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三角函数知识点和经典例题

时间:2015-10-26


遂宁市安居区西眉中学高 2017 级数学资料
(高中数学必修 4 第一章三角函数知识点及典型例题)2014 年 11 月

? 若 A、B、C 是 ?ABC 的三个内角,且 A ? B ? C (C ? ) ,则下列结论中正确的个 2 数是( ) ①. sin A ? sin C ②. cot A ? cot C ③. tan A ? tan C
[例 1] ④. cos A ? cos C A.1 B.2 C.3 D.4 错解:? A ? C ∴ sin A ? sin C , tan A ? tan C 故选 B 错因:三角形中大角对大边定理不熟悉,对函数单调性理解不到位导致应用错误 正解:法 1? A ? C 在 ?ABC 中,在大角对大边,? c ? a, ? sin C ? sin A 法2 考虑特殊情形,A 为锐角,C 为钝角,故排除 B、C、D,所以选 A . .

[例 2]已知 ? , ? 角的终边关于 y 轴对称,则 ? 与 ? 的关系为 错解:∵ ? , ? 角的终边关于 y 轴对称,∴

? ??
2

?

?
2

+ 2k? ,( k ? z )

错因:把关于 y 轴对称片认为关于 y 轴的正半轴对称. 正解:∵ ? , ? 角的终边关于 y 轴对称 ∴

? ??
2

?

?
2

? k? , (k ? Z ) 即 ? ? ? ? ? ? 2k? , (k ? z )

说明:(1)若 ? , ? 角的终边关于 x 轴对称,则 ? 与 ? 的关系为

? ? ? ? 2k? , (k ? Z )
(2)若 ? , ? 角的终边关于原点轴对称,则 ? 与 ? 的关系为

? ? ? ? (2k ? 1)? , (k ? Z )
(3)若 ? , ? 角的终边在同一条直线上,则 ? 与 ? 的关系为 ? ? ? ? k? , (k ? Z )

3 ? 4 ? , cos ? ? ,试确定 ? 的象限. 2 5 2 5 ? ? 3 ? 4 错解:∵ sin ? ? 0, cos ? ? ? 0 ,∴ 是第二象限角,即 2 2 5 2 5
[例 3] 已知 sin

?

2k? ?

?
2

? 2k? ? ? , k ? z.

1

从而 4k? ? ? ? 4k? ? 2? , k ? z. 故 ? 是第三象限角或第四象限角或是终边在 y 轴负半轴上的角. 错因:导出 定,

? ? 3 ? 4 是第二象限角是正确的,由 sin ? ? 0, cos ? ? ? 0 即可确 2 2 5 2 5

3 ? 4 ? , cos ? ? 不仅给出了符号,而且给出了具体的函数值,通过其 2 5 2 5 ? ? 值可进一步确定 的大小,即可进一步缩小 所在区间. 2 2 ? ? 3 ? 4 正解:∵ sin ? ? 0, cos ? ? ? 0 ,∴ 是第二象限角, 2 2 5 2 5
而题中 sin 又由 sin

?

?
2

?

3? ? 3 2 3? ? ? 2k? ? ? , k ? z 知 2k? ? ? ? sin 4 2 5 2 4

4k? ?

3? ? ? ? 4k? ? 2? , k ? z ,故 ? 是第四象限角. 2

[例 4]已知角 ? 的终边经过 P(?4a,3a)(a ? 0) ,求 sin ? , cos? , tan? , cot? 的值. 错解:? x ? ?4a, y ? 3a,? r ?

x 2 ? y 2 ? 5a

? sin ? ?

3a 3 ? 4a 4 3a 3 ? 4a 4 ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? , cot ? ? ?? 5a 5 5a 5 ? 4a 4 3a 3

错因:在求得 r 的过程中误认为 a ? 0 正解:若 a ? 0 ,则 r ? 5a ,且角 ? 在第二象限

? sin ? ?

3a 3 ? 4a 4 3a 3 ? 4a 4 ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? , cot ? ? ?? 5a 5 5a 5 ? 4a 4 3a 3

若 a ? 0 ,则 r ? ?5a ,且角 ? 在第四象限

? sin ? ?

3a 3 ? 4a 4 3a 3 ? 4a 4 ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? ? , cot ? ? ?? ? 5a 5 ? 5a 5 ? 4a 4 3a 3

说明:(1)给出角的终边上一点的坐标,求角的某个三解函数值常用定义求解; (2)本题由于所给字母 a 的符号不确定,故要对 a 的正负进行讨论. [例 5] (1)已知 ? 为第三象限角,则 角; (2)若 ? ? ?4 ,则 ? 是第 象限角.

? 是第 2

象限角, 2? 是第

象限

解:(1)?? 是第三象限角,即 2k? ? ? ? ? ? 2k? ?
2

3 ?,k ? Z 2

? k? ?

?
2

?

?

? 为第二象限角 2 ? 当 k 为奇数时, 为第四象限角 2
当 k 为偶数时,

3 ? k? ? ? , k ? Z , 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ? 3? , k ? Z 2 4

而 2? 的终边落在第一、二象限或 y 轴的非负半轴上. (2)因为 ?

3? ? ?4 ? ?? ,所以 ? 为第二象限角. 2

点评: ? 为第一、二象限角时,

? 为第二、四象限角,但是它们在以象限角平分线为界的不同区域. 2 [例 6]一扇形的周长为 20 cm ,当扇形的圆心角 ? 等于多少时,这个扇形的面积最
大?最大面积是多少? 解:设扇形的半径为 rcm,则扇形的弧长 l ? (20 ? 2r )cm 扇形的面积 S ?

? 为第一、三象限角, ? 为第三、四象限角时, 2

1 (20 ? 2r ) ? r ? ?(r ? 5) 2 ? 25 2

所以当 r ? 5cm 时,即 l ? 10 cm , ? ?

l ? 2 时 S max ? 25cm2 . r

点评:涉及到最大(小)值问题时,通常先建立函数关系,再应用函数求最值的方 法确定最值的条件及相应的最值. [例 7]已知 ? 是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? 。 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

解:原式=

1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 2 sin ? (1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 = ? ? 2 2 cos? cos? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

又 ? 是第三象限角,? cos ? ? 0 所以,原式= ?

2 sin ? ? ?2 tan ? 。 cos ?

点评:三角函数化简一般要求是:(1)尽可能不含分母;(2)尽可能不含根式; (3)尽可能 使三角函数名称最少;(4)尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基 本关系式脱去根式,进行化简. [例 8] A.一 若角 ? 满足条件 sin 2? ? 0, cos? ? sin ? ? 0 ,则 ? 在第( B.二 C.三 )象限 D.四

3

解: ? B.

?sin 2? ? 0 ?sin ? cos? ? 0 ?sin ? ? 0 ?? ?? ? ? 角在第二象限.故选 ?cos? ? sin ? ? 0 ?cos? ? sin ? ?cos? ? 0

[例 9] 已知 cos? ? ? cos? ,且 tan ? ? 0 . (1)试判断

sin(cos? ) 的符号; cos(sin? )

(2)试判断 lg(sin ? ? cos? ) 的符号. 解:(1)由题意, ? 1 ? cos ? ? 0 , 1 ? sin ? ? 0

? sin(cos? ) ? 0, cos(sin? ) ? 0 ,所以

sin(cos? ) ? 0. cos(sin? )

(2)由题意知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ? 1 ,所以 lg(sin? ? cos? ) ? 0 . 四、典型习题导练 1.已知钝角 ? 的终边经过点 P?sin 2? , sin 4? ? ,且 cos ? ? 0.5 ,则 ? 的值为 A. arctan ?? )

? 1? ?? 1? ? B. arctan ? 2?

C. ? ? arctan

1 2

D.

3? 4

2.角α 的终边与角β 的终边关于 y 轴对称,则β 为( ) A.-α B.л -α C.(2kл +1)л -α (k∈Z) D.kл -α (k∈Z) 3.若 sinα tgα ≥0,k∈Z,则角α 的集合为( )

? ? ? ? ,2k ? + ] B.( 2k ? - ,2k ? + ) 2 2 2 2 ? ? C.( 2k ? - ,2k ? + )∪ ?2k? ? ? ? D.以上都不对 2 2 4.当 0<x< ? 时,则方程 cos ( ? cosx)=0 的解集为( )
A.[2k ? - A. ? ,

?? 5? ? ? ?6 6 ?

B. ? ,

?? 2? ? ? ?3 3 ?

C. ?

?? ? ? ?3 ?

D. ?

? 2? ? ? ?3 ?

5.下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3 的大小关系是( A.cos3<tg3<ctg3<sine C.cot3<tan3<cos3<sin3 6.已知 x∈(0, ①sinx<x<tgx ③sin3x+cos3x<1

? ),则下面四式: 中正确命题的序号是 2

) B.sin3>cos3>tg3>ctg3 D.sin3>tan3>cos3>cot3 .

②sin(cosx)<cosx<cos(sinx) ④cos(sinx)<sin(cosx)<cosx π π π π 7.有以下四组角:(1)k ? + ;(2)k ? - ;(3)2k ? ± ;(4)-k ? + (k∈z)其中终边相同 2 2 2 2

4

的是( ) A.(1)和(2) C.(1)、(2)和(4)

B.(1)、(2)和(3) D.(1)、(2)、(3)和(4) )

8 . 若 角 α 的 终 边 过 点 (sin30°, - cos30°),则 sin α 等 于 (

A.

1 2

B.-

1 2

C.-

3 2

D.-

3 3

9.函数 y= 2 cos(?x ? ) ? 1 的定义域是______,值域是______. 3

?

三角函数基本关系式与诱导公式
一、知识导学 三、典型例题导讲

(0,?),则 cot ? ? __________ [例 1]已知 sin ? ? cos ? ? ,? ?
错解:两边同时平方,由 sin ? ? cos ? ? ?

1 5

12 1 与 sin ? ? cos ? ? , 得 25 5

(sin? ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 2 sin ? ? cos? ? cos2 ? ? 4 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ? 4 sin ? cos? 49 7 ? ?sin ? ? cos? ? ? 25 5 4 3 3 cos ? ? ? ,进而可求 cot ? . 解得: cot ? ? ? ∴ sin ? ? , 5 5 4 3 4 4 cos ? ? ,进而可求 cot ? . 解得: cot ? ? ? 或 sin ? ? ? , 5 5 3
错因:没有注意到条件 ? ? (0, ? ) 时,由于 sin ? ? cos ? ? 0 所以 sin ? ? cos ? 的值为正而导致错误.

(0,?), 正解: sin ? ? cos ? ? ,? ?
两边同时平方,有 sin ? ? cos ? ? ?

1 5

12 1 ? 0与 sin ? ? cos ? ? 联立, 25 5 4 3 3 cos ? ? ? , 求出 sin ? ? , ∴ cot ? ? ? 5 5 4

[例 2]若 sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B 为锐角且 a>1,0<b<1,求 tanA 的值

5

错解:由 ?

?sin A ? a sin B  ① ?cos A ? b cos B  ② ?sin A ? a sin B  ① ?cos A ? b cos B  ②
a2 ?1 a2 ? b2

得 tan A=

a tan B b

错因:对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示 正解:由 ? ①2+②2 得 a2sin2B+b2cos2B=1

∴cos2B=

∴sin2B=

1 ? b2 a2 ? b2

∴tan 2B=

1? b2 a2 ?1

1 ? b2 ∵B 为锐角 ∴tan B= a2 ?1
a ① a 1 ? b2 得 tan A= tan B= b ② b a2 ?1
[例 3]若函数 f ( x) ? 的值.

1 ? cos2 x 4 sin( ? x) 2

?

x x ? a sin cos(? ? ) 的最大值为 2,试确定常数 a 2 2

解 : f ( x) ?

2 cos2 x x x ? a sin cos 4 cos x 2 2 1 a ? cos x ? sin x 2 2 ?

1 a2 1 ? sin(x ? ? ), 其中角?满足 sin ? ? 4 4 1? a2 1 a2 由已知有 ? ? 4. 4 4 解之得, a ? ? 15.
点评:本试题将三角函数“

?
2

? ? , ? ? ? ”诱导公式有机地溶于式子中,考查了学

生对基础知识的掌握程度,这就要求同学们在学习中要脚踏实地,狠抓基础. [例 4]已知 tan

?
2

=2,求

(1) tan(? ?

?
4

) 的值;

(2)

6 sin ? ? cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

? 2 tan ? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; 解:(1)∵ tan =2, ∴ tan ? ? ? 1? 4 2 3 1 ? tan 2 2

6

4 ? ?1 tan ? ? 1 1 4 ? 所以 tan(? ? ) ? = 3 ?? ; 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 4 7 4 3

?

tan ? ? tan

?

4 6(? ) ? 1 4 7 6 sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 3 (2)由(I), tanα=- , 所以 = = ? . 4 3 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2 3(? ) ? 2 6 3
点评:本题设计简洁明了,入手容易,但对两角和与差的三角函数、同角间的基本 关系式要求熟练应用,运算准确. [例 5]化简: sin(

4n ? 1 4n ? 1 ? ? ? ) ? cos( ? ??) 4 4

(n ? z )

错解:原式 ? sin[ n? ? (

?

? sin(

?
4

? ? ) ? cos( ? ? ) ? cos(

?

4

? ? )] ? cos[ n? ? (

?

? cos(

?
4

?
4

4

? ? ) ? sin[ ??) ? 0

?
2

?(

?
4

4

? ? )]

? ? )] ? cos(

?
4

??)

错因:对三角函数诱导公式不完全理解,不加讨论而导致错误. 正解:原式 ? sin[ n? ? (

?

4

? ? )] ? cos[ n? ? (

?

4

? ? )]

(1)当 n ? 2k ? 1(k ? z ) ,时 原式 ? sin[ 2k? ? ? ? (

?
4

? ? )] + cos[ 2k? ? ? ? (

?
4

? ? )]
? ? ) =0

? sin(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

(2)当 n ? 2k (k ? z ) ,时 原式 ? sin[ 2k? ? (

?
4

? ? )] + cos[ 2k? ? (

?
4

? ? )]

? ? sin(

?
4

? ? )] + cos(

?
4

? ? ) =0


[例 6]若 sin ? A. ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =( ?6 ? 3 ? 3 ?
B. ?

7 9

1 3

C.

1 3

D.

7 9

错解: cos?

7 ? ? ? ? 2? ? ? 2? ? = cos[ ? ? ( ? 2? )] = cos( ? 2? ) =1—2 sin 2 ( ? ? ) = 9 3 3 6 ? 3 ?

错因:诱导公式应用符号错. 正解: cos?

? ? 2? ? ? 2? ? = cos[ ? ? ( ? 2? )] 3 ? 3 ?
7

7 .故选 A. 9 3 6 ? 1 [例 7].已知 ? ? x ? 0, sin x ? cos x ? . 2 5
=— cos(

?

? 2? ) =—1+2 sin 2 (

?

? ? ) =—

(1)求 sinx-cosx 的值;

x x x x ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 的值. (2)求 tan x ? cot x 1 1 , 解法一:(1)由 sin x ? cos x ? , 平方得 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? 5 25 24 49 ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? . 即 2 sin x cos x ? ? . 25 25 ? 7 又? ? ? x ? 0,? sin x ? 0, cos x ? 0, sin x ? cos x ? 0, 故 sin x ? cos x ? ? . 2 5 x x x x x 3 sin 2 ? sin cos ? cos2 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 2 2 2 ? 2 (2) sin x cos x tan x ? cot x ? cos x sin x 3 sin 2
? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) ? (? 12 1 108 ) ? (2 ? ) ? ? 25 5 125
① ②

1 ? ?sin x ? cos x ? , 解法二:(1)联立方程 ? 5 ?sin 2 ? cos2 x ? 1. ?
由①得 sin x ?

1 ? cos x, 将其代入②,整理得 25cos2 x ? 5 cos x ? 12 ? 0, 5 3 ? sin x?? , ? 3 4 ? ? 5 ?c o x s ? ? 或c o x s? . ? ? ? x ? 0,? ? 4 5 5 2 ?c o x s? . ? 5 ? 7 故 sin x ? cos x ? ? . 5 x x x x 3 sin 2 ? sin cos ? cos2 2 2 2 2 (2) tan x ? cot x x 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 ? sin x cos x ? cos x sin x

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) 3 4 4 3 108 ? (? ) ? ? (2 ? ? ) ? ? 5 5 5 5 125
8

点评:本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号 等基本知识,以及推理和运算能力.
sin α cos ? 2 2 + +cos α csc α 2 sec α - 1 csc 2 ? ? 1
2

2

[ 例 8] (1) 化 简 :

(2) 设 sin( α +

π 1 )= - , 且 sin2 α > 0 2 4

求 sin α ,tan α sin α cos α 解:原式= + 2 2 tan α cot α
2 2 2 2

+cos α csc α
2 2

2

2

=cos α +sin α +cos α csc α =1+cot α =csc α (2) 解 : 由 sin( α + π 1 1 )=- ∴ cos α =- ∵ sin2 α > 0∴ 2k π < 2 α < 2k π + π 2 4 4
2 2

k π < α <k π +

π (k∈ z) 2

∴α 为第一象限或第二象限的角

∵ cos α =-

1 <0 4

∴α 为第三角限角

15 sinα= - 1 - cos 2 α = 4

tan α=

sin α = cos α

15

点 评 :本 题 要 求 同 学 们 熟 练 掌 握 同 角 三 角 函 数 之 间 的 关 系 ,在 求 值 过 程 中 特 别 注 意三角函数值的符号的探讨.

点评:有部分同学可能会认为不等式组(*)两者没有公共部分,所以定义域为空集, 原因是没有正确理解弧度与实数的关系,总认为二者格格不入,事实上弧度也是实 数.[例 9] 已知 sin(? ? ) ?

? 4

7 2 7 ? , cos2? ? , 求 sin ?及 tan(? ? ) . 10 25 3

解法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得

7 2 ? 2 ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos?) 10 4 2
9

即 sin ? ? cos ? ?

7 5



由题设条件,应用二倍角余弦公式得

7 7 ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ?)(cos ? ? sin ?) ? ? (cos ? ? sin ?) 25 5 1 故 cos ? ? sin ? ? ? ② 5 3 4 3 由①式和②式得 sin ? ? , cos ? ? ? .因此, tan ? ? ? ,由两角和的正切公式 5 5 4

3 ? tan? ? 3 4 ? 4 3 ? 3 ? 48 ? 25 3 . tan(? ? ) ? ? 4 1 ? 3 tan? 11 3 3 4?3 3 1? 4 3?
解法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得

7 9 3 ? cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? 解得 sin 2 ? ? , 即 sin ? ? ? 25 25 5
由 sin(? ? ) ? 由于 sin ? ?

? 4

7 2 7 , 可得sin ? ? cos? ? 10 5

7 7 ? cos ? ? 0, 且 cos ? ? sin ? ? ? 0 , 5 5 3 故 ? 在第二象限,于是 sin ? ? . 5 7 4 从而 cos ? ? sin ? ? ? ? (以下同解法一). 5 5 点评: sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? 三个式子,据方程思想知一可求
其二 (因为其间隐含着平方关系式 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ) ,在求值过程中要注意符号的讨 论.

10


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