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北京市西城区2015届高三上学期期末考试数学文试题及答案

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北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末试卷 高三数学(文科) 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 2015.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {?1, 0,1, 2} , B ? {x | x2 ? x} ,则集合 A (A) {?1, 0,1} (B) {?1, 2} B?( ) (D) {?1,1, 2} (C) {0,1, 2} 2.设命题 p : ?x ? 0, 2x ? log2 x ,则 ? p 为( (A) ?x ? 0, 2x ? log2 x (C) ?x ? 0, 2x ? log2 x ) (B) ?x ? 0, 2x ≤log2 x (D) ?x ? 0, 2x≥log2 x 3.在锐角 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a ? 2b ,sin B ? 3 ,则( 4 2 3 ) (A) A ? ? 3 (B) A ? ? 6 (C) sin A ? 3 3 (D) sin A ? 4.执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为( (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 ) 开始 a=2,x=3 y ? ax y ? 10 x ? 3 是 输出 x 结束 否 x=x+1 5.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,则“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 为奇函数”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ) 6. 某天,甲要去银行办理储蓄业务,已知银行的营业时间为 9:00 至 17:00,设甲在当天 13:00 至 18:00 之间任何时间去银行的可能性相同,那么甲去银行恰好能办理业务的概率是 ( ) (A) 1 3 (B) 3 4 (C) 5 8 (D) 4 5 7.设抛物线 W : y 2 = 4 x 的焦点为 F, 过 F 的直线与 W 相交于 A, B 两点, 记点 F 到直线 l: x= - 1 的距离为 d ,则有( (A) | AB | ≥2d (C) | AB | ≤2d ) (B) | AB |= 2d (D) | AB |< 2d 8. 如图,在空间四边形 ABCD 中,两条对角线 AC , BD 互相垂直,且长度分别为 4 和 6,平行 于这两条对角线的平面与边 AB, BC, CD, DA 分别相交于点 E , F , G, H ,记四边形 EFGH 的面积 为 y,设 BE = x ,则( AB ) (A)函数 y = f ( x) 的值域为 (0, 4] (B)函数 y = f ( x) 的最大值为 8 A H E B D F 2 (C)函数 y = f ( x) 在 (0, ) 上单调递减 3 (D)函数 y = f ( x) 满足 f ( x) = f (1- x) G C 第Ⅱ卷(非选择题 i ,则 | z |? ______. 1? i 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数 z ? 10.设平面向量 a , b 满足 | a |? 3 , | b |? 2 , a ? b ? ?3 ,那么 a , b 的夹角 ? ? ____. 2 11.一个四棱锥的三视图如图所示,那么这个四棱锥最 长棱的棱长为_____. 1 1 正(主)视图 2 1 侧(左)视图 1 1 俯视图 12.设 F1 , F2 为双曲线 C: x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,且直线 y ? 2 x 为双曲线 C a 2 b2 的一条渐近线,点 P 为 C 上一点,如果 | PF 1 | ? | PF 2 |? 4 ,那么双曲线 C 的方程为____;离心 率为_____. 13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品,已知签字笔每支 5 元,铅笔盒每个 6 元,花费总额不能超过 50 元. 为了便于学生选择,购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于 3 个,那么该教师有_______种不同的购买奖品方案. 14. 设函数 f ( x) ? ? ?| x ? a |, x≤1, ?log3 x, x ? 1. (1)如果 f (1) ? 3 ,那么实数 a ? ___; (2)如果函数 y ? f ( x) ? 2 有且仅有两个零点,那么实数 a 的取值范围是___. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 2 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ( x ? ) ,x∈R . π 4 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)判断函数 f ( x ) 在区间 [ ? π π , ] 上是否为增函数?并说明理由. 6 6 16. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a2 ? 5 ,且其前 n 项和 Sn ? pn2 ? n . (Ⅰ)求 p 的值和数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设数列 {bn } 为等比数列, 公比为 p , 且其前 n 项和 Tn 满足 T5 ? S5 , 求 b1 的取值范围. 17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 A ? 底面 ABCD , ?BAD ? 90 , AD // BC ,且 A1 A ? AD ? 2BC ? 2 , AB ? 1 . 点 E 在棱 AB 上,平面 A1EC 与棱 C1D1 相交于点 F. (Ⅰ)求证: A1F ∥平面 B1CE ; A1 (Ⅱ)求证: AC ? 平面 CDD1C1 ; (Ⅲ)写出三

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