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2017-2018版高中数学第二章空间向量与立体几何章末复习课学案北师大版选修2_1

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第二章 空间向量与立体几何 学习目标 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数 量积的运算及其应用,会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理,掌握 空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问 题. 知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 α ,β 的法向量分别为 μ ,v,则 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 l∥m?a∥b?a=kb,k∈R l∥α ?____________?____________ α ∥β ?μ ∥v?____________ l⊥m?______?______ l⊥α ?a∥μ ?a=kμ ,k∈R α ⊥β ?μ ⊥v?______ 线线夹角 l,m 的夹角为 θ (0≤θ ≤ ),cos θ = ______ π 2 线面夹角 l,α 的夹角为 θ (0≤θ ≤ ),sin θ = ______ α ,β 的夹角为 θ (0≤θ ≤ ______ π ),cos θ = 2 π 2 面面夹角 知识点二 用坐标法解决立体几何问题 步骤如下: (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)写出相关点的坐标及向量的坐标; (3)进行相关坐标的运算; (4)写出几何意义下的结论. 关键点如下: (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要,恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标 易求且简单,简化运算过程. (2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题,必须确定点的坐标、直线 1 的方向向量、平面的法向量,这是最核心的问题. (3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决,如何转 化也是这类问题解决的关键. 类型一 空间向量及其运算 例 1 如图,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,S 到 A、B、C、D 的距离都 等于 2.给出以下结论: → → → → ①SA+SB+SC+SD=0; → → → → ②SA+SB-SC-SD=0; → → → → ③SA-SB+SC-SD=0; → → → → ④SA·SB=SC·SD; → → ⑤SA·SC=0. 其中正确结论的序号是________. 反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形 法则及各运算公式,理解向量运算法则、运算律及其几何意义. 1 → → 跟踪训练 1 如图,在平行六面体 A1B1C1D1—ABCD 中,M 分AC成的比为 ,N 分A1D成的比为 2, 2 → → → → 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用 a、b、c 表示MN. 类型二 利用空间向量解决位置关系问题 2 例 2 在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,ABCD 是正方形,E 是 PA 的中点,求证: (1)PC∥平面 EBD. (2)平面 PBC⊥平面 PCD. 反思与感悟 (1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. ②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线. ③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量. (3)证明面面平行的方法 ①转化为线线平行、线面平行处理. ②证明这两个平面的法向量是共线向量. (4)证明两条直线垂直,只需证明这两条直线的方向向量垂直. (5)证明线面垂直的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量. ②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直. (6)证明面面垂直的方法 ①转化为证明线面垂直. ②证明两个平面的法向量互相垂直. 跟踪训练 2 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点,求证:平面 AED⊥平 面 A1FD1. 类型三 利用空间向量求角 例 3 如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1, D1C1 上,A1E=D1F=4.过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. 3 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值. 反思与感悟 用向量法求空间角的注意点 (1)异面直线所成角:两异面直线所成角的范围为 0°<θ ≤90°,需找到两异面直线的方向 向量,借助方向向量所成角求解. (2)直线与平面所成的角:要求直线 a 与平面 α 所成的角 θ ,先求这个平面 α 的法向量 n 与直线 a 的方向向量 a 的夹角的余弦 cos〈n,a〉 ,再利用公式 sin θ =|cos〈n,a〉|,求 θ . (3)二面角: 如图,有两个平面 α 与 β ,分别作这两个平面的法向量 n1 与 n2,则平面 α 与 β 所成的角 跟法向量 n1 与 n2 所成的角相等或互补,所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角. 跟踪训练 3 如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB⊥平面 BEC,BE⊥EC,AB= BE=EC=2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点. (1)求证:GF∥平面 ADE; (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成的锐角的余弦值. → 1 → → 1.已知空间四边形 ABCD,G 是 CD 的中点,则AB+ (BD+BC)等于( 2 ) 4 → → A.AG B.CG 1→ → C.BC D. BC 2 ) 2.若 a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λ b)⊥a,则实数 λ 的值是( A.-1 B.0 C.1 D.-2 3.已知向量 a=(4-2m,m-1,m-1)与 b=(4,2

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