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高考一轮复习 数列求和

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第4讲
【2014年高考会这样考】
以数列为载体,考查数列求和的各种方法和技巧

数列求和

公式法与分组求和法

单击标题可完成 对应部分的学习 助学微博 考点自测

抓住4个考点

倒序相加法与并项求和法
裂项相消法 错位相减法

考向一 分组转化求和

【例1】 【训练1】 【例2】 【训练2】 【例3】 【训练3】

突破3个考向

考向二 裂项相消法求和

考向三 错位相减法求和

揭秘3年高考 活页限时训练

求数列{|an|}的前n项和问题

A级 B级

选择题 、 ?1 ? 填空题 ? 2、 解答题 ?3、 ?

、 ?1 选择题 ? 填空题 ? 2、 ?3、 解答题 ?

考点梳理
1.公式法与分组求和法
(1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 n?n-1? n?a1+an? na1+ d. ① 等差数列的前 n 项和公式:Sn= =________________ 2 2 ②等比数列的前 n 项和公式:

? na1 , q ? 1 ? a1 (1 ? q n ) sn ? ? a1 ? an q ,q ? 1 ? 1 ? q ?          1? q ?
(2)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的 数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.

考点梳理
2.倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一 个常数,那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和 公式即是用此法推导的. (2)并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和. 形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如, Sn=1002-992+982-972+?+22-12=(1002-992)+(982-972)+?+(22 -12)=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5 050.

3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得 其和.

4.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, 那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和公式就是用 此法推导的.

助学微博
一种思路 一般数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项, 然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某 种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.
在利用裂项相消法求和时应注意: 两点提醒 (1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差; (2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项, 或有时前面剩下两项,后面也剩下两项.
1 1 1 (1) = - ; n?n+1? n n+1 三个公式 1 1 ? 1 1? ? (2) = ?2n-1-2n+1? ?; ?2n-1??2n+1? 2? ? 1 (3) = n+1- n. n+ n+1

考点自测
1.数列{an}的通项公式是 an=

,前 n 项和为 9,则 n 等于( ). n+ n + 1 A.9 B.99 C.10 D.100 2.(2011· 天津)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( ). A.-110 B.-90 C.90 D.110 3.(2013· 泉州月考)若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前 n 项 + + 和为( ).A.2n+n2-1 B.2n 1+n2-1 C.2n 1+n2-2 D.2n+n-2 ? ? 1 ? ? 4.(2012· 全国)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ? ? n n+1? ? ? 100 99 99 101 的前 100 项和为( ).A. B. C. D. 101 101 100 100 n- 1 2 3 n 5.已知 Sn=1+ + 2+?+ n-2 + n-1,则 Sn=________. 3 3 3 3

1

单击题号显示 结果 答案显示

1

2

3

4

5

B

D

C

A

9 6n+9 1 - · 4 4 3n

考向一 分组转化求和
【例 1】?(2011.山东)等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下 表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个 数不在下表中的同一列. 第一列 第二列 第三列 (1)求数列{an}的通项公式; 第一行 3 2 10 (2)若数列{bn}满足: 第二行 6 4 14 bn=an+(-1)nln an, 求数列{bn} 第三行 9 8 18 的前 n 项和 Sn.

【审题视点 】
(1)观察法;

(1)解 当 a1=3 时,不合题意;
当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意;
当 a1=10 时,不合题意.因此 a1=2,a2=6,a3=18,

所以公比 q=3,故 an=2· 3n 1.


【例 1】?等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、 三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表中 的同一列 .(1) 求数列 {an} 的通项公 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 式; (2)若数列{bn}满足: 4 14 bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的 第二行 6 第三行 9 8 18 前 2n 项和 S2n.

考向一 分组转化求和

【审题视点 】 (2)合理分组利用 求 和 公 式 求 解. 同时注意对 n 的奇偶性的讨论 【方法锦囊 】

某些数列的求和是 将数列分解转化为 若干个可求和的新 n 所以 Sn=2(1+3+? (-1)n(ln 2-ln 3)+ (-1) nln 3, 数列的和或差,从 n-1 n +3 )+[-1+1-1+?+(-1) ](ln 2-ln 3)+ 而求得原数列的 n [-1+2-3+?+(-1) n]ln 3 所以当 n 为偶数时, 和,这就要通过对 数列通项结构特点 1-3n n n n Sn=2× + ln 3=3 + ln 3-1;当 n 为奇数时 进行分析研究,将 2 2 1-3 n ?n-1 ? 1-3 n-1 数列的通项合理分 ? Sn=2× -(ln 2-ln 3)+ ln 3=3n- -n?· ln 3 - ln 2 - 1. 1-3 2 ? 2 ? 解转化,特别注意 ? ? n n ?3 + ln 3-1,n为偶数, 在含有字母的数列 2 ? 综上所述,Sn=? 中对字母的讨论. ? n- 1 n
?3 ? ?

(2)解 因为 bn=an+(-1)nln an =2· 3n-1+(-1)nln(2· 3n-1) - - 3n 1+ =2· 3n 1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3] =2·



2

ln 3-ln 2-1,n为奇数.

考向一 分组转化求和
【训练 1】 求数列 1,1+a,1+a+a2,…, 1+a+a2+…+an-1 的前 n 项和 Sn.
公比是参数时 时刻注意讨论

解 若 a=1,则 an=1+1+?+1=n,
n?n+1? 于是 Sn=1+2+?+n= ; 2
若 a≠1,则 an=1+a+?+an-1 1-an 1 = = (1-an), 1-a 1-a 1-a 1-a2 1-an 于是 Sn= + +?+ 1-a 1-a 1-a 1 = [n-(a+a2+?+an)] 1-a
n ? a ? 1 - a ?? 1 ? ? n- = 1-a ? 1-a? ? ?

【方法锦囊 】
某些数列的求和是 将数列分解转化为 若干个可求和的新 数列的和或差, 从而 求得原数列的和, 这 就要通过对数列通 项结构特点进行分 析研究, 将数列的通 项合理分解转化, 特 别注意在含有字母 的数列中对字母的 讨论.

考向二 裂项相消法求和
【例 2】?在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 ? 1? 2 n 项和 Sn 满足 Sn=an?Sn- ?. (1)求 Sn 的表达式; 2? ? Sn (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1

解(1)

2? ? 1? ? 2 ∴Sn=(Sn-Sn-1)?Sn- ? , 即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn, ① 2? ? ?
?

1? ? 2 ∵Sn=an?Sn- ?, an=Sn-Sn-1(n≥2),

?

?

【审题视点 】 第(1)问利用 an= Sn-Sn-1(n≥2)后, 再同除 Sn-1· Sn 转 ? ? ?1? ?的等差 化为? ?S ? ? n? 数列即可求 Sn.

由题意 Sn-1· Sn≠0,①式两边同除以 Sn-1· Sn,
? 1 1 ?1? ? 1 1 ? ? 得 - =2, ∴数列? ?是首项为 = =1, Sn Sn-1 S1 a1 ?Sn?

1 1 公差为 2 的等差数列.∴ =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn=2n-1. Sn

考向二 裂项相消法求和
【例 2】?在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其 ? 1? 2 前 n 项和 Sn 满足 Sn=an?Sn- ?. 2? ? (1)求 Sn 的表达式; Sn (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1

【审题视点 】
第 (2) 问求出 {bn} 的 通项公式,用裂项 相消法求和

【方法锦囊 】
使用裂项相消法求和 时,要注意正负项相 消时消去了哪些项, 保留了哪些项,切不 可漏写未被消去的 项,未被消去的项有 前后对称的特点,实 质上造成正负相消是 此法的根源与目的.

1 Sn (2) 又 bn=2n+1=?2n-1??2n+1? 1 ? 1? ? 1 ? - = ? , 2?2n-1 2n+1? ?
∴Tn=b1+b2+?+bn
? 1 ? ? ? ? 1 ? 1? 1? ?? ? ?1 1? ? ?? = ??1-3?+?3-5 ?+?+?2n-1-2n+1? ? 2?? ? ? ? ? ??

1 ? 1? n ? ? 1 - = ? = 2n+1? 2? ? 2n+1

考向二 裂项相消法求和
【训练 2】 (2011· 新课标全国)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, 2 a3 =9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; ? ?1? ? ? (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列?b ? 的前 n 项和. ? n? ?

解(1) 设数列{an}的公比为 q.由 a2 3=9a2a6
1 2 2 得 a2 = 9 a 3 4 所以 q = . 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 由 2a1+3a2=1,得 2a1+3a1q=1, 1 所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 解(2) bn=log3a1+log3a2+?+log3an

?1 1 ? 1 2 ? ? 故b =- =-2?n-n+1?. n?n+1? n ? ?

1 1 1 + +?+b b1 b2 n ?? 1? ?1 1? ?? =-2? 1-2?+?2-3?+? ? ? ? ?? ? ?1 1 ? 2n ? ?? +?n-n+1?? =- . n+ 1 ? ??
?1? 所以数列?b ?的前 ? n?

n?n+1? =-(1+2+?+n)=- . 2

2n n 项和为- . n+ 1

第(1)问先根据 n 的二次函 【例 3】?(2012· 江西)已知数列{an}的前 n 项和 1 数求最值条件确定 k 的值, Sn=- n2+kn(其中 k∈N+),且 Sn 的最大值为 8. 2 并利用结论 (1)确定常数 k,并求 an; ? ? ?a1,n=1, ?9-2an? ? ?的前 n 项和 T . an=? (2)求数列? n n ? ? 2 ? ?Sn-Sn-1,n≥2 ? ?

考向三 错位相减法求和

【审题视点 】

1 当 n=k∈N+时,Sn=- n2+kn 取最大值, 2 1 1 2 8=Sk=- k2+k2= k2,故 k =16,因此 k=4, 2 2 7 9 9 从而 an=Sn-Sn-1= -n(n≥2).又 a1=S1=2,所以 an=2-n. 2

解(1)

求出通项即可;

考向三 错位相减法求和
【例 3】?(2012· 江西)已知数列{an}的前 n 项和 1 Sn=- n2+kn(其中 k∈N+),且 Sn 的最大值为 8. 2 (1)确定常数 k,并求 an; ? ?9-2an? ? ? ?的前 n 项和 T . (2)求数列? n n 2 ? ? ?

【审题视点 】
第(2)问把第(1)问的结果代 入后错位相减求和.
(1) 一般地,如果数列 {an} 是等差数列, {bn}是等比数 列,求数列 {an· bn} 的前 n 项和时,可采用错位相减 法求和,一般是和式两边 同乘以等比数列 {bn} 的公 比,然后作差求解. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表 达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准 确 写 出 “Sn - qSn” 的 表 达 式.

【方法锦囊 】

9-2an n (2) 因为 bn= n = n-1, 2 2 Tn=b1+b2+?+bn n- 1 2 3 n =1+ + 2+?+ n-2 + n-1 2 2 2 2 所以 Tn=2Tn-Tn 1 1 n =2+1+ +?+ n-2- n-1 2 2 2 n+ 2 1 n =4- n-2- n-1=4- n-1 . 2 2 2

考向三 错位相减法求和
【训练 3】 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. ? an ? (1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ? ? ?a1+d=0, (1)设等差数列{an}的公差为 d, 由已知条件可得? ? ?2a1+12d=-10, ? ?a1=1, 故数列{an}的通项公式为 an=2-n. 解得? ? ?d=-1. ? an 2-n 1 n ? an ? ? ? ? ∵ n-1= n-1 = n-2- n-1, (2)设数列 2n-1 的前 n 项和为 Sn, 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2 3 n ? 1 1 1 ? ? ∴Sn=2+1+ + 2+?+ n-2-?1+2+22+?+2n-1?. 2 2 2 ? ? 1 1 2 3 n 2 3 n 则 T = + + +?+ 记 Tn=1+ + 2+?+ n-1,① 2 3 n,② n 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1- n ? 2 n 1 1 1 1 n 1 1? n ∴ Tn= - . ①-②得: Tn=1+ + 2+?+ n-1- n, 1- n?- n-1. 2 1 2n 即 Tn=4? 2 2 2 2 2 2? 2 ? 1 - ? ? ? ? 1 2 2?1-? ?n?
∴Sn=
? ? ?2? ? ?

1-

1 2

? 1? n -4?1-2n?+ n-1 ? ? 2

? 1? ? 1? n n ? ? ? ? 1 - 1 - =4 2n?-4? 2n?+2n-1=2n-1. ?

揭秘3年高考
规范解答10——求数列{|an|}的前n项和问题
【命题研究】通过近三年的高考试题分析,对数列 求和的考查是高考命题的重点,常与求数列的通项一起 考查,多以解答题的形式出现,难度为中等偏上.

揭秘3年高考

【教你审题 】

【真题探究】? (2012· 湖北 )已知等差数列 {an}前 第 1 步: 列方程组求 a1, d; 三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; 第 2 步:令 an≤0 确定正、 负项; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. 第 3 步: 分类讨论求和.
【规范解答 】

(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 a2=a1+d,a3=a1+2d, ? ?3a1+3d=-3, 由题意,得? ? ?a1?a1+d??a1+2d?=8. ? ? ?a1=2, ?a1=-4, 解得? 或? (4 分) ? ? d =- 3 d = 3. ? ?
所以由等差数列的通项公式,可得

an=2-3(n-1)=-3n+5

或 an=-4+3(n-1) =3n-7.(6 分) 故 an=-3n+5 或 an=3n-7.

揭秘3年高考

【教你审题 】

【真题探究】? (2012· 湖北 )已知等差数列 {an}前 第 1 步: 列方程组求 a1, d; 三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; 第 2 步:令 an≤0 确定正、 负项; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. 第 3 步: 分类讨论求和.

?n-2?[2+?3n-7?] -1,2,-4,成等比数列,满足条件.=5+ 2 3 2 11 = n - n+10. ? ?-3n+7,n=1,2, 2 2 故|an|=|3n-7|=? (8 分) 当 n=2 时,满足此式.(12 分) ?3n-7,n≥3. ? 记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. ?4,n=1, ? (13分) 当 n=1 时,S1=|a1|=4;(9 分) 综上 Sn=?3 2 11 ? n - n+10,n>1. 当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5;(10 分) 2 ?3
n 2 3 1

(2)由(1),知当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 当 n≥3 时,Sn=S2+|a3|+|a4| +?+|an|=5+(3×3-7)+ 分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当 a =3n-7 时,a ,a ,a 分别为 (3×4-7)+?+(3n-7)

揭秘3年高考
【阅卷老师手记】
求有关数列{|an|}的前 n 项和的问题,考生经常出现因 解题思路不清晰导致出错,如:(1)未想到分类讨论解题; (2)讨论过程中,对 ai≤0(ai≥0)分别求和时出错.

【模板构建】求数列{|an|}的前n项和一般步骤如下:
第一步 第二步 第三步

求数列{an}的前 n 项和;
令 an≤0(或 an≥0)确定分类标准;

分两类分别求前 n 项和;
用分段函数形式下结论; 反思回顾:查看{|an|}的前 n 项和与{an}的前 n 项和
的关系,以防求错结果.

第四步
第五步

【试一试】 在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比 q∈(0,1), 且 a3a5+2a4a6+a3a9=100,又 4 是 a4 与 a6 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,求数列{|bn|}的前 n 项和 Sn.

揭秘3年高考

解 (1)∵a3a5+2a4a6+a3a9=100, 2 ∴a2 + 2 a a + a 4 4 6 6=100, ∴(a4+a6)2=100,又 an>0,∴a4+a6=10, ∵4 是 a4 与 a6 的等比中项,∴a4a6=16, 而 q∈(0,1),∴a4>a6,∴a4=8,a6=2, ? ? 1 ?1 ?n-1 7-n ∴q= ,a1=64,∴an=64· = 2 . ? ? 2 ?2 ?

【试一试】 在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比 q∈(0,1), 且 a3a5+2a4a6+a3a9=100,又 4 是 a4 与 a6 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,求数列{|bn|}的前 n 项和 Sn.
n?13-n? (2)bn=log2an=7-n,则数列{bn}的前 n 项和为 Tn= , 2 n?13-n? ∴当 1≤n≤7 时,bn≥0,∴Sn= . 2 当 n≥8 时,bn<0,∴Sn=b1+b2+?+b7-(b8+b9+?+bn) n?13-n? 7×6 =-(b1+b2+?+bn)+2(b1+b2+?+b7)=- +2× 2 2
?13n-n2 * ? ? 1 ≤ n ≤ 7 且 n ∈ N ?, 2 ? n -13n+84 2 = ,∴Sn=? 2 2 ?n -13n+84 ? ?n≥8且n∈N*?. 2 ?

揭秘3年高考

A级 基础演练
一、选择题

题号

1

2

3

4

C C D 点击题号出答 B 案 n a1=1, 1 24 . (2013· 广州调研 )等比数列 {a 的前 n 项和为 S ,若 单击显:题干 / n} n . (2012· 新课标全国 ) 数列 { a } 满足 a + ( - 1) a + n n 1 n 31 . (2013· 临沂模拟 ) 数列 { a } 中, a = ,若 { a }的前 n n n- .数列 { a } 的前 n 项和为 S ,已知 S = 1 2+ n n n 且 4 a 2 a , a 成等差数列,则 S = ( ) . n ? n + 1 ? 详解 1, 2 3 4 =2n-1,则{an}的前 - 60 项和为( ).
A. 7 4 B . C. 151)D.· 16 3- +?+ (- n,则 28013

S17 = ( 830 ). A . 3 690 B . 3 660 C . 1 845 D . 1 n 项和为 ,则项数 n 为( ). 2 014 A. 8n=2 B . 9 C . 16 D . 17 设数列 { a } 的公比为 q ,则 4 a = 4 a a3, 解析 当 k 时, a + a = 4 k - 1 , + n 012 2C 2 D. 1+ k . 1 2 013 2k A.2 011 B.2 2 014 2 2 ∴4 a= q = 4 a + a q ,即 q - q+ = , a2k+1+a2k-1=2, 当 n 2 k - 1 时, a - a = 4k4 - 30 ,∴ -14 1 1 1 2k 2k 解析 S17= 11 - 3-4 +5-6+?+1 15-16 1 1 n 4 2+ 1 - 2 ∴ a2k+1∵ +an a2k- a1= a5=? =a61. = -1=a2k,∴ +3,∴ 解析 = S 1 - = 2= k+3=2,∴ n= n ∴ q= 2. ∴1 S+ = 15. n ?n+ 1 ? 3) n +4 1+5)+(-6n + 1+ n? +1 4= + 17 = ( - 2 + + ( - + 7) 1? -+ 2 a60=(a2+a3)+(a4+a5)+? ∴a1+a2+a3+ 2 013 + ( - 14 + 15) + (- 16 + 17) = 1+ 1 +1+?+1 答案 C ,解得 n = 2 013. 答案 C + ( a + a ) = 3 + 7 + 11 + ? + (2 × 60 - 1) 60 61 2 014 30 × ?3+119B ? = 9. 答案 = =30×61=1 830.答案 D 2

n 1

A级 基础演练
二、填空题

1 n-1 - 2 2 - 点击题号出答案 2

题号

5

6 2 600

单击显:题干 1 6 {a n 项和为 Sn , a1=1, 2, an 5.数列 .(2011· 北京 )在等比数列 {a 中,若 a1a = , a4a =- 4, /详解 n}的前 n} 2= n+2- 2 n * =1+(-1) (n∈N ),则 S100=________. 则公比 q=________;|a |+|a |+?+|a |=________.
1 2 n
3 解析 an+2-an=1 (的公比为 -1)n,知 a - = 2 , 解析 由 设等比数列 {+ an} q2 ,则 a = a q + k 2 2k 4 1 ,代入 a数据解得 0,∴ a1=a3=q a=- a2n-1=1,数列 a2k} q3=- 8,所以 2= ;等比数列 {|an|}{ 的公 2k+1- a2k-1= 5= ? 是等差数列,a2k=2k. 1 n- 1 比为 |q|=2,则 |an+ |= × 2 )+ ,所以 |a 1|+ |a2|+ |a3|+ ? ∴S100=(a1+a3+a5 ? + a ( a + a + a6+?+a100)= 2 99 2 4 1 1 2?× 1 ?100 + 2 n- 1 n 50 n- 1 + |a =4+ (16 + 2 + 2100) +? + 2 ) = (2 - 1) = 2 - . 50 + (2 + ? + = 50 + = 2 600. n|+ 2 2 2 2 1 答案 2 600 n-1

答案

-2

2

- 2

A级 基础演练

三、解答题

7

8

7.(12 分)(2013· 包头模拟)已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2np+nq(n∈N*,p,q 为常数), 且 x1,x4,x5 成等差数列. 求:(1)p,q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn.
解 (1)由 x1=3, 得 2p+q=3, 又因为 x4=24p+4q, x5=25p +5q,且 x1+x5=2x4,得 3+25p+5q=25p+8q, 解得 p=1,q=1.
(2)由(1),知 xn=2n+n,所以 Sn=(2+22+?+2n)+(1+2 n?n+1? n+ 1 +?+n)=2 -2+ . 2

A级 基础演练

三、解答题

7

8

1 8.(13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,…). 2 ? ? 1 ? ? log 3 (3an?1 ) ? ?的前 n 项 (1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn= 时,求数列 2 b b ? + ? n n 1? ? ? ?a + =1S , 和 Tn. n 1 n
解 2 ? ? (1)由已知得 1 ? a = S - ?n≥2?, ? ? n 2 n 1 3 得到 an+1= an(n≥2). 2

3 1 1 1 ∴数列{an}是以 a2 为首项,以 为公比的等比数列.又 a2= S1= a1= , 2 2 2 2 ?1,n=1, ?3? ?3? ? 1 ?n-2 ? ?n-2 ? ?1? ∴an=a2×? = ( n ≥ 2) .∴ a = n ?2? ? ?3 ?n-2 2? ? ? ?2? ?2?2 ? ,n≥2. ? ? ? ? ? ? ?

3 3 3 ?3?n-1? 1 1 1 1 · (2)bn=log (3an+1)=log ? = n . ∴ = = - . ? ? ? 2 2? bnbn+1 n?1+n? n 1+n ?2 ?2? ? ?1 ?1 1? ?1 1? ?1 1? 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ∴Tn= + + +?+ =?1-2?+?2-3?+?3-4?+?+?n-1+n? ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn+1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 n =1- = . 1+n n+1

B 点击题号出答 A 案 nπ 1.(2012· 福建)数列{an}的通项公式 an=ncos / 1 ,其前 单击显:题干 * n项 2 2.(2012· 西安模拟)数列{an}满足 an+an+1= (n∈N ),且 2 详解 和为 Sn,则 S2 012 等于( ). a1A = 1, Sn 是数列 n503 项和,则 ). n}的前 . 1 006 B.2{a 012 C. D.0 S21=( 21 nπ C.10 A. B . 6 D.11 解析 因 cos 呈周期性出现,则观察此数列求和规律,列 2 2 1 解析 依题意得 an+2=an2. , n+an+1=an+1+an+2= ,则 项如下: a1=0,aa 2=-2,a3=0,a4=4,此 2 4 项的和为
一、选择题

B级 能力突破

题号

1

2

a a =- 6,a7=0,a8= 8,此 4 项的和为 2.依次类推,得 5=0, 6n 即数列 { a }中的奇数项、 偶数项分别相等, 则 a21=a1=1, S 012=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+?+(a2 009+a2 010 S2 21=(a1+a2)+(a3+ a4)+?+(a19+a20)+a21= 10(a1+a2) 2 012 1 + + a× =1=6,故选 ×2=1 B. 006.故选 A. 答案 A 011 2 012) +a a221 = 10 + 答案 B 4 2

B级 能力突破

题号

3

m k+ 1

2 点击题号出答案 二、填空题 单击显:题干/详 ?1? ?2? 4x ? ? ? ? 3 (2013· 长沙模拟 )等差数列{a } 中有两项 a 和 a ( m k ),满足 4. .设 f(x) = x ,利用倒序相加法,可求得 f + f +?+ n m ? ? k ?≠? 解 11 11 4 +2 ? ? ? ?
? ,ak= ,则该数列前 a? = 10 m ? k m f?11 ? ?的值为________. ? ?

4 5

1

1

mk 项之和是 Smk=________.

解析 设数列{an}的首项为 a1,公差为 d1.则有 4x2 4x 解析 当 x1+x2=1 时,f(x1)+f( x2)= + ? ? 1 x1+2 4x2+2 ?a =a +?m-1?d=1, ?a = 4 , 1 1 ? m ? k mk 2×4x1+x2+2×?4x1+4x2? ? ? 解得 = =1. ? 4x +x +?4x +4x 1 ? 1 ? × 2 + 4 1 2 1 2 , ?ak=a1+?k-1?d= , ?d= m mk ? ? ? ?1? ?10?? ?1? ?2? ?10? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? f + f 设 S=f?11?+f?11 + ? + f ,倒序相加有 2 S = + ? ?11? mk ?11 ??1 ? ?11 ? 1? 1 mk ? mk - mk + 1 + 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 所以 S = mk · + · = . 答案 ? ? 2 ? mk ? 9 ?? ? ? ? mk ? 2 2 ? ? ? ? ?? ?10? 2? 1 ? mk ?f?11?+f?11??+?+f?11 ?+f?11?=10,即 S=5. 答案 5 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

B级 能力突破

三、解答题
2 n-1

5

6

5.(12 分)设数列{an}满足 a1+3a2+3 a3+?+3

n an= ,n∈N*. 3

n (1)求数列{an}的通项;(2)设 bn=a ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n (1)由已知写出前 n-1 项之和,两式相减.(2)bn=n· 3n 思维启迪: 的特点是数列{n}与{3n}之积,可用错位相减法.



(1)∵a1+3a2+3 a3+?+3
2

2

n-1

n an= ,① 3
n-2

∴当 n≥2 时,a1+3a2+3 a3+?+3
n-1

n- 1 an-1= ,② 3

1 1 ①-②得 3 an= ,∴an= n. 3 3 1 1 1 在①中,令 n=1,得 a1= ,适合 an= n,∴an= n. 3 3 3

B级 能力突破

三、解答题
2 n-1

5

6

5.(12 分)设数列{an}满足 a1+3a2+3 a3+?+3

n an= ,n∈N*. 3

n (1)求数列{an}的通项;(2)设 bn=a ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n n (2)∵bn=a ,∴bn=n· 3n.∴Sn=3+2×32+3×33+?+n· 3n,③
∴3Sn=32+2×33+3×34+?+n· 3n 1.④ ④-③得 2Sn=n· 3n+1-(3+32+33+?+3n), n n+1 3 ? 1 - 3 ? ? 2 n - 1 ? 3 3 n+ 1 即 2Sn=n· 3 - ,∴Sn= + . 4 4 1- 3


n

解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n-1an}的 前n项和,从而利用an与Sn的关系求出通项3n-1an,进而求 探究提高 得an;另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法, 但值得注意的是,这种方法运算过程复杂,运算量大,应 加强对解题过程的训练,重视运算能力的培养.

B级 能力突破

三、解答题

5

6

6.(13 分)(2012· 泰州模拟)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行 多两项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … 已知表中的第一列数 a1,a2,a5,…构成一个等差数列,记为{bn}, 且 b2=4,b5=10.表中每一行正中间一个数 a1,a3,a7,…构成数列 {cn},其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若上表中,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成 等比数列,公比为同一个正数,且 a13=1. ①求 Sn; ②记 M={n|(n+1)cn≥λ,n∈N*},若集合 M 的元素个数为 3,求实 数 λ 的取值范围.

B级 能力突破


三、解答题

5

6

(1)设等差数列{bn}的公差为 d, ? ? ?b1+d=4, ?b1=2, 则? 解得? 所以 bn=2n. ? ? ?b1+4d=10, ?d=2, (2)①设每一行组成的等比数列的公比为 q. 由于前 n 行共有 1+3+5+?+(2n-1)=n2 个数,且 32<13<42, 1 3 3 a10=b4=8,所以 a13=a10q =8q ,又 a13=1,所以解得 q= . 2 ?1?n-1 n n-1 ? ? 由已知可得 cn=bnq ,因此 cn=2n· = n-2. 2 ?2? 1 2 3 n 所以 Sn=c1+c2+c3+?+cn= -1+ 0+ 1+?+ n-2, 2 2 2 2 n-1 1 1 2 n S = + +?+ n-2 + n-1, 2 n 20 21 2 2

B级 能力突破

三、解答题

5

6

n+2 1 1 1 1 1 n 1 n 因此 Sn= -1+ 0+ 1+?+ n-2- n-1=4- n-2- n-1=4- n-1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n+2 解得 Sn=8- n-2 . 2 n?n+1? n ②由①知 cn= n-2,不等式(n+1)cn≥λ,可化为 n-2 ≥λ. 2 2 n?n+1? 设 f(n)= n-2 , 2 15 计算得 f(1)=4,f(2)=f(3)=6,f(4)=5,f(5)= . 4 ?n+1??2-n? 因为 f(n+1)-f(n)= , 2n-1 所以当 n≥3 时,f(n+1)<f(n). 因为集合 M 的元素个数为 3,所以 λ 的取值范围是(4,5].

考点自测详解
1 . 解析 ∵ an= n+1- n ,∴ a1+ a2 + ? + an= n+1 - 1,∴ n+1-1=9,∴n=99. 答案 B 2 解析
2 由题意得 a2 = a · a , 又公差 d =- 2 , ∴ ( a - 8) =a3(a3-12), 7 3 9 3 10?a1+a10? 10?a3+a8? ∴a3=16.∴S10= = =5(a3+a3+5d) 2 2 =5×(16+16-10)=110,故选 D. 答案 D

3.解析

2?1-2n? n?1+2n-1? + Sn= + =2n 1+n2-2. 2 1- 2

答案
返回

C
自测

考点自测详解
5× 4 d=15, 2 1 1 1 1 得 d=1,a1=1,故 an=1+(n-1)× 1=n,所以 = = - , n n+ 1 anan+1 nn+ 1 1 1 1 1 1 100 所以 S100=1- + - +…+ - =1- = ,故选 A. 答案 A 2 2 3 100 101 101 101 n- 1 2 3 n 5.解析 Sn=1+ + 2+…+ n-2 + n-1,① 3 3 3 3 n- 1 n 1 1 2 S = + +…+ n-1 + n,② 3 n 3 32 3 3 1 1- n 3 1? 2 1 1 1 n n 3? n ? ①-②得: Sn=1+ + 2+…+ n-1- n= - n= ?1-3n? - ? 3 3 3 3 1 3 2? 3n 3 ? 1- 3 1? 3n? 9? 3n 9 ? 9 6n+9 1 9 6n+9 1 ? ? ?9 ? 1 ∴Sn= ?1-3n?- ·n= -?4+ 2 ?·n= - · . 答案 - · 4? 23 4 ? 4 4 3n 4 4 3n ? ?3 4.解析 设数列{an}的公差为 d,则 a1+4d=5,S5=5a1+
返回 自测


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