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湖北省武汉二中2009-2010学年高一上学期期中考试数学试题

时间:2011-01-12


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武汉二中 2009-2010 学年度上学期高一年级期中考试 数学试卷
命题人:李灵文 考试时间:2009 年 11 月 5 日 上午 7 :40---9 :40 本试卷满分 150 分,考试时长 120 分钟。 一、选择题(5 分×10=50 分) 选择题 = 1.对于集合 M , N , 定义 M ? N = {x | x ∈ M , 且x ? N }, M ⊕ N = (M ? N ) ∪ ( N ? M ) , 设
9? ? A = ? x | x ≥ ? ? , B = {x | x < 0},则 A ⊕ B = ( 4? ?

)

9 A. (? , 0] 4

9 B. [? , 0) 4

C. (?∞, ? 9 ) ∪ [0, +∞)
4

D. (?∞, ? 9 ] ∪ (0, +∞) 4

2 . 实 数 a , b, c 是 图 象 连 续 不 断 的 函 数 y = f ( x ) 定 义 域 中 的 三 个 数 , 且 满 足 a < b < c , ) A.2 f (a ) f (b) < 0, f (c) f (b) < 0 , 则 y = f ( x) 在区间 (a, c ) 上的零点个数为( B.奇数 C.偶数 D.至少是 2 3.下列四组函数, 表示同一函数的是( ) A.f(x)=

x 2 , g(x)=x

B.f(x)=x,

g(x)=

x2 x
C .

f ( x) = lnx 2 , g ( x) = 2 ln x

D. f ( x ) = log a a x (0 < a ≠ 1), g ( x) = 3 x 3 4.已知集合 A= x | x 2 ? 3 x ? 10 ≤ 0 域和值域, 且 B ? A ,

{

}

、B= { x | m + 1 ≤ x ≤ 2m ? 1} 分别为函数 y = f(x)的定义 ) A.

则实数 m 的取值范围是( D. [ ?3, +∞ )

( ?∞,3]

3] B. [ 2,  

C. [ ?3,3]

5.已知 f ( x ) = a x , g ( x ) = log a x (0 < a ≠ 1) , 若 f (3) g (3) < 0 , 那么 f ( x ) 与 g ( x ) 在同一坐 标系内的图像可能是( )

6.光线通过一块玻璃, 其强度要失掉原来的

1 1 , 要使通过玻璃的光线强度为原来的 以下, 10 3

至少需要重叠这样的玻璃块数是( ) (lg3=0.4771) A.10 B.11 C.12 D. 13 7.对于任意实数 x, 符号[x]表示 x 的整数部分, 即[x]是“不超过 x 的最大整数”, 在数轴上, 当 x 是整数, [x]就是 x,当 x 不是整数, [x]是点 x 左侧的第一个整数点, 这个函数叫做“取整函数”,
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也叫高斯(Gauss)函数, 如[-2]=-2,[-1.5] = -

2,[2.5]=2,



1 1 1 [log 2 ] + [log 2 ] +[log 2 ] + [log 2 1] + [log 2 2] + [log 2 3] + [log 2 4] + ? + [log 2 16] 的 值 为 2 4 3
( ) A. 28 B. 32
1 2008

C.

33

D.

34

8 . 已 知 实 数 a, b 满 足 等 式 log

a = log

1 2009

b , 下列五个关系式:① 0 < b < a < 1 ;
其中不可能成立的关系式有 ...

② 1 < a < b ; ③ 0 < a < b < 1 ;④ 1 < b < a ;⑤ a = b . ( ) A.1 个
3

B.2 个

C.3 个

D.4 个

9. 已知函数 f ( x ) = ? x , 若实数 x1 , x2 , x3 满足 x1 + x2 > 0 , x2 + x3 > 0 , x3 + x1 > 0 , 则下 列 结 论 一 定 正 确 的 是 ( ) A . f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) > f (0) . . B. f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) = f (0) C. f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) < f (0) D. f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) = 2 f (0)

1 ? ?? x ? 3 , x ≠ 3 10.定义域为 R 的函数 f ( x) = ? , 若关于 x 的方程 f 2 ( x ) ? af ( x ) + b = 0 有 3 ? 2, x=3 ?
个不同的实数解 x1 , x2 , x3 , 且 x1 < x2 < x3 , 则下列说法错误的是( .. ) C.

5 + b ? 2a = 1 2 2 D. x1 + x2 + x3 = 29
A.
2

B.

b<0

x1 ? x2 + x3 = 3

填空题(5 二、填空题 分×5=25 分) = 11.定义在 [ ?2, 2] 上的偶函数 f (x)在区间[一 2, 0]上单调递增.若 f(2 一 m)<f(m), 则实数 m 的取值范围是 . 2 12.函数 y = x 与函数 y = x ln x 在区间 (1, +∞) 上增长较快的一个是 . 13 . 已 知 函 数 f (x ) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

1 xf ( x + 1) = (1 + x) f ( x) , 则 f ( ) = 2

.

14.若函数 y = f ( x) 是函数 y = a x (0 < a ≠ 1) 的反函数, 其图像经过点 ( a , a ) , 则函数

y = ? f (x +

m ? 3) 在区间 (2, +∞) 上是增函数, 则正数 m 的取值范围为 x



15.下列说法:①若 f (x) = ax2 +(2a +b)x + 2 (其中 x ∈ [2a ? 1, a + 4] )是偶函数, 则实数 b = 2 ; ② f ( x) = 2009 ? x2 + x2 ? 2009 既是奇函数又是偶函数; ③已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 若当

x ∈ [0, +∞ ) 时, f (x) = x(1+ x) ,则当 x ∈ R 时, f ( x) = x(1 + x ) ;④已知 f ( x) 是定义在 R
上的不恒为零的函数, 且对任意的 x, y ∈ R 都满足 f ( x ? y ) = x ? f ( y )

+ y ? f ( x) , 则 f ( x) 是奇函数。
三、解答题(12 分×3+13 分×3=75 分) 解答题 =

其中所有正确命题的序号是 ..

.

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16.解方程: 6i(9 x + 9? x ) ? 25(3x ? 3? x ) + 12 = 0 17 . 已 知 函 数 f ( x) = x 2 + (lg a + 2) x + lg b 满 足 f ( ?1) = ?2 , 且 对 于 任 意 x ∈ R , 恒 有 f ( x) ≥ 2 x 成立. (1)求实数 a, b 的值; (2)解不等式 f ( x ) < x + 5 . 18.f(x)=

2? x + 的定义域为 A, 关于 x 的不等式 22ax<2a x 的解集为 B, 求使 A∩B=A 的实 x ?1
1 1 (x ? ) . a ?1 x (2)试判定函数 f ( x ) 的奇偶性与单调性,并证明.
2

数 a 的取值范围. 19.已知 a > 0 且 a ≠ 1 , f (log a x ) =

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; 20.一用户到电信局打算上网开户, 经询问, 有三种月消费方式:(1)163 普通方式:上网资费 2 元/小时;(2)163A 方式:每月 30 元(可上网 50 小时), 超过 50 小时以上的资费为 2 元/小 时;(3) ADLSD 方式: 每月 50 元,时长不限(其它因素均忽略不计). (每月以 30 日计算) (1)分别写出三种上网方式中所用月资费( y 元)与时间( x 小时)的函数关系式; (2)在同一坐标系内画出三种上网方式中所用资费( y 元)与时间( x 小时)的函数图象; (3)根据你的研究,给这一用户一个合理化的建议, 帮助其选择恰当的资费方式. 21.关于二次函数学生甲有以下观点: ①二次函数必有最大值;②二次函数必有最小值;③ 闭区间上的二次函数必定同时存在最大值, 最小值;④对于命题③, 最值一定在区间端点 取得. 你认为学生甲正确的观点序号是 .根据你的判断试解决下述问题: 已知函数 f ( x) = ax 2 + (2a ? 1) x + 1 在 [? ,2] 上的最大值为 3, 求实数 a 的值.
3 2

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武汉二中 2009-2010 学年度上学期高一年级期中考试

数学参考答案
一、选择题 题号 1 答案 C 二、填空题 11. 0 ≤ m < 1 2 D 3 D 12. y = x
2

4 B

5 C

6 B

7 C

8 B

9 C

10 D

13.0

14. [2, 4]

15.①②③④

三、解答题 16.解:令 3x ? 3? x = t , 则 9 x + 9? x = t 2 + 2 ………………2 分 原方程等价于 6(t 2 + 2) ? 25t + 12 = 0 即 6t 2 ? 25t + 24 = 0 …………4 分
(2t ? 3)(3t ? 8) = 0

得 t1 = , t2 = ……………………5 分
1 3 = , 即: 2i(3x )2 ? 3i3x ? 2 = 0 3x 2

3 2

8 3

①当 t = 时, 有 3x ?

3 2

(3x ? 2)(2i3x + 1) = 0

得 3x = 2 或 3x = ? (舍)

1 2

∴ x = log 3 2 ;……………8 分

②当 t = 时, 有 3x ?
(3x ? 3)i(3i3x + 1) = 0

8 3

1 8 = 即: 3i(3x ) 2 ? 8i3x ? 3 = 0 3x 3

得 3x = 3或3x = ? (舍)∴ x = 1 ………………11 分

1 3

综合①②可知:原方程的解为 x=1 或 x=log32……………………12 分 17.解:(1) 由 f ( ?1) = ?2, 知 lg b ? lg a + 1 = 0, ∴ 又

a = 10. ………2 分 b
恒 成 立 , 故

f ( x) ≥ 2 x

恒 成 立 ,

所 以

x 2 + x ? lg a + lg b ≥ 0

? = (lg a ) 2 ? 4 lg b ≤ 0 .……………………4 分


a = 10 代入得: (lg b) 2 ? 2 lg b + 1 ≤ 0 , 即 (lg b ? 1) 2 ≤ 0, 即 lg b = 1 .故 b = 10 , 所以 b a = 100 .……6 分

(2)因为 f ( x ) = x 2 + 4 x + 1, ……………………………7 分 所以 f ( x ) < x + 5, 即 x 2 + 4 x + 1 < x + 5, …………9 分 ∴ x 2 + 3 x ? 4 < 0, 所以 ? 4 <

x < 1 , ………………11 分

} ∴不等式的解集为 {x | ?4 < x <1 .……………………12 分

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18.解:由 ?

?(2 ? x)( x ? 1) ≥ 0 ? 1 < x ≤ 2 , 即 A = (1,2] …………2 分 ?x ≠ 1

由 2ax < a + x ? (2a ? 1) x < a(*) ……………………………3 分 又 A ∩ B = A ? A ? B ………………………………………5 分 故①当 a < 时(*)式即 x >
1 2 a 2a ? 1
a ≤ 1 ? a ≥ 2a ? 1 ? a ≤ 1 ,此时 a < 2a ? 1



1 …………7 分 2

②当 a = ③当 a >

1 时(*)式 x ∈ R 满足 A ? B …………9 分 2 1 a 时(*)式即 x < 2 2a ? 1 2 3



a 2 1 2 > 2 ? a > 4a ? 2 ? a < ,此时 < a < ;…11 分 2a ? 1 3 2 3

综合①②③可知: a < ……………………………………………………………………12 分 另解:(*)式 (2a ? 1) x ? a < 0 由 A ? B 可知, 对 x ∈ (1,2] 分
? g (1) ≤ 0 2 ∴? ? a < …………………………………………………………………………12 分 g (2) < 0 3 ?

记 g ( x) = (2a ? 1) x ? a ………………………………………8 分
g ( x) < 0 恒成立………………………………………………10

19.解:(1)令 log a x = t , 则 x = a , 得 f (t ) =
t

1 (a t ? a ? t ) , …………4 分 a ?1
2

1 (a x ? a ? x ) ………………6 分 a ?1 1 1 (2)因为 f ( x ) 定义域为 R, 又 f ( ? x ) = 2 ( a ? x ? a x ) = ? 2 ( a x ? a ? x ) = ? f ( x) , a ?1 a ?1
所以 f ( x ) =
2

所以函数 f ( x ) 为奇函数 ………………………9 分 任取 x1 < x2 , 则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) =

1 (a x2 ? a x1 )(1 + a ? ( x1 + x2 ) ) ………………11 分 a ?1
2

因为当 a > 0 且 a ≠ 1 , 恒有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) > 0 , 所以 f ( x ) 为增函数…………13 分 20、(1). y=2x((0 ≤ x ≤ 720 ,y = ? )

? 30 0 ≤ x ≤ 50 y , = 50 0 ≤ x ≤ 720 …4 分 ( ) ) ? 2 x ? 70(50 < x ≤ 720

(2).

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………………………………………9 分 (3). 每月 0——15 小时, 选方案 1; ; 每月 15——60 小时, 选方案 2; ; 每月 60 小时以上, 选方案 3. …………………………13 分 21.解:(1)③……………………2 分 (2) 当 a = 0 时 , f ( x ) = ? x + 1 在 [? ,2] 上 的 最 大 值 为 f ( ? ) = 去;…………………………3 分 当 a ≠ 0 时, ①令 f (?
2a ? 1 1 3 ) = 3 得 a = ? , 此时抛物线开口向下, 对称轴 x=-2, 且 ?2 ? [? ,2] , 故 2a 2 2 3 2

3 2

5 ≠ 3 不合题意, 舍 2

1 a = ? 不合题意, 舍去; 2

……………………6 分 ②令 f (2) = 3 , 得 a = 符合题意; ……………………9 分 ③若 f (? ) = 3得a = ? , 经检验符合题意, ………………12 分 综上可知:实数 a 的值为 a = 或a = ?
1 2 2 3 3 2 2 3 1 1 , 此时抛物线开口向上, 闭区间的右端点距离对称轴较远, 故 a = 2 2

………………13 分

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