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2015-2016学年九年级数学上册 第22章 第6课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质导学案

时间:2015-11-02


y=ax2+bx+c 的图象和性质
一、 学习目标 1.描点法画出 y=ax?+bx+c 的图像; 2.探索抛物线 y=ax?+bx+c 的性质. 二、 知识回顾 1.一般地,抛物线 y=a(x-h) +k 与 y=ax 的 形状 相同, 位置 不同.抛物线 y=ax 向 右 平 移 h 个单位,向 上 平移 k 个单位得到抛物线 y=a(x-h) +k(h>0,k>0). 2. 抛物线 y=a(x-h) +k 有如下特点: (1)当 a>0 时,开口向上;当 a<0 时,开口向下. (2)对称轴是直线 x=h. (3)顶点坐标是(h,k). 3. 填表
2 2 2 2 2

三、 新知讲解

1.函数 y=ax +bx+c 图象和性质

2

四、 典例探究

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1

1.二次函数 y=ax?+bx+c 化的图象和性质 【例 1】 (2014 秋?江都市期末)画出二次函数 y=﹣x +4x+5 的图象,并根据图象回答下列问题: (1)对称轴为直线______,顶点坐标为_________,最____值是_______; (2)与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为___________; (3)当 x 取______时,y 随 x 的增大而增大;当 x 取_______时,y 随 x 的增大而减小; (4)当 0≤x<3 时,函数 y 的值为_______; (5)当 0<y<5 时,自变量 x 的取值范围为_____________.
2

总结: 1. 二次函数 y=ax +bx+c 图象的画法: (1) “化” :化成顶点式; (2) “定” :确定开口方向、对称轴、顶点坐标; (3) “画” :列表、描点、连线. 2. 利用配方法将二次函数 y=ax2+bx+c 化为顶点式后,可求出二次函数的顶点坐标和最值,顶点坐标 是( ?
2

b 4ac ? b 2 4ac ? b 2 , ) ,并在顶点处取到最值. 当 a<0 时,最大值是 ;当 a>0 时,最小 2a 4a 4a

值是

4ac ? b 2 . 4a
2

3. 在二次函数 y=ax +bx+c 中, (1) 当 a>0 时,在对称轴 x= 增大而增大; (2) 当 a<0 时,在对称轴 x= 的增大而减小. 练 1(2015?峨眉山市一模)对二次函数 y=3x ﹣6x 的图象性质,下列说法不正确的是( )
2
2

b 的左侧,y 随着 x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随着 x 的 2a b 的左侧,y 随着 x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随着 x 2a

A.开口向上 C.顶点坐标为(1,﹣3)

B.对称轴为 x=1 D.最小值为 3
2

练 2(2014?黄陂区模拟)二次函数 y=2x ﹣4x+5,当 x=____时,y 有最小值为______;若 y 随 x 的增 大而减小,则 x 的范围为____________.

2.已知二次函数 y=ax?+bx+c 的顶点、对称轴求参数或解析式 【例 2】 (2013 秋?青羊区校级期中)若二次函数 y=x ﹣2x+c 图象的顶点在 x 轴上,则 c 等于( ) A.﹣1 B.1 C.
2

1 2

D.2

总结:二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是( ? 件 列方程求参数的值即可.

b 4ac ? b 2 , ) ,根据顶点坐标结合已知条 2a 4a

练 3 (2015?虹口区一模)若抛物线 y=2x -mx-m 的对称轴是直线 x=2,则 m=_________. 练 4 (2015?奉贤区一模)若抛物线 y=x +mx-1 的顶点横坐标为 1,那么 m 的值为______________.
2

2

五、 课后小测

一、选择题 1. (2015?开县模拟)将抛物线 y ? A. (2,3) B. (﹣2,﹣3)

1 2 x +2x+1 的顶点坐标为() 2
C. (﹣2,﹣1)
2

D. (2,﹣3)

2. (2014 秋?新疆期中)已知抛物线 y=x ﹣8x+c 的顶点在 x 轴上,则 c 等于() A.4 B.8 C.﹣4 D.16
2

3. (2015?黔南州)二次函数 y=x ﹣2x﹣3 的图象如图所示,下列说法中错误的是()

A.函数图象与 y 轴的交点坐标是(0,﹣3) B.顶点坐标是(1,﹣3) C.函数图象与 x 轴的交点坐标是(3,0) 、 (﹣1,0) D.当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小
3

4. (2013 秋?绍兴期末)关于二次函数 y=x ﹣4x+3,下列说法错误的是() A.当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小 C.当 1<x<3 时,y>0 B.它的图象与 x 轴有交点 D.顶点坐标为(2,﹣1)
2

2

5.(2015?大庆模拟)若点 A(2,y1) ,B(﹣3,y2) ,C(﹣1,y3)三点在抛物线 y=x ﹣4x﹣m 的图象 上,则 y1、y2、y3 的大小关系是( A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 ) C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2
2

6.(2015?巴中模拟)若直线 y=ax+b(a≠0)在第二、四象限都无图象,则抛物线 y=ax +bx+c() A.开口向上,对称轴是 y 轴 C.开口向上,对称轴平行于 y 轴 二、填空题 7. (2011 秋?平江区校级月考)抛物线 y ?
2

B.开口向下,对称轴平行于 y 轴 D.开口向下,对称轴是 y 轴

1 2 7 x ? x ? 化成顶点式是__________. 2 2

8.(2015?长宁区一模)已知二次函数 y=ax ﹣(a+1)x﹣2,当 x>1 时,y 的值随 x 的值增大而增大, 当 x<1 时,y 的值随 x 的值增大而减小,则实数 a 的值为___________. 9. (2015?黄冈中学自主招生) 二次函数 y=x +2ax+a 在﹣1≤x≤2 上有最小值﹣4, 则 a 的值为______. 三、解答题 10.(2014 秋?上城区期末)已知二次函数 y=-2x +4x+6. (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标,并画出函数的大致图象. (2)自变量 x 在什么范围内,y 随 x 的增大而增大?何时 y 随 x 的增大而减小?并求出函数的最大 值或最小值.
2 2

11. (2015?建邺区一模)已知函数 y=x +(2m+1)x+m ﹣1. (1)m 为何值时,y 有最小值 0; (2)求证:不论 m 取何值,函数图象的顶点都在同一直线上.

2

2

典例探究答案:

4

【例 1】 【解析】根据五点画出二次函数 y=﹣x +4x+5 的图象,根据图象即可回答(1) (2) (3) (4) (5)的问题. 解:列表:

2

x y

? ?

0 5

1 8

2 9

3 8

4 5

? ?

描点、连线可得如图所示抛物线. (1)由 y=﹣x +4x+5=﹣(x﹣2) +9 可知,对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2,9) ,取到 最大值,为 9; 故答案为:x=2, (2,9) ,大,9; (2)由图象可知:与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为(﹣1,0) , (5,0)和(0,5) ; 故答案为: (﹣1,0) (5,0)和(0,5) ; (3)当 x<2 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>2 时,y 随 x 的增大而减小; 故答案为:x<2,x>2. (4)当 0≤x<3 时,函数 y 的值为 5≤x≤9. 故答案为:5≤x≤9 (5)当 0<y<5 时,自变量 x 的值为﹣1<x<0 或 4<x<5. 故答案为:﹣1<x<0 或 4<x<5. 点评: 本题考查了二次函数的图象的作法以及二次函数的性质, 正确理解函数图象的作法及 函数的性质是关键. 练 1. 【解析】首先根据二次项系数判断开口方向,然后把 y=3x ﹣6x 转化为 y=3(x﹣1) ﹣3,进而得到对称轴、顶点坐标以及最值. 解:∵二次函数 y=3x ﹣6x 二次项系数为 a=3,
2 2 2 2 2

5

∴开口向上,A 选项正确; ∵y=3x ﹣6x=3(x﹣1) ﹣3, ∴对称轴为 x=1,顶点坐标为(1,﹣3) ,B、C 正确; ∴当 x=1 时有最小值为﹣3,D 选项错误; 故选:D. 点评: 本题主要考查了二次函数的性质, 解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的顶点坐 标,对称轴以及开口方向等. 练 2. 【解析】把此二次函数化为顶点式或直接用公式法求其最值即可.根据抛物线的增减 性填空. 解:∵二次函数 y=2x ﹣4x+5 可化为 y=2(x﹣1) +3, ∴当 x=1 时,二次函数 y=2x ﹣4x+5 的最小值是 3, ∵抛物线的对称轴是 x=1,抛物线的开口方向向上, ∴当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小. 故答案是:1;3;x<1. 点评:本题考查了二次函数的性质.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图 象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法. 【例 2】 【解析】 抛物线的顶点在 x 轴上, 那么抛物线顶点坐标中的纵坐标为 0, 即 然后将已知的 a、b 的值代入上式中,即可求得 c 的值.
2 2 2 2 2

4a c b ? 4a

2

=0;

4c ? 4 4ac ? b 2 解:根据题意,得 =0,将 a=1,b=﹣2 代入得 =0,所以 c=1. 4 4a
故本题选 B. 点评:此题考查了顶点坐标的表示方法,解题的关键是理解题意. 练 3. 【解析】根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可. 解:由题意得, ? 故答案为:8. 点评:本题考查了二次函数的性质,熟记对称轴的求法是解题的关键. 练 4 【解析】根据抛物线的顶点公式求解即可. 解:由题意得, ?

?m =2 ,解得 m=8. 2? 2

m ? 1 ,解得 m=-2. 2 ?1
6

故答案为:-2. 点评:本题考查了二次函数的性质,熟记顶点坐标公式是解题的关键.

课后小测答案: 一、选择题 1. 【解析】 已知抛物线的解析式是一般式, 用配方法转化为顶点式, 根据顶点式的坐标特点, 直接写出顶点坐标. 解:∵ y ? ?

1 2 1 1 x +2x+1=﹣ (x2﹣4x)+1=﹣ (x﹣2)2+3, 2 2 2

∴顶点坐标是(2,3) . 故选 A. 点评:此题主要考查了二次函数的性质,二次函数 y=a(x﹣h) +k 的顶点坐标为(h,k) , 对称轴为 x=h,此题还考查了配方法求顶点式. 2. 【解析】顶点在 x 轴上,所以顶点的纵坐标是 0.据此作答. 解:根据题意,得 解得 c=16. 故选:D. 点评:本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式,比较简单. 3. 解:A、∵y=x ﹣2x﹣3, ∴x=0 时,y=﹣3, ∴函数图象与 y 轴的交点坐标是(0,﹣3) ,故本选项说法正确; B、∵y=x ﹣2x﹣3=(x﹣1) ﹣4, ∴顶点坐标是(1,﹣4) ,故本选项说法错误; C、∵y=x ﹣2x﹣3, ∴y=0 时,x ﹣2x﹣3=0, 解得 x=3 或﹣1, ∴函数图象与 x 轴的交点坐标是(3,0) 、 (﹣1,0) ,故本选项说法正确; D、∵y=x ﹣2x﹣3=(x﹣1) ﹣4, ∴对称轴为直线 x=1,
2 2 2 2 2 2 2 2

4c ? (?8) 2 =0 , 4 ?1

7

又∵a=1>0,开口向上, ∴x<1 时,y 随 x 的增大而减小, ∴x<0 时,y 随 x 的增大而减小,故本选项说法正确; 故选:B. 点评:本题考查了二次函数的性质,抛物线与坐标轴的交点坐标,掌握二次函数的性质是解 决本题的关键. 4. 【解析】根据二次函数的性质解题. 解:在函数 y=x ﹣4x+3 中 a=1>0, ∴此函数图象开口向上; 又∵a=1,b=﹣4,c=3, ∴﹣
2

b 4ac ? b 2 =2, =﹣1. 2a 4a

∴顶点坐标是(2,﹣1) ,且对称轴是 x=2, ∴故 D 正确; ∴令 x ﹣4x+3=0, 解得 x1=1,x2=3, ∴此函数图象和 x 轴有交点,求交点坐标是(1,0) ; (3,0) . 故 B 正确; 当 x<1 时,即说明 x 的取值范围在对称轴的左边, ∴y 随 x 的增大而减小,故 A 正确; 当 1<x<3 时,y 的值在 x 轴下方,∴y<0,故 C 错误. 故选:C. 点评:考查二次函数图象开口方向、顶点坐标、对称轴与增减性. 5.【解析】先求出二次函数 y=x ﹣4x﹣m 的图象的对称轴,然后判断出 A(2,y1) ,B(﹣3,
2 2

y2) ,C(﹣1,y3)在抛物线上的位置,再根据二次函数的增减性求解.
解:∵二次函数 y=x ﹣4x﹣m 中 a=1>0, ∴开口向上,对称轴为 x=﹣
2

b =2, 2a

∵A(2,y1)中 x=2,∴y1 最小, 又∵B(﹣3,y2) ,C(﹣1,y3)都在对称轴的左侧,

8

而在对称轴的左侧,y 随 x 得增大而减小,故 y2>y3. ∴y2>y3>y1. 故选:C. 点评:本题考查了二次函数的性质.关键是(1)找到二次函数的对称轴; (2)掌握二次函 数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象性质. 6. 【解析】先由直线 y=ax+b(a≠0)在第二、四象限,得出 a>0,b=0,再判断抛物线的 开口方向和对称轴. 解:∵直线 y=ax+b(a≠0)在第二、四象限, ∴a>0,b=0, 则抛物线 y=ax +bx+c 开口方向向上, 对称轴 x=0,即 y 轴. 故选 A. 点评: 本题考查了一次函数和二次函数的图象与其系数的关系, 先由一次函数的图象判断出
2 2

a、b 的正负,再根据二次函数的性质进行判断.
二、填空题 7. 【解析】 利用配方法先提出二次项系数, 再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式, 把一般式转化为顶点式. 解:由原抛物线方程,得

1 7 2 (x +2x)+ , 2 2 1 7 1 2 即 y= (x +2x+1)+ ﹣ , 2 2 2 1 2 ∴y= (x+1) +3; 2 1 2 故答案是:y= (x+1) +3. 2
y=
点评:本题考查了二次函数的解析式的三种形式: (1)一般式:y=ax +bx+c(a≠0,a、b、c 为常数) ; (2)顶点式:y=a(x﹣h) +k; (3)交点式(与 x 轴) :y=a(x﹣x1) (x﹣x2) . 8. 【解析】根据二次函数的增减性,结合条件可求得抛物线的对称轴方程,可得到关于 a 的方程,可求得答案.
2 2

9

解: ∵y=ax ﹣(a+1)x﹣2, ∴其对称轴方程为 x=
2

a ?1 , 2a

又当 x>1 时,y 的值随 x 的值增大而增大,当 x<1 时,y 的值随 x 的值增大而减小, ∴其对称轴为 x=1, ∴

a ?1 =1,解得 a=1, 2a

故答案为:1. 点评: 本题主要考查抛物线的对称轴及增减性, 掌握在对称轴两侧的增减性相反是解题的关 键. 9. 【解析】分三种情况考虑:对称轴在 x=﹣1 的左边,对称轴在﹣1 到 2 的之间,对称轴在

x=2 的右边,当对称轴在 x=﹣1 的左边和对称轴在 x=2 的右边时,可根据二次函数的增减性
来判断函数取最小值时 x 的值, 然后把此时的 x 的值与 y=﹣4 代入二次函数解析式即可求出

a 的值;当对称轴在﹣1 到 2 的之间时,顶点为最低点,令顶点的纵坐标等于﹣4,列出关于 a 的方程,求出方程的解即可得到满足题意 a 的值.
解:分三种情况: 当﹣a<﹣1 即 a>1 时,二次函数 y=x +2ax+a 在﹣1≤x≤2 上为增函数, 所以当 x=﹣1 时,y 有最小值为﹣4,把(﹣1,﹣4)代入 y=x +2ax+a 中解得:a=5; 当﹣a>2 即 a<﹣2 时,二次函数 y=x +2ax+a 在﹣1≤x≤2 上为减函数, 所以当 x=2 时,y 有最小值为﹣4,把(2,﹣4)代入 y=x +2ax+a 中解得:a=﹣ >﹣2,舍 去; 当﹣1≤﹣a≤2 即﹣2≤a≤1 时,此时抛物线的顶点为最低点, 所以顶点的纵坐标为
2 2 2 2

8 5

1 ? 17 1+ 17 4a ? 4a 2 =﹣4,解得:a= 或 a= >1,舍去. 4 2 2

综上,a 的值为 5 或

1 ? 17 . 2

故答案为:5 或

1 ? 17 2

点评:此题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法,是一道综合题.求二次函数最值 时应注意顶点能否取到.
10

三、解答题 10. 分析: (1)根据函数解析式可求出顶点坐标、对称轴及与坐标轴的交点;根据二次函数 的顶点、对称轴及与 y 轴的交点可画出图象; (2)根据确定的对称轴及顶点坐标确定其增减性即可. 解: (1)∵y= -2x +4x+6= -2(x -2x+1-1)+6=-2(x-1) +8, ∴顶点坐标为(1,8) ,对称轴为 x=1; 令 y= -2x +4x+6=0, 解得 x=-1 或 x=3, ∴抛物线与 x 轴的交点为(-1,0)和(3,0) ; 令 x=0,则 y=6, ∴抛物线与 y 轴的交点为(6,0) , 大致图象为:
2 2 2 2

(2)∵开口向下且对称轴为 x=1, ∴当 x<1 时,y 随 x 的增大而增大;当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小; 函数值有最大值,为 8. 点评: 本题考查了二次函数的性质, 解题的关键是能够确定函数的对称轴及顶点坐标以及抛 物线与坐标轴的交点坐标. 11. 【解析】 (1)直接将 y=0 代入

4ac ? b 2 =0 求出即可; 4a

(2)首先求出函数顶点坐标,设顶点在直线 y1=kx+b 上,代入函数解析式求出 k,b 的值即 可. (1)解:当 y=0 时,

4ac ? b2 4(m2 ? 1) ? (2m ? 1) 2 ?4m ? 5 = ? ? 0, 4a 4 4
11

解得:m=﹣

5 ; 4
2 2

(2)证明:函数 y=x +(2m+1)x+m ﹣1 的顶点坐标为: (? 设顶点在直线 y1=kx+b 上,则 ? 故﹣mk=﹣m,解得:k=1,b=

2m+1 ?4m ? 5 , ) 2 4

2m+1 ?4 m ? 5 k+b= , 2 4

3 , 4 3 上. 4

不论 m 取何值,该函数图象的顶点都在直线 y1=x﹣

点评:此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值求法,得出 k 的值是解题关键.

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