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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第28届)

时间:2013-03-23

国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 28 届)
1. 设 pn(k) 是集合{1, 2, 3, ... , n} 上具有 k 个固定点的排列的个数,求证 k 从 0 到 n 对(k pn(k) )的求和是 n!. [一个集合 S 的一个排列是从 S 到它自身的一一映射.元素 i 称为是 f 固定点如果 f(i) = i.] 2. 锐角三角形 ABC 的内角 A 的角平分线交 BC 于 L, ABC 的外接圆于 N, L 点 交 从 向 AB,AC 做垂线,垂足分别是 K、M,求证四边形 AKNM 的面积与三角形 ABC 的 面积相等. 3. x1, x2, ... , xn 是实数并且满足 x12 + x22 + ... + xn2 = 1,求证对每个正整数 k ≥2 存在不全为 0 的整数 a1, a2, ... , an,使得对每个 i 有|ai| ≤k - 1 及 |a1x1 + a2x2 + ... + anxn| ≤ (k - 1)√n/(kn-1). 4. 求证不存在从非负整数到非负整数的函数 f 满足对所有 n 有 f(f(n)) = n + 1987 成立. 5. n 是大于或等于 3 的整数,求证存在一个由平面上 n 个点构成的集合满足任何两点的 距离都是无理数并且任何三点构成一个面积为有理数的非退化的三角形. 6. n 是大于或等于 2 的整数,如果对所有 0≤k≤√n/3 都有 k2 + k + n 是素数,则 当 0≤k≤n-2 时,k2 + k + n 都是素数.