nbhkdz.com冰点文库

高三数学一轮复习: 第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

时间:

第十章 计数原理、概率、随机变量及

其分布

[深研高考·备考导航] 为教师授课、学生学习提供丰富备考资源

[五年考情]

考点

2016 年

2015 年

2014 年

2013 年

2012 年

计数原理、 全国卷Ⅱ·T5, 排列组合 全国卷Ⅲ·T12

全国卷·T2

二项式定 理

全国卷Ⅰ·T14

全国卷Ⅰ·T10 全国卷Ⅱ·T15

全国卷 Ⅱ·T13

全国卷Ⅰ·T9 全国卷Ⅱ·T5

随机事件

全国卷

的概率、古 全国卷Ⅰ·T4

Ⅰ·T5

全国卷

典概型与 全国卷Ⅱ·T10

全国卷

Ⅱ·T14

几何概型

Ⅱ·T5

条件概率、

二项分布、

全国卷

离散型随 全国卷Ⅰ·T19 全国卷Ⅰ·T4

Ⅰ·T19

全国

机变量的 全国卷Ⅱ·T18 全国卷Ⅱ·T18

全国卷

卷·T18

分布列、均

Ⅱ·T19

值与方差

[重点关注]

综合近 5 年全国卷高考试题,我们发现高考命题在本章呈现以下规律:

1.从考查题型看:一般有 1~2 个客观题,1 个解答题;从考查分值看,占

10~22 分,基础题主要考查对基础知识和基本方法的应用意识,中档题主要考

查转化与化归思想及运算求解能力.

2.从考查知识点看:主要考查计数原理、排列与组合、二项式定理、随机

事件的概率、古典概型与几何概型、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变

量的均值与方差.

3.从命题思路上看:

1

(1)计数原理、排列组合与古典概型相结合考查. (2)几何概型与线性规划、定积分等知识相结合考查. (3)随机事件的概率、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值 与方差和统计知识交汇考查. (4)相互独立事件、二项分布、超几何分布、正态分布、实际问题等其他知 识交汇考查. [导学心语] 1.全面系统复习,深刻理解知识本质 (1)重视计数原理、二项式定理的理解,深刻把握排列组合、随机事件、古 典概型、几何概型、离散型随机变量及其分布列、条件概率、二项分布、离散型 随机变量的均值与方差、正态分布等概念,研究事件的概率,注意该事件的特征, 用适当的概率模型求解. (2)注意各类概率公式和概率模型的理解和应用,掌握其适用条件和用法. 2.抓住重点、针对训练 通过对近 5 年全国卷高考试题分析,可以预测,在 2017 年,本章问题考查 的重点是: (1)计数原理、二项式定理、古典概型、几何概型. (2)离散型随机变量及其分布列、期望与方差.做针对性训练,通过小题强 化概率各种题型的计算,通过解答题训练巩固离散型随机变量及分布列问题. 3.重视转化与化归思想的应用 研究计数原理、概率、随机变量及其分布列问题,转化与化归思想贯穿始终, 首先需要将实际问题转化为相应的计数问题、排列组合问题、概率计算问题、离 散型随机变量的分布列与均值、方差等的计算问题,其次将概率的计算转化为计 数问题、长度或面积的计算问题,将求分布列问题转化为概率的计算问题,将复 杂事件的概率计算转化为简单事件的概率计算.
2

第一节 分类加法计数原理与分步乘法 计数原理
[考纲传真] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分 “类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.

1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种 不同的方法,那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法.

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( )

(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( )

(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同

的.( )

(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步

骤都能完成这件事.( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.(教材改编)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为

偶数的不同取法的种数有( )

A.30

B.20

C.10

D.6

D [从 0,1,2,3,4,5 六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类:①取出的两

3

数都是偶数,共有 3 种方法;②取出的两数都是奇数,共有 3 种方法,故由分类

加法计数原理得共有 N=3+3=6 种.]

3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+bi,其

中虚数有( )

A.30 个

B.42 个

C.36 个

D.35 个

C [∵a+bi 为虚数,∴b≠0,即 b 有 6 种取法,a 有 6 种取法,

由分步乘法计数原理知可以组成 6×6=36 个虚数.]

4.(2016·全国卷Ⅱ)如图 10-1-1,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红

会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以

选择的最短路径条数为( )

图 10-1-1

A.24

B.18

C.12

D.9

B [分两步,第一步,从 E→F,有 6 条可以选择的最短路径;第二步,从

F→G,有 3 条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有 6×3=18 条可

以选择的最短路程.]

5.现有 4 种不同的颜色要对如图 10-1-2 所示的四个部分进行着色,要求有公

共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有________种.

图 10-1-2 48 [按 A→B→C→D 顺序分四步涂色,共 4×3×2×2=48 种不同的着色方 法.]

4

分类加法计数原理

(1)三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,

经过 4 次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( )

A.4 种

B.6 种

C.10 种

D.16 种

(2)(2017·青岛二中月考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b

=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )

【导学号:01772376】

A.14

B.13

C.12

D.10

(1)B (2)B [(1)分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件有 3 种方法(如图),

甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲

同理,甲先传给丙时,满足条件有 3 种方法.

由分类加法计数原理,共有 3+3=6 种传递方法.

(2)①当 a=0 时,有 x=-b2,b=-1,0,1,2,有 4 种可能;

②当 a≠0 时,则 Δ=4-4ab≥0,ab≤1,

(ⅰ)当 a=-1 时,b=-1,0,1,2,有 4 种可能;

(ⅱ)当 a=1 时,b=-1,0,1,有 3 种可能;

(ⅲ)当 a=2 时,b=-1,0,有 2 种可能.

∴有序数对(a,b)共有 4+4+3+2=13 个.]

[规律方法] 1.第(2)题常见的错误:

(1)想当然认为 a≠0;

(2)误认为 a≠b.

2.分类标准是运用分类计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关

键元素、关键位置.

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别

5

属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复.

[变式训练 1] 从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个

数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )

A.3

B.4

C.6

D.8

D [以 1 为首项的等比数列为 1,2,4;1,3,9.以 2 为首项的等比数列为 2,4,8.

以 4 为首项的等比数列为 4,6,9.

把这 4 个数列的顺序颠倒,又得到另外的 4 个数列,

∴所求的数列共有 2(2+1+1)=8 个.]

分步乘法计数原理

(1)(2017·山东威海模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织 6

个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆,每个年级任选一个博物

馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( )

A.C26·45 种

B.A26·54 种

C.C62·A54种

D.C26·54 种

(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一

项,则共有________种不同的报名方法. (1)D (2)120 [(1)有两个年级选择甲博物馆共有 C26种情况,其余四个年级
每个年级各有 5 种选择情况, 故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有 C26×54 种. (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目

有 6 种选法,第二个项目有 5 种选法,第三个项目只有 4 种选法,由分步乘法计

数原理,得共有报名方法 6×5×4=120 种.]

[规律方法] 1.利用分步乘法计数原理应注意:(1)要按事件发生的过程合理

分步,即分步是有先后顺序的.(2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各

步骤都完成才算完成这件事.

2.在第(1)题中,除仅有两个年级选择甲博物馆外,其余 4 个年级易错误认 为有 45 种选择方法.导致错选 A 项.

[变式训练 2] (1)设集合 A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义 A*B={(x,y)|x

∈A∩B,y∈A∪B},则 A*B 中元素的个数为________.

6

(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学 生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数为________.(用 数字作答)
(1)10 (2)8 [(1)易知 A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}, ∴x 有 2 种取法,y 有 5 种取法, 由分步乘法计数原理,A*B 的元素有 2×5=10 个. (2)第 1 步把甲、乙分到不同班级有 A22=2 种分法. 第 2 步分丙、丁:①丙、丁分到同一班级有 2 种分法,②丙、丁分到两个不 同的班级有 A22=2 种分法. 由计数原理,不同的分法为 2×(2+2)=8 种.]
两个计数原理的综合应用 (1)(2017·杭州调研)已知集合 M={1,2,3,4},集合 A,B 为集合 M 的 非空子集,若对?x∈A,y∈B,x<y 恒成立,则称(A,B)为集合 M 的一个“子集 对”,则集合 M 的“子集对”共有________个.
【导学号:01772377】 (2)如图 10-1-3,矩形的对角线把矩形分成 A,B,C,D 四部分,现用 5 种 不同颜色给四部分涂色,每部分涂 1 种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共 有________种不同的涂色方法.
图 10-1-3 (1)17 (2)260 [(1)当 A={1}时,B 有 23-1 种情况;当 A={2}时,B 有 22 -1 种情况;当 A={3}时,B 有 1 种情况;当 A={1,2}时,B 有 22-1 种情况; 当 A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B 均有 1 种情况, 所以满足题意的“子集对”共有 7+3+1+3+3=17(个). (2)区域 A 有 5 种涂色方法;区域 B 有 4 种涂色方法;区域 C 的涂色方法可 分 2 类:若 C 与 A 涂同色,区域 D 有 4 种涂色方法;若 C 与 A 涂不同色,此时 区域 C 有 3 种涂色方法,区域 D 也有 3 种涂色方法, 所以共有 5×4×4+5×4×3×3=260 种涂色方法.] [规律方法] 1.(1)注意在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分
7

步.在分步时可能又用到分类加法计数原理. (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地画出示意图或列
出表格,使问题形象化、直观化. 2.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成,第
(2)题中,由于共边的区域不同色,从而是按区域 A 与区域 C 是否同色分类处理 的.
[变式训练 3] (2017·厦门市联考)用 a 代表红球,b 代表蓝球.由加法原理 及乘法原理,从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+ b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取,“a”表示取出一 个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开 式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球中取出若干个球,且所有 的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5) B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5) C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5) D.(1+a5)(1+b5) A [分两步:第一步,5 个无区别的红球可能取出 0 个,1 个,…,5 个, 则有 1+a+a2+a3+a4+a5 种不同的取法. 第二步,5 个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有 1+b5 种不同取法. 由分步乘法计数原理,共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)种取法.]
[思想与方法] 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事的不同方法 的种数.区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中 的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互 依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成. 2.涉及加法与乘法原理的混合问题一般是先分类再分步. 3.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规 律.
8

[易错与防范] 1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行. 2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步 的程序,即合理分类,准确分步. 3.确定题目中是否有特殊条件限制.
9


...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

高三数学一轮复习: 第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 - 第十章 计数原理、概率、随机变量及 其分布 [深研高考备考导航] 为教师授课、学生...

...第10章第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

2019届高三理科数学一轮复习教师用书:第10章第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 - 第 10 章 第一节 [ 考纲传真 ] 计数原理、概率、随机变量及其分布 ...

...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理_图文.ppt

2014一轮复习 第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理_数学_高

...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理_图文.ppt

2019版高考数学人教A版一轮复习课件第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 - 高三一轮总复习 第十章抓基础计数原理、概率随机变量及其分布 自 主...

...:第10章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理_....ppt

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理_数学_高中教育_教育专区。 第一节 分类加法计数原理与分步 ...

...第10章第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课....ppt

高考数学一轮复习第10章第1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件理 - [考纲解读] 1.理解两个计数原理(分类 加法计数原理和分步乘法计数原 理).(重点) 2....

...第10章-第1节分类加法计数原理和分步乘法计数原理_....ppt

高考新课标数学大一轮复习讲义课件第10章-第1节分类加法计数原理和分步乘法计数原理 - 必考部分 第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布 第一节 分类加法计数...

...第10章第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理讲....doc

高考数学一轮复习第10章第1分类加法计数原理与分步乘法计数原理讲义理含解析 - 第 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [考纲解读] 1.理解两个计数原理(...

...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

2019高考北师版(理)数学一轮复习讲义: 第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 - 第章 计数原理、概率、随机变量及其 分布 第一节 分类加法计数原理...

...第十章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理练....doc

[精品]2019届高考数学一轮复习第十章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习理新人教A版 - 第十章 第 1 节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 精品试卷...

...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理_....ppt

高三数学一轮复习 第10第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理 - 第十篇 计数原理、概率、随机变 量及其分布(必修3、选修2-3) 第1节 分类加法...

...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时作业....doc

(新课标)2019高考数学大一轮复习 第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时作业 理_高考_高中教育_教育专区。(新课标)2019 高考数学大一轮复习 第 ...

...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时训练....doc

最新(新课标)高三数学一轮复习 第10第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时训练 理 - 第十篇 计数原理、概率、随机 变量及其分布(必修 3、选修 2-...

...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

2019年【创新方案】高考数学(理)一轮复习配套文档:第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 - 高考数学精品复习资料 2019.5 第一节 【考纲下载】 ...

...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第10第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 - 第十篇 计数原理、概率、随机 变量及其分布(必修 3、选修 2...

...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理_图文.ppt

(精品)2015一轮复习课件 第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 - 考纲要求 考情分析 1.理解分类加法计数 1.从考查内容看,对本节的考查主要侧 ...

...分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

18届高三数学一轮复习第十章计数原理与概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理_数学_高中教育_教育专区。。 内部文件,版权追溯 内部文件,...

...第9章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理教师....doc

2019高考数学一轮复习第9章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理教师用书_...( ) A.30 B.20 C.10 D.6 D [从 0,1,2,3,4,5 六个数字中,任取...

...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理训练 理 ....doc

2019届高考数学一轮复习 第十第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理训练 理 新人教版_六年级语文_语文_小学教育_教育专区。2019 ...

...第十篇第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理含....doc

2019届高考理科数学(人教版)一轮复习练习:第十第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理含解析 - 凡读书...须要读得字字响 亮,不 可误一 字,不 可...