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高考数学一轮复习第五章数列5.5数列综合课件

时间:2017-11-23

第五章 数列 5.5 数列综合

考纲解读

1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系, 并能用相关知识解决相应的问题.

知识梳理

知识点 1 解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题, 弄清该数列的结构和特征. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.

具体解题步骤用框图表示如下:

知识点 2 数列应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增 加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等 比模型,这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型:如果题目给出了数列前后两项的关系,或前 n 项和 Sn 与 Sn
+1

之间的关系,可考虑通过建立递推数列模型求解.

必会结论;银行储蓄中的计算公式 (1)复利公式:按复利计算的一种储蓄,本金为 p 元,每期利率为 r, 存期为 n,则本利和 S=p(1+r)n. (2)单利公式:利息按单利计算,本金为 p 元,每期利率为 r,存期为 n, 则本利和 S=p(1+nr). (3)产值模型:原来产值的基础数为 N,平均增长率为 r,对于时间 x 的总产 值 y=N(1+r)x.

考点分类突破

考向 1 等差数列与等比数列的综合应用 1.已知{an}为等差数列且公差 d≠0,其首项 a1=20,且 a3,a7,a9 成等比 数列,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( A.-110 C.90 B.-90 D.110 )

【解析】 由 a3,a7,a9 成等比数列,则 a3a9=(a7)2, 即(a1+2d)(a1+8d)=(a1+6d)2, 化简可得 2a1d+20d2=0, 由 a1=20,d≠0,解得 d=-2. 10×9 则 S10=10a1+ 2 ×(-2)=110.
【答案】 D

2.设数列{an}是以 3 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列,则 ba1+ba2+ba3+ba4=( A.15 C.63 B.60 D.72 )

【解析】 数列{an}是以 3 为首项,1 为公差的等差数列, 则 an=3+(n-1)×1=n+2, {bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 则 bn=2n-1,则 ba1+ba2+ba3+ba4=b3+b4+b5+b6 =22+23+24+25=60.
【答案】 B

3.已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列(bn>0),且 a1= b1=2,a3+b3=16,S4+b3=34. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 Tn 为数列{anbn}的前 n 项和,求 Tn.

【解】 (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q,由已知 q>0,∵a1 =b1=2,a3+b3=16,S4+b3=34. ∴ 2+2d+2q =16,?8+6d+2q =34 ? d=3,?q=2, ∴an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1,bn=b1qn 1=2n.

? ? ? ? ?

2

2

? ? ? ? ?

(2)Tn=2×2+5×22+…+(3n-1)×2n, 2Tn=2×2 +5×2 +…+(3n-1)×2 , 12?1-2 ? 两式相减得- Tn = 4 + 3×2 + … + 3×2 - (3n - 1)×2 = 4 + - 1-2
2 n n+1 n-1 2 3 n+1

(3n-1)×2n+1=-8-(3n-4)2n+1. ∴Tn=(3n-4)2n 1+8.


归纳升华
等差数列、等比数列综合问题的解题策略 1. 分析已知条件和求解目标, 确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题, 如为求和需要先求出通项、为先出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确 定解题的顺序. 2.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要 看其是否有等于 1 的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用 同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.

考点分类突破
考向 2 数列的实际应用 1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2 000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年年 增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金 后的剩余资金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元,试确定企业 每年上缴资金 d 的值(用 m 表示).

【解】 (1)由题意得:a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d, 3 5 a2=a1(1+50%)-d=2a1-d=4 500-2d, … 3 an+1=an(1+50%)-d= an-d. 2

? 3 3?3 (2)由(1)得 an=2an-1-d=2?2an-2-d?-d ? ? ?3?2 3 ? ? = 2 an-2-2d-d ? ?

=…
? 3 ?3?2 ?3?n-2? ?3?n-1 =?2? a1-d?1+2+?2? +…+?2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3?n-1 ??3?n-1 ? 整理得:an=?2? (3 000-d)-2d??2? -1? ? ? ?? ? ?

?3?n-1 =?2? (3 000-3d)+2d. ? ? ?3?m-1 由题意,am=4 000,即?2? (3 000-3d)+2d=4 000. ? ? ??3?m ? ?? ? -2?×1 000 m m+1 1 000 ? 3 - 2 ? 2 ?? ? ? 解得 d= ?3? = . m m 3 - 2 ? ?m-1 ?2?

1 000?3m-2m 1? 故该企业每年上缴资金 d 的值为 时,经过 m(m≥3)年企业的剩 3m-2m


余资金为 4 000 万元.

2.准确求解模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方 程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确. 3.给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题 的答案,在解题中不要忽视了这一点.

跟踪训练

1. 现有一根 n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一 节长为 10 cm,最下面的三节长度之和为 114 cm,第 6 节的长度是首节与 末节长度的等比中项,则 n=________.

【解析】 设对应的数列为{an},公差为 d(d>0).由题意知 a1=10,an+an-
2 1+an-2=114,a6=a1an,由 an+an-1+an-2=114,得 3an-1=114,解得 an-1=38,

∴(a1+5d)2=a1(an-1+d),即(10+5d)2=10(38+d),解得 d=2,∴an-1=a1+(n- 2)d=38,即 10+2(n-2)=38,解得 n=16.

【答案】 16

归纳升华
解答数列实际应用问题的步骤 1.确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等 比数列模型、简单的递推数列模型,基本特征见下表: 数列模型 等差数列 等比数列 基本特征 均匀增加或者减少 指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题

简单递推 指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为 20%,每年年底要拿 数列 出 a(常数)作为下年度的开销,即数列{an}满足 an+1=1.2an-a

考点分类突破

考向 3 数列与其他知识的交汇问题 ●命题角度 1 数列与函数的交汇问题

1.已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f(3+x)=f(x),f(2)=-5, 数列{an}满足 a1=-1,且 Sn=2an+n(其中 Sn 为{an}的前 n 项和), 则 f(a4)+f(a5)=________.

【解析】 ∵函数 f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x)且 f(0)=0, 又∵f(3+x)=f(x), ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数, ∴f(2)=f(-1)=-5, ∵a1=-1,且 Sn=2an+n, ∴a2=-3, ∴a3=-7,a4=-15, ∴a5=-31, ∴f(a4)+f(a5)=f(-15)+f(-31)=f(0)+f(-1)=0+f(2)=-5.
【答案】 -5

2.(2014· 四川高考)设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图 象上(n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; 1 (2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2-ln 2,
?an? 求数列?b ?的前 n 项和 Tn. ? n?

【解】 (1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7, 有 2a8=4×2a7=2a7+2. 解得 d=a8-a7=2. n?n-1? 所以 Sn=na1+ 2 d=-2n+n(n-1)=n2-3n.

(2)函数 f(x)=2x 在(a2,b2)处的切线方程为 y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2), 1 它在 x 轴上的截距为 a2- . ln 2 1 1 由题意知,a2- =2- , ln 2 ln 2 解得 a2=2. an n 所以 d=a2-a1=1,从而 an=n,bn=2 , = n. bn 2
n

n-1 n 1 2 3 所以 Tn= + 2+ 3+…+ n-1 + n, 2 2 2 2 2 1 2 3 n 2Tn= + + 2+…+ n-1. 1 2 2 2 1 1 1 n 因此,2Tn-Tn=1+2+22+…+ n-1-2n 2
n+1 2 -n-2 1 n =2- n-1-2n= 2n 2

2 -n-2 所以 Tn= 2n .

n+1

●命题角度 2 数列与不等式的交汇问题 3.(2014· 广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn 满足 S2 n -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +…+ <. a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1? 3

【解】 (1)令 n=1 代入得 a1=2(负值舍去).
2 2 * 2 (2)由 S2 - ( n + n - 3) S - 3( n + n ) = 0 , n ∈ N 得 [ S - ( n +n)](Sn+3)=0. n n n

又已知各项均为正数,故 Sn=n2+n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 当 n=1 时,a1=2 也满足上式, 所以 an=2n,n∈N*.

(3)证明:k∈N*,4k2+2k-(3k2+3k)=k2-k=k(k-1)≥0, ∴4k2+2k≥3k2+3k, 1 1 1 1 ∴ = = 2 ≤ 2 ak?ak+1? 2k?2k+1? 4k +2k 3k +3k 1 ? 1? ?1 = ?k-k+1? ?. 3? ? 1 1 1 ∴ + +…+ a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1?

1 1 ? 1? ?1 1 1 1 ≤ ?1-2+2-3+…+n-n+1? ? 3? ? 1 ? 1? ? ? 1 1 - = ? n+1?< . 3? ? 3 ∴不等式成立.

归纳升华
数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 1.数列与函数的交汇问题 (1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、 图象研究数列问题. (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、 公式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联 系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数 列,因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.

2.数列与不等式的交汇问题 (1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不 等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式. (2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到. (3)比较方法:作差或者作商比较.


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