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2014年常州高三数学期末统考试题(word版含答案)

时间:2014-01-21


常州市教育学会学生学业水平监测
高三数学Ⅰ试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页, 包含填空题 (第 1 题——第 14 题) 、 解答题 (第 15 题——第 20 题) . 本 卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,… , xn 的方差 s 2 ?
1 n 1 n ( xi ? x)2 ,其中 x = ? xi . ? n i ?1 n i ?1

2014 年 1 月

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........
,x ? R? , B ? ? x 0 ≤ x ≤ 2? ,则 A ? B = 1. 设集合 A ? ? x x 2 ? 1

▲ ▲

. . ▲ .

2. 若

1 ? mi ,则 mn 的值为 ? 1 ? ni ( m,n ? R ,i 为虚数单位) i

3. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则 a 的值为 a2 4

4. 某学校选修羽毛球课程的学生中,高一,高二年级分别有 80 名,50 名.现用分层抽 样的方法在这 130 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级学生中抽取了 24 名,则 在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ .

5. 某市连续 5 天测得空气中 PM2.5(直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物)的数据(单位:
mg / m3 )分别为 115,125,132,128,125,则该组数据的方差为





6. 函数 y ? 2sin 2 x ? 3cos2 x ? 4 的最小正周期为





7. 已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料.从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶,则所取 2 瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ .

高三数学Ⅰ 第 1 页(共 15 页)

? x ? y ≥3, ? 8. 已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ≤ 3, 则 z ? 5 ? x2 ? y 2 的最大值为 ? x ≤ 3, ?





9. 若曲线 C1 : y ? 3x4 ? ax3 ? 6 x2 与曲线 C2 : y ? e x 在 x ? 1 处的切线互相垂直,则实数 a 的值为 ▲ .

10.给出下列命题: (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号为 ▲ .

3 ? p p? 11.已知 q ? ? ? , ? ,等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a4 ? tan 3 3q ,若数列 ?an ? 的前 2014 9 ? 6 6?

项的和为 0,则 q 的值为





?? 1 ? x x ? 0, ?? ? , 12.已知函数 f(x)= ?? 若 f ( f (?2)) ? f (k ) ,则实数 k 的取值范围为 2? ? 2 ?( x ? 1) , x ≥ 0,

▲ .

13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 tan A ? 7tan B ,

a 2 ? b2 ? 3 ,则 c

c?





14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 16 ,点 P(1,2) ,M,N 为圆 O 上不同 ??? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? ???? 的两点,且满足 PM ? PN ? 0 .若 PQ ? PM ? PN ,则 PQ 的最小值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
?? ? 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 设向量 m ? (a, c) ,n ? (cos C ,cos A) .

?? ? (1)若 m ∥ n , c ? 3a ,求角 A; ?? ? 4 (2)若 m ? n ? 3b sin B , cos A ? ,求 cos C 的值. 5 高三数学Ⅰ 第 2 页(共 15 页)

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,AB⊥ BC,E,F 分别是 A1 B , AC1 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)求证:平面 AEF ⊥平面 AA1 B1 B ; ( 3 )若 A1 A ? 2 AB ? 2 BC ? 2 a ,求三棱锥

A?1

A E F B

B?1

F ? ABC
的体积. 17. (本小题满分 14 分)

C?1

C
(第 16 题)

设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? a5 , S5 ? 25 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 若 p ,q 为互不相等的正整数, 且等差数列 {bn } 满足 ba p ? p ,baq ? q , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: 为
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 右 准 线 2 a b
2 2

y
l

B M
O

P

Q



线

l







线

y ? kx ? m (k ? 0,m ? 0) 交椭圆于

A

x

A,B 两点,线段 AB 的中点为 M, 射线 OM 分别交椭圆及直线 l 于 P, Q 两点,如图.若 A,B 两点分别 是椭圆 E 的右顶点,上顶点时,点
1 ,且 OQ ? 5OM . Q 的纵坐标为 (其中 e 为椭圆的离心率) e

(第 18 题)

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)如果 OP 是 OM,OQ 的等比中项,那么 不是,请说明理由. 高三数学Ⅰ 第 3 页(共 15 页)
m 是否为常数?若是,求出该常数;若 k

19. (本小题满分 16 分) 几名大学毕业生合作开设 3D 打印店,生产并销售某种 3D 产品.已知该店每月生产 的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为 34 元,该店的月总成本由两部分组 成:第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其它固定支出 20000 元.假设该 产品的月销售量 t ( x) (件)与销售价格 x (元/件) ( x ? N )之间满足如下关系:①
?

? ? a( x ? 5 )? 当 34 ≤ x ≤ 60 时 , t ( x)
2

1 ; 0 0② 5当 0 6 0 ≤x≤ 7 时 0 ,

t ( x) ? ? 1 0 x0 ?

.设该店月利润为 ,月利润=月销售总额-月总成本. 7 6 0 0 M (元)

(1)求 M 关于销售价格 x 的函数关系式; (2)求该打印店月利润 M 的最大值及此时产品的销售价格.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ?

a , a?R . x

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? 1 ?

a ,若实数 b 满足: b ? a 且 x ?1

? b ? ? a?b? g? ? ? g (a) , g (b) ? 2 g ? ? ,求证: 4 ? b ? 5 . ? b ?1 ? ? 2 ?

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高三数学Ⅰ 第 4 页(共 15 页)

数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项
1.

2014 年 1 月

2. 3. 4. 5.

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 A、B、C、D 4 个小 题供选做,每位考生在 4 个选做题中选答 2 题.若考生选做了 3 题或 4 题,则按选 做题中的前 2 题计分.第 22、23 题为必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试时间 30 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔.

21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在 ...... 答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ....... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,等腰梯形 ABCD 内接于⊙ O , AB ∥ CD. 过点 A 作⊙ O 的切线交 CD 的延长线于点 E. 求证:∠DAE=∠BAC.

B

A

O C

D
(第 21-A 题)

E

B.选修 4—2:矩阵与变换
?0 1 ? 已知直线 l : ax ? y ? 0 在矩阵 A ? ? ? 对应的变换作用下得到直线 l ? ,若直线 l ? 过点 ?1 2 ?

(1,1) ,求实数 a 的值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 高三数学Ⅰ 第 5 页(共 15 页)

p p 在极坐标系中,已知点 P(2 3, ) ,直线 l : r cos(q ? ) ? 2 2 ,求点 P 到直线 l 的距离. 6 4

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 x ≥1 , y ≥ 1 ,求证: x2 y ? xy 2 ? 1 ≤ x 2 y 2 ? x ? y .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解 ....... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图, 三棱锥 P-ABC 中, 已知平面 PAB⊥平面 ABC, AC⊥BC,AC=BC=2a,点 O,D 分别是 AB,PB 的中 点,PO⊥AB,连结 CD. (1)若 PA ? 2 a ,求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦 值的大小; (2)若二面角 A-PB-C 的余弦值的大小为 PA.
5 ,求 5

P D
O

A

B

C
(第 22 题)

23. (本小题满分 10 分) 设集合 A,B 是非空集合 M 的两个不同子集,满足:A 不是 B 的子集,且 B 也不是 A 的子集. (1)若 M= {a1 , a2 , a3 , a4 } ,直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数; (2)若 M= {a1 , a2 , a3 , ???, an } ,求所有不同的有序集合对(A,B)的个数.

高三数学Ⅰ 第 6 页(共 15 页)

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高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1. ? 0,1? 8.
1 2 158 也对) 5 7 10

2. ?1 9.
1 3e

3. 1

4. 15
p 9

5.31.6(写成

6. p

7.

10. (1 ) (2) 11. ?

12. (log 1 9, 4)
2

13.4

14. 3 3 ? 5

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ?? ? 15.解: (1)∵ m ∥ n ,∴ a cos A ? c cos C .由正弦定理,得 sin A cos A ? sin C cos C . 化简,得 sin 2 A ? sin 2C . ………………………………………………2 分

∵ A, C ? (0, p ) ,∴ 2 A ? 2C 或 2 A ? 2C ? p , 从而 A ? C (舍)或 A ? C ? 在 Rt△ABC 中, tan A ?
p p .∴ B ? . 2 2

………………………………4 分 …………………………………6 分

a 3 p ,A? . ? c 3 6

?? ? (2)∵ m ? n ? 3b cos B ,∴ a cos C ? c cos A ? 3b sin B .

由正弦定理,得 sin A cos C ? sin C cos A ? 3sin 2 B ,从而 sin( A ? C ) ? 3sin 2 B .
1 ∵ A ? B ? C ? p ,∴ sin( A ? C) ? sin B . 从而 sin B ? . 3

……………8 分 ……………………10 分
2 2 . 3

∵ cos A ?

4 p 3 ? 0 , A ? (0, p ) ,∴ A ? (0, ) , sin A ? . 5 2 5

∵ sin A ? sin B ,∴ a ? b ,从而 A ? B ,B 为锐角, cos B ? ∴ cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B
4 2 2 3 1 3?8 2 =? ? . ? ? ? 5 3 5 3 15

………12 分

…………………………………14 分

16.证明: (1)连结 A1C . ∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AAC 1 1C 是矩形, ∴点 F 在 A1C 上,且为 A1C 的中点. 高三数学Ⅰ 第 7 页(共 15 页)

在△ A1 BC 中,∵E,F 分别是 A1 B , A1C 的中点,

∴EF∥BC. ……………2 分 ………………4 分

又∵BC ? 平面 ABC, EF ? 平面 ABC,所以 EF∥平面 ABC. (2)∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, B1 B ? 平面 ABC,∴ B1 B ? BC.

∵EF∥BC,AB⊥BC,∴AB⊥EF, B1 B ? EF. ………………………………6 分 ∵ B1 B ? AB ? B ,∴EF⊥平面 ABB1 A1 . ∵EF ? 平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 ABB1 A1 .
1 1 1 (3) VF ? ABC ? VA1 ? ABC ? ? ? S?ABC ? AA1 2 2 3

………………………………8 分 ………………………………10 分 ………………………………12 分 ………………………………14 分
?a ? 1, 解得 ? 1 ?d ? 2.

1 1 1 a3 = ? ? a 2 ? 2a ? . 2 3 2 6
?3a ? 3d ? a1 ? 4d, 17.解: (1)由已知,得 ? 1 ?5a1 ? 10d ? 25,

…………………4 分

∴ an ? 2n ? 1 .

……………………………………………………………6 分

(2) p , q 为正整数, 由(1)得 a p ? 2 p ? 1 , aq ? 2q ? 1 . …………………8 分 进一步由已知,得 b2 p ?1 ? p , b2 q ?1 ? q . ………………………………………10 分 ∵ {bn } 是等差数列, p ? q ,∴ {bn } 的公差 d ? ? 由 b2b?1 ? b1 ? (2 p ? 2)d ? ? p ,得 b1 ? 1 . ∴ Tn ? nb1 ?
n(n ? 1) n2 ? 3n . d? ? 2 4
q? p 1 ? . ………………12 分 2q ? 2 p 2

…………………………………………14 分

18. 解:当 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点和上顶点时,则
a b A(a,0) , B(0, b) , M ( , ) . 2 2
1 b a2 1 ∵ Q( , ) ,∴由 O,M,Q 三点共线,得 ? e2 ,化简,得 b ? 1 .………2 分 a a c e c

高三数学Ⅰ 第 8 页(共 15 页)

a2 ∵ OQ ? 5OM ,∴ c ? 5 ,化简,得 2a ? 5c . a 2

? a 2 ? b 2 ? c 2, ? 由 ?b ? 1, ? ? 2a ? 5c,

?a 2 ? 5, ? 解得 ? 2 ? ?c ? 4.

…………………………………………4 分

(1)椭圆 E 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 . 5

…………………………………………6 分

(2)把 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) ,代入
(5k 2 ? 1) x 2 ? 10mkx ? 5m2 ? 5 ? 0 .

x2 ? y 2 ? 1 ,得 5

……………………………………………8 分
5mk m , yM ? 2 , 2 5k ? 1 5k ? 1

当△ ? 0 , 5k 2 ? m2 ? 1 ? 0 时, xM ? ? 从而点 M (?
5mk m , 2 ). 2 5k ? 1 5k ? 1 1 x. 5k

……………………………………………10 分

所以直线 OM 的方程 y ? ?
1 ? y ? ? x, ? ? 5k 由? 2 x ? ? y 2 ? 1, ? ?5

得 xP 2 ?

25k 2 . 5k 2 ? 1

……………………………………………12 分

∵OP 是 OM,OQ 的等比中项,∴ OP 2 ? OM ? OQ , 从而 xP 2 ? xM xQ ? ? 由 ∴
25mk . 2(5k 2 ? 1)

……………………………………………14 分

25k 2 25mk m ?? ,得 m ? ?2k ,从而 ? ?2 ,满足△ ? 0 . ……………15 分 5k 2 ? 1 2(5k 2 ? 1) k

m 为常数 ?2 . k

………………………………………………………………16 分

19.解: (1)当 x ? 60 时, t (60) ? 1600 ,代入 t ( x) ? ?a( x ? 5)2 ? 10050 , 解得 a ? 2 . ………………………………………………………………2 分

?(?2 x 2 ? 20 x ? 10000)( x ? 34) ? 20000,34 ≤ x ? 60, x ? Ν? , ? ∴ M ( x) ? ? ? ? ?(?100 x ? 7600)( x ? 34) ? 20000,60 ≤ x ≤ 70, x ? Ν .

高三数学Ⅰ 第 9 页(共 15 页)

3 2 ? ? ??2 x ? 48 x ? 10680 x ? 360000,34 ≤ x ? 60, x ? Ν , 即 M ( x) ? ? 2 ? ? ??100 x ? 1100 x ? 278400,60 ≤ x ≤ 70, x ? Ν .

……………4 分

(注:写到上一步,不扣分. ) (2)设 g (u) ? (?2u 2 ? 20u ? 10000)( u ? 34) ? 20000 , 34 ≤ u ? 60 , u ? R ,则
g ?(u) ? ?6(u 2 ? 16u ? 1780) .

令 g ?(u) ? 0 ,解得 u1 ? 8 ? 2 461 (舍去) , u2 ? 8 ? 2 461 ? (50,51) .……………7 分 当 34 ? u ? 50 时, g ?(u) ? 0 , g (u ) 单调递增; 当 51 ? u ? 60 时, g ?(u) ? 0 , g (u ) 单调递减. … ………………………………10 分

∵ x ? Ν? , M (50) ? 44000 , M (51) ? 44226 ,∴ M ( x) 的最大值为 44226 .………12 分 当 60 ≤ x ≤ 70 时, M ( x) ? 100(? x2 ? 110 x ? 2584) ? 20000 单调递减, 故此时 M ( x) 的最大值为 M (60) ? 216000 . 分 综上所述,当 x ? 51 时,月利润 M ( x) 有最大值 44226 元. ……………………15 分 … ……………………………… 14

答:该打印店店月利润最大为 44226 元,此时产品的销售价格为 51 元/件. ……16 分 20.解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? x , f ?( x) ? 列表: x
f ?( x) f ( x) (0,1)

1 ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . x

………1 分

1
0 极大值

(1, ??)
?

+ ↗



所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ?1 . (2) f ?( x) ?
1 a ? x2 ? x ? a . ?1? 2 ? x x x2

…………………………………………3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x2 ? x ? a ? 0 ,记 ? ? 1 ? 4a . 高三数学Ⅰ 第 10 页(共 15 页)

1 (ⅰ)当 a ≤ ? 时, f ?( x) ≤ 0 ,所以 f ( x) 单调减区间为 (0, ??) ; …………5 分 4
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 (ⅱ)当 a ? ? 时,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? , , x2 ? 2 2 4 1 ①若 ? ? a ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 , 4

由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? x2 , x ? x1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 x2 ? x ? x1 .
1 ? 1? 4a 1 ? 1 ? 4a 所以, f ( x) 的单调减区间为 (0, ), ( , ??) ,单调增区间为 2 2 1 ? 1? 4a 1? 1? 4 a ( , ); 2 2

…………………………………………………………7 分

②若 a ? 0 ,由(1)知 f ( x) 单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 (1, ??) ; ③若 a ? 0 ,则 x1 ? 0 ? x2 , 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? x1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? x1 .
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a f ( x) 的单调减区间为 ( , ??) ,单调增区间为 (0, ) . ……9 分 2 2 1 综上所述:当 a ≤ ? 时, f ( x) 的单调减区间为 (0, ??) ; 4 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 当 ? ? a ? 0 时,f ( x) 的单调减区间为 (0, ) ,( , ??) , 2 2 4 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 单调增区间为 ( , ); 2 2 1 ? 1 ? 4a 当 a ≥ 0 时 , f ( x) 单 调 减 区 间 为 ( , ??) , 单 调 增 区 间 为 2 (0, 1 ? 1 ? 4a ). 2

………………………………………………………10 分

(3) g ( x) ? ln( x ? 1) ( x ? 1 ) . 由 g(
1 b ? ln(a ? 1) . ) ? g (a) 得 ln b ?1 b ?1

∵1 ? a ? b ,

∴ b ? 1 ? a ? 1 (舍),或 (a ? 1)(b ?1) ? 1 . …………………………………12 分

∵ 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? (b ? 1)2 ,∴ b ? 2 . 由 g (b) ? 2 g (
a?b ) 得, 2

高三数学Ⅰ 第 11 页(共 15 页)

ln(b ? 1) ? 2 ln(

a?b 1 ? 1) ? 2 ln [(a ? 1) ? (b ? 1)] , ? ? ? (*) 2 2

因为

a ?1 ? b ?1 ≥ (a ? 1)(b ? 1)=1 , 2

1 所以(*)式可化为 ln(b ? 1) ? 2ln [(a ? 1) ? (b ? 1)] , 2 1 1 即 b ?1 ? [ ( ? b ?1 ) ]2 . 2 b ?1

………………………………………………14 分

1 1 令 b ? 1 ? t (t ? 1) ,则 t ? [ (t ? )]2 ,整理,得 t 4 ? 4t 3 ? 2t 2 ? 1 ? 0 , 2 t

从而 (t ? 1)(t 3 ? 3t 2 ? t ? 1) ? 0 ,即 t 3 ? 3t 2 ? t ? 1 ? 0 . 记 h(t ) ? t 3 ? 3t 2 ? t ? 1, t ? 1 . h?(t ) ? 3t 2 ? 6t ? 1 , 令 h?(t ) ? 0得 t ? 1 ?
t ?1? 2 3 ,列表: 3 2 3 (舍) , 3

t
h?(t ) h(t )

(1,1 ?

2 3 ) 3

(1 ?

2 3 , ??) 3

?

+ ↗



所以, h(t ) 在 (1,1 ?

2 3 2 3 ) 单调减,在 (1 ? , ??) 单调增,又因为 h(3) ? 0, h(4) ? 0 , 3 3

所以 3 ? t ? 4 ,从而 4 ? b ? 5 .

………………………………………………16 分

高三数学Ⅰ 第 12 页(共 15 页)

常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅱ(附加题) 参考答案
21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:∵ABCD 是等腰梯形,AB∥CD, ∴∠ACD=∠BAC.

? . AD ? BC ∴AD=BC. 从而 ?

……………………………………………………4 分 …………………………………8 分

∵AE 为圆的切线,∴∠EAD=∠ACD. ∴∠DAE=∠BAC. B.选修 4—2:矩阵与变换

……………………………………………………10 分

解:设 P( x, y) 为直线 l 上任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为直线 l ? 上点 P?( x?, y?) ,则
? x? ? ? 0 1 ? ? x ? ? y ? ? ? ?1 2 ? ? y ? , ?? ? ? ? ? ? x ? ?2 x? ? y ?, 化简,得 ? ? y ? x?.

……………………………………………4 分 ……………………………8 分 ……………………………10 分

代入 ax ? y ? 0 ,整理,得 ?(2a ? 1) x? ? ay? ? 0 . 将点(1,1)代入上述方程,解得 a=-1. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:点 P 的直角坐标为 (3, 3) ,

…………………………………………………4 分 ………………………………………8 分
? 2? 6 . 2

直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,
3? 3 ?4 2

从而点 P 到直线 l 的距离为 D.选修 4—5:不等式选讲

…………………………10 分

证明:左边-右边= ( y ? y 2 ) x2 ? ( y 2 ? 1) x ? y ? 1 ? (1 ? y)[ yx 2 ? (1 ? y) x ? 1] ………4 分 = (1 ? y)( xy ? 1)( x ? 1) , ………………………………………………………6 分 高三数学Ⅰ 第 13 页(共 15 页)

∵ x ≥1 , y ≥ 1 , ∴ 1 ? y ≤ 0, xy ? 1≥ 0, x ? 1≥ 0 . 从而左边-右边≤0, ∴ x2 y ? xy 2 ? 1 ≤ x 2 y 2 ? x ? y . ………………………………………………10 分 ………………………………………………8 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解:连结 OC. ∵平面 PAB⊥平面 ABC,PO⊥AB,∴PO⊥平面 ABC.从而 PO⊥AB,PO⊥OC. ∵ AC=BC ,点 O 是 AB 的中点,∴ OC⊥AB .且
OA ? OB ? OC ? 2 a. ……………2 分
P D A O B y C x z

如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz . (1) PA ? 2a , PO ? 2a .
A(0, ? 2a,0) , B(0, 2a, 0) , C ( 2a, 0, 0) ,

P(0, 0, 2a) , D(0,

2a 2a , ) . …………4 分 2 2

??? ? ??? ? 2 2 ? 2a, ? 2a) , CD ? (? 2a, a, 从而 PA ? (0, a) . 2 2
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? CD ?2a 2 3 ?? ∵ cos ? PA, CD ?? ??? , ? ??? ? ? 3 PA CD 2a ? 3a

∴异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦值的大小为

3 . ……………………………6 分 3

(2)设 PO ? h ,则 P(0,0, h) .∵ PO⊥OC,OC⊥AB,∴OC⊥平面 PAB.
???? 从而 OC ? ( 2a,0,0) 是平面 PAB 的一个法向量. ? 不妨设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

高三数学Ⅰ 第 14 页(共 15 页)

? ??? ? ??? ? ??? ? ? n ? PB ? 0, ? ∵ PB ? (0,2a, ?h) , BC ? ( 2a, ? 2a,0) , ? ? ??? ? ? ? n ? BC ? 0.

? 2ay ? hz , ? ∴? ? ? x ? y.

不妨令 x=1,则 y=1, z ?
???? ? 5 OC ? n ? ???? ? ? 由已知,得 5 OC n

? 2a 2a ,则 n ? (1,1, ). h h
2a 2a 2 ? 2a h2
2

………………………8 分

,化简,得 h2 ?

2 2 a . 3

∴ PA ? PO2 ? OA2 ? 23.解: (1)110;

2 2 2 6 a ? 2a 2 ? a. 3 3

…………………………………10 分

………………………………………………………………3 分
n n

(2)集合 M 有 2 n 个子集,不同的有序集合对(A,B)有 2 (2 ? 1) 个.
* 若A? ? B ,并设 B 中含有 k (1 ≤ k ≤ n, k ? N ) 个元素,则满足 A ? ? B 的有序

集合对 (A,B) 有

? Cnk (2k ? 1) ? ? Cnk 2k ? ? Cnk ? 3n ? 2n 个 . …………………6 分
k ?1 k ?0 k ?0

n

n

n

n n 同理,满足 B ? ? A 的有序集合对(A,B)有 3 ? 2 个.

…………………8 分 (A,B) 的 个 数 为























2n (2n ? 1) ? 2(3n ? 2n ) ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n .

……………………………10 分

高三数学Ⅰ 第 15 页(共 15 页)


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