (1) ? 0 ?a ? b ? 0

(Ⅱ) g (x) 定义域为(0,+∞), g ' ( x) ? ? ①若 c≥0,则 g ' ( x) ? ?

c 2x 2 ? c ? 2x ? ? ?????????? 4 分 x x

2x 2 ? c ? 0( x ? 0) ∴ g (x) 在(0,+∞)上是减函数 x 又 g (1) ? 0 ∴x=1 是函数 g (x) 的唯一零点,符合条件.????????????? 5 分

②若 c<0,则由 g ' ( x) ? ? 列表 x
g ' ( x)
g (x)

c 2x 2 ? c ? 0( x ? 0) 得 x ? ? 2 x c ) 2 ? c 2

(0, ? +

( ?

c ,+∞) 2

0

-

??????? 6 分 (i)若 ?
c c ? 1 ,即-2<c<0,则 g ( ? ) ? g (1) ? 0 ,又 lim g ( x) ? ?? 2 2 x ?0? c )内有 1 个零点,从而 g (x) 有两个零点,不合条件.???? 7 分 2

∴ g (x) 在(0, ? (ii)若 ?

c c ? 1 ,即 c=-2,则 g ( x) ? g ( ? ) ? g (1) ? 0 (当且仅当 x=1 时取“=”, ) 2 2 ∴x=1 是函数 g (x) 的唯一零点,符合条件. ???????????????? 8 分

(iii)若 ?

c c ? 1 ,即 c<-2,则 g ( ? ) ? g (1) ? 0 ,又 lim g ( x) ? ?? x??? 2 2 c ,+∞)内有 1 个零点,从而 g (x) 有两个零点,不合条件. 2

∴ g (x) 在( ?

综上,c 的取值范围是 c≥0 或 c=-2. ?????????????????? 9 分
ln x ? x ,取 c=1,则 g ( x) ? 1 ? ln x ? x 2 x 由(Ⅱ)可知, g (x) 有唯一零点 x=1,且当 x>1 时 g(x)<0,当 0<x<1 时 g(x)>0

(Ⅲ)由(Ⅰ) f ( x) ?

∴由 f ' ( x) ?

1 ? ln x ? x 2 x
2

?

g ( x) x2

? 0 ,得 x>1,∴ f (x) 的减区间为(1,+∞)??? 10 分

∴对任意的正实数 x,以及任意大于 m 的实数 t, 都有
ln(x ? t ) ln(x ? t ) ln t ln t ,即 ?x? ? (x ? t) ? ? t , f ( x ? t ) ? f (t ) 恒成立 x?t t x?t t f (x) 在(m,+∞)上是减函数 ? (m,+∞) ? (1,+∞) ? m≥1 ??????? 13 分

?

∴实数 m 的最小值是 1. ???????????????????????? 14 分


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