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基本初等函数知识点总结

时间:2019-02-04

基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 * a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N . ? 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0, 记作 n 0 ? 0 。 当 n 是 奇 数 时 , n an ? a , 当 n 是 偶 数 时 ,
n

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
m ? n



?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂 没有意义 3.实数指数幂的运算性质 r r ?s r (1) a · a ? a (2) (a ) ? a
r s r rs r s

(a ? 0, r , s ? R) ;

(a ? 0, r , s ? R) ;
(a ? 0, r , s ? R) .

(3) (ab) ? a a (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变 量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是 负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1

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定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调 递增 非奇非偶函 数 函数图象都 过定点 (0, 1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调 递减 非奇非偶函 数 函数图象都 过定点 (0, 1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: ( 1 ) 在 [a , b] 上 , f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值 域 是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; ( 2 ) 对 于 指 数 函 数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) , 总 有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) , 那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的对数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 a x ? N ? loga N ? x ; ○ 3 注意对数的书写格式. loga N ○ 两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数: 以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的 ○ 对数 ln N . ? 指数式与对数式的互化
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幂值

真数

ab = N ? log a N = b

底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M · N ) ? loga M + loga N ; ○ 2 log a M ? loga M - loga N ; ○
N

3 loga M n ? n loga M ○ 注意:换底公式
loga b ?

(n ? R) .

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; logc a

b ? 0) .

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a b n ? n log a b ; (2) loga b ?
m

m

1 . logb a

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 (0,+∞) . 注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是 形式定义, 注意辨别。 如:y ? 2 log2 x ,y ? log x 都
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不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . ○ 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1

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定义域 x >0 值域为 R 在 R 上递 增 函数图象 都过定点 (1,0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过 定点(1,0)

(三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函 数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图 象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区 间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数 的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减 函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图 象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 例题: 1. 已知 a>0,a 0,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )

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2.计算: (1)

25

1 3

log5 27 ? 2 log5 2

=

;

(2) 0.064 =

?1 3

? (?

1 7 0 ?4 ) ? [( ?2) 3 ] 3 ? 16 ?0.75 ? 0.01 2 8

3.函数 y=log 1 (2x2-3x+1)的递减区间为
2

4.若函数 f (x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 则 a= 5.已知 f ( x) ? log 的取值范围 6. 7. .
a

2a] 上的最大值是最小值的

3 倍,

1? x (a ? 0且a ? 1) 1? x

, (1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 f ( x) ? 0 的 x

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