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三角函数模型的简单应用教学设计交流:宁波市镇海中学 钟清

时间:2010-06-03


人教A版(必修4)

宁波市镇海中学 钟清

目的:加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。
?例一:根据图象建立解析式

(研究温度随时间呈周期性变化的问题); 第 一 课 ?例二:根据解析式作出图象 时 (研究与正弦函数有关的简单函数y=|sinx|的图象及其周期);
?例三:将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 第 二 ?例四:利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数 课 拟合,从而得到函数模型 时 (研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题)。 (研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题);

备注:
①三角函数模型——三角函数关系 ②简单应用——学以致用,解决生活中的实际问题

教学目标: 1、知识目标:a通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初 步学会由图象求解析式的方法;b体验实际问题抽象为三角函数模 型问题的过程;c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型. 2、能力目标:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的 数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、 抽象概括等能力. 3、情感目标:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决 实际问题中的价值和作用,从而激发学生的学习兴趣,培养锲而不 舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

教学重点:根据已知图象求解析式;将实际问题抽象为三角函数模 型。
教学难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学 关系来建立数学模型,并调动相关学科的知识来解决问题.

函数模型的应用示例
正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx
?1、物理情景—— ?①简单和谐运动 ?②星体的环绕运动 2、心理、生理现象—— ①情绪的波动 ②智力变化状况 ③血压变化状况 3、地理情景—— ①气温变化规律 ②月圆与月缺 4、日常生活现象—— ①涨潮与退潮 ②车轮转动 ③峰谷电 …………

y ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0)

例题2
如果在宁波地区(纬度数约是北纬30o)的一幢高为ho 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不 被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 分析:根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为 ——南,北回归线之间的地带。画出图形如下,由 画图易知

h0

?
A B

?
C

解:图中A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳 全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况 来考虑,依题意两楼之间的距离应不小于PC。 根据太阳高度角的定义有

h0

P

?
A B C

北半球

太阳高度角的定义
如图,设地球表面某地 纬度值为? , 正午太阳高度角为? , 此时太阳直射纬度为?
那么这三个量之间的关 系是 ?

南半球
90? ? ?

?
地心
?

?

太阳光

?

? ? 90 ? | ? ? ? |

当地夏半年 ? 取正值, 冬半年 ? 取负值。

90 ?? ? ? ? ? 90? ? ? ?| ? ? ? |

? ? 90 ? | ? ? ? |
?

太阳光直射南半球
90? ? ?

?
地心

?

90 ?? ? ? ? ? ? 90 ? ? ?| ? ? ? |
?

?

太阳光

? ? 90 ? | ? ? ? |
?

解:图中A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳 全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况 来考虑,依题意两楼之间的距离应不小于PC。 根据太阳高度角的定义有 ?C ? 90? ? | 30? ? ? 23? 26' ) |? 36?34' (

h0 h0 ? ? 1.35h0 即在盖楼时, 所以 MC ? ? tan c tan 36 34' 为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当与楼高1.35倍的间距。

h0

?
15米

P

?
A B C

将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:

理解题意

建立三角 函数模型

求解

还原解答

例题3

一半径为3m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2m, 已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上点P从水中浮现时 开始计算时间。

(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;
y

(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间?

x

解(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转,建立平面直角坐标系。 设角 ? ? ?P 'Ox (0 ? ? ? ? ) 。 由OP在t(s)内所转过的角为 ( 4 ? 2? )t ? 2? t
2



可知以Ox为始边,OP为终边的角为 2? t ? ?
故点P的纵坐标为
2? 3sin( t ? ? ) 15
2 3

60

15


15

,则 z ? 3sin( 2? t ? ? ) ? 2
?

15

当t=0,z=0,可得

sin ? ?

.因为

故所求函数关系式为

2 2? z ? 3sin( t ? 0.73) ? 2 15

0?? ?

,所以? ? 0.73y . .

(2)令z ? 3sin(


2? ? t ? 0.73 ? 15 2

2? t ? 0.73) ? 2 ? 5 15

,得sin(

2? t ? 0.73) ? 1 15

.
?
x

,解得 t ? 5.5 .

即点P第一次到达最高点大约要5.5S.

小结:
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学 模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函 数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等. 2.建立三角函数模型的一般步聚:
现实问题
是否符合实际 修改

现实模型的解
还原 说明

改 造 抽象 概括

三角函数模型的解
数学 方法

解析式 图 形

现实模型

三角函数模型

体验探究
1、你能一刀削出一条正弦曲线吗? 提示:把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上,卷上 几圈,用刀斜着将纸筒削断,再把卷着的纸展开, 你就会看到:纸的边缘线是一条波浪形的曲线。

你知道吗?

这条曲线就是正弦曲线!

2、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象 编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗?

教学目标: 1、知识目标:能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模 型刻画数据所蕴涵的规律,能根据问题的实际意义,利用模型解释 有关实际问题,为决策提供依据。 2、能力目标:体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解 决现实问题的数学建模学习过程,使学生逐步养成运用信息技术工 具解决实际问题的意识和习惯; 使学生进一步提升对函数概念的 完整认识,培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力. 3、情感目标:体验探索和创造过程,从中获得成功的快乐,体会 学习数学知识的重要性,激发对数学的兴趣和树立自信心,渗透数 学与现实统一和谐之美。 教学重点:用三角函数模型刻画潮汐变化的规律,用函数思想解决 具有周期变化规律的实际问题。 教学难点:对问题实际意义的数学解释,从实际问题中抽象出三角 函数模型,并综合运用相关知识解决实际问题。

教学过程: 一、设置情境,呈现问题

二、探索实践,寻找模型
1、初步认识 2、深入探索 三、回归现实,提出问题 四、练习反馈,提高能力

五、总结提炼,延时探究

(一)设置情境,呈现问题 法国圣米切尔山

涨潮

落潮

海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现 象叫潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。

依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放。

宁波港地处我国大陆海岸线中部,南北和长江“ T ”型结构 的交汇点上,地理位置适中,是中国大陆著名的深水良港,分成宁 波老港区、镇海港区、北仑港区,宁波港水深流顺风浪小。进港航 道水深在 18.2 米 以上,20 万吨以下船舶自由进港,25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港。

1.依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放, 请设计一天内从上午到晚上之间,开放冲浪场所的具体时 间段,有多少时间可供冲浪者进行活动? 2.按安全条例规定,船何时安全进出港
(潮汐对轮船进出港口产生什么影响?) 上述的变化过程中,哪些量在发生变化?哪个是自变量? 哪个是因变量?

二、探索实践,寻找模型

1、初步认识

某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
时刻 0:00 3:00 6:00

水深/米7 .5 0
时刻 时刻
5 .0 0

5.0
9:00

7.5
12:00

5.0
15:00

水深/米2 .5 0
0

2.5
18:00 3 6
9 12

5.0
21:001 8 15
21 24

7.5
24:00

水深/米

5.0

2.5

5.0

(1)试着用图形描述这个港口从0时到24时水深的变化 问题一: 情况。(作出这些数据的散点图,并用平滑曲线连接)
(2)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间 的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到 0.001).

水深与时间的散点图 8 8

水深与时间的平滑线散点图

水深(米)

4 2 0 0 5 10 15 时间(小时) 20 25 30

水深(米)

6

6 4 2 0 0 5 10 15 时间(小时) 20 25 30

(4) 解:以时间为横坐标,以水深为纵坐标,在直角坐标系中描 出各点,并用平滑的曲线连接。 根据图象,可以考虑用函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? h 刻画 水深与时间的关系。 从数据和图象可以得出:A=2.5,h=5,T=12, ? 0 ?
2?



T ?

? y ? 2.5 sin

??

? 12, 得

??

?

6

x?5

6

y=2.5sin(π x/6)+5
8

水深(米)

6 4 2 0 0 5 10 15 时间(小时) 20 25 30

时 刻 水 深 时 刻 水 深

0.00

1:00

2:00

3:00

4:00

5:00

6:00

7:00

8:00

9:00

10:00 11:00

5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 12.00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754

2、深入探索
问题二:一条货船的吃水深度(船底与水面的距 离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全 间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港 口?在港口能呆多久?

xB ? 6 ? xA ? 5.6152 xA ? 0.3848 xC ? 12 ? xA ? 12.3848 xD ? 17.6152
y
时 刻 水 深 时 刻 水 深

0.00

1:00

2:00

3:00

4:00

5:00

6:00

7:00

8:00

9:00

10:00 11:00

B C 6 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 D 5.000 A 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
12.00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 4 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 2 9 12 24 x

y ? 5.5

O

3

6

15

18

21

在问题二的条件下,若货船在港口停留8小时以上, 则货船的吃水深度至多是多少?
y

6 4 2 9 12 24 x

A

B

C

D

O

3

6

15

18

21

y

6

4
2

A

B

C

D

O
时 刻
水 深

3

6

9

12

15

18

21

24

x

0.00

1:00

2:00

3:00

4:00

5:00

6:00

7:00

8:00

9:00

10:00 11:00

5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754

时 刻
水 深

12.00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754

(三)回归现实,提出问题

问题三:若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该 船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少, 那么该船在什么时候必须停止卸货,将船驶向较深的水域。
y

xP ? 6.715
P

在货船的安全水深正 好与港口水深相等时, 停止卸货吗?

6 4 2 9

y ? 5.5 ? 0.3( x ? 2)(x ? 2)
12 15 18 21 24 x

O

3

6

(四)练习反馈,提高能力 嘿,有挑战性!
现在该港口提高卸货效率,使得货轮的吃水深度以每 小时1米的速度减小,问该港口能否一次性接卸吃水深度 为6米的大货轮?(注:该货轮空载时的吃水深度为1米)
y

f ( x) ? 2.5sin
7 6 5 4

?
6

x ? x ? 5.5

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

O

-1

x

14

-2

-3

练习:某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24, 单位:小时)的函数,下表是测得的某日各时的浪高数据: t y 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 24

0.9 1.5 9 依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,请 设计一天内从上午到晚上(8:00—20:00)之间,开放冲浪 场所的具体时间段,有多少时间可供冲浪者进行活动?

(五)总结提炼,延时探究

小结反思:
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学 模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角 函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等.

2.建立三角函数模型的一般步聚:
搜集数据 利用计算机 作出相应的 散点图 进行函数 拟合得出 函数模型 利用函数 模型解决 实际问题

(一)阅读作业:通读教材,复习巩固,思考对具有周期 性实际问题函数处理的方法和手段

(二)书面作业:
(三)实践探究性作业: ①宁波港与潮汐 ②天安门广场国旗升降时间

宁波港地处我国大陆海岸线中部,南北和长江“ T ”型结构 的交汇点上,地理位置适中,是中国大陆著名的深水良港,分成 宁波老港区、镇海港区、北仑港区,宁波港水深流顺风浪小。进 港航道水深在 18.2 米 以上,20 万吨以下船舶自由进港,25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港。

(1) 请查阅宁波港的2006年12月潮汐表,以日期为横轴, 画出散点图,并用曲线去拟合这些数据,同时找出函数模型。 (2)请查阅各式货轮的吃水深,北仑港的航道水深及潮汐表, 考察30万吨以上“海上巨无霸”型货轮候潮进港的可能性? 我国主要港口2006年12月潮汐预报
http://www.coi.gov.cn/products/hyhj/tide/yubao.htm

天安门广场国旗的升降时间
天安门广场国旗的升降时间,是根据北京的日出日落时间确 定的,具体时间是由北京天文台的天文学家林亨专门计算的。早 晨,当太阳的上缘与天安门广场所见地平线相平到下缘离开地平 线(共2 分零 7 秒)为升旗时间,下缘落入地平线开始至上缘消 失为降旗时间。 由于日期不同,日出、日落也不同,这样国旗的升降时间也 有所差异。

中华人民共和国国旗网-天安门广场国旗升降时间表
http://www.chinaflag.org.cn/gqb/gqb_5.htm

宁波市镇海中学
钟清


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