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高三数学二轮复习 导数及其应用 课件(全国通用)

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第 16 讲 导数及其应用 【命题趋势】 高考对本节内容的考查仍将突出导数的工具性,主 要涉及导数及其运算,灵活运用导数公式及运算法则进 行求导,理解导数的几何意义,会求切线方程,题型选择、 填空、解答均可出现,一般属于容易题目.重点考查利用 导数研究函数极值、最值及单调性问题和生活中的优 化问题,这也是高考的必考点 ,其中蕴含对转化与化归 , 分类讨论和数形结合等数学思想方法的考查,综合性强, 有一定难度,一般以大题的形式出现. 【备考建议】 新课标命题的高考中,导数属于高考重点考查的内 容,在复习中应予以关注这些问题: (1)确定或应用过某点的切线的斜率(方程); (2) 利用函数的单调性与导数的关系 , 讨论含有参 数的较复杂基本函数的单调性 (区间),根据函数的单调 性,利用导数求某些参数的取值范围; (3) 利用函数的极值与导数的关系 , 求某些含有参 数的较复杂基本函数的极值大小、个数或最值,根据函 数极值的存在情况 , 利用导数求某些参数的取值范围 . 要掌握解决这些问题的基本数学方法与数学思想 ,不断 培养提高数形结合、转化与化归、分类讨论、函数与 方程的数学思想. 导数及其几何意义 1 1 例 1(1)直线 y= x+b 与曲线 y=- x+ln x 相切, 2 2 则 b 的值为( ) A.-2 B.-1 1 C.- D.1 2 探究一 【解析】选 B ? 1 ? 设切点的坐标为 a,-2a+ln ? ? a? , 依题意 , 对于曲 ? 线 1 1 1 1 1 1 y=- x+ln x,有 y′=- + ,∴- + = , 2 2 x 2 a 2 ? 1? 1 ? ? ∴a=1,又切点 1,-2 在直线 y= x+b 上, 2 ? ? 1 1 ∴- = +b,∴b=-1. 2 2 (2)已知函数 y=x2 的图象在点(x0,x2 0)处的切线为 l, 若 l 也与函数 y=ln x,x∈(0,1)的图象相切,则 x0 必满足 ( ) 1 1 A.0<x0< B. <x0<1 2 2 2 C. <x0< 2 D. 2<x0< 3 2 【解析】选 D 函数 y=x2 的导数为 y′=2x,在点(x0,x2 0)处的切线 的斜率为 k=2x0,切线方程为 y-x2 0=2x0(x-x0),设切 线与 y=ln x 相切的切点为(m,ln m),0<m<1,即有 y 1 1 =ln x 的导数为 y′= ,可得 2x0= ,切线方程为 y-ln x m 1 m= (x-m),令 x=0,可得 y=ln m-1=-x2 0,由 0< m 1 m<1,可得 x0> ,且 x2 0>1,解得 x0>1, 2 1 由 m= ,可得 x2 0-ln (2x0)-1=0, 2x0 令 f(x)=x2-ln(2x)-1,x>1, 1 f′(x)=2x- >0,f(x)在 x>1 递增,且 f( 2)=2- x ln 2 2 - 1 < 0,f( 3) = 3 - ln 2 3 - 1 > 0, 则有 x 2 0- ln(2x0)-1=0 的根 x0∈( 2, 3). 探究二 利用导数研究函数的单调性 例 2(1)已知函数 f(x)=mx3+nx2 的图象在点(-1,2) 处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行,若 f(x)在区间[t,t +1]上单调递减,则实数 t 的取值范围是________. 【解析】[-2,-1] 由题意知,点(-1,2)在函数 f(x)的图象上, 故-m+n=2.① 又 f′

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