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第二讲 空间点、直线、平面的位置关系

时间:2016-12-04


第二讲

空间点、直线、平面的位置关系

1.点、线、面的位置关系 (1)公理 1 ∵A∈α,B∈α,∴AB?α. (2)公理 2 ∵A,B,C 三点不共线,∴A,B,C 确定一个平面. (3)公理 3 ∵P∈α,且 P∈β,∴α∩β=l,且 P∈l. 三个推论:①过两条相交直线有且只有一个平面. ②过两条平行直线有且只有一个平面. ③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面. (4)公理 4 ∵a∥c,b∥c,∴a∥b. (5)等角定理 ∵OA∥O1A1,OB∥O1B1, ∴∠AOB=∠A1O1B1 或∠AOB+∠A1O1B1=180° . 2.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理 ∵a?α,b?α,a∥b,∴a∥α. (2)线面平行的性质定理 ∵a∥α,a?β,α∩β=b,∴a∥b. (3)面面平行的判定定理 ∵a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α,∴α∥β. (4)面面平行的性质定理 ∵α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,∴a∥b. 3.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理 ∵m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n,∴l⊥α. (2)线面垂直的性质定理 ∵a⊥α,b⊥α,∴a∥b. (3)面面垂直的判定定理 ∵a?β,a⊥α,∴α⊥β. (4)面面垂直的性质定理 ∵α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l,∴a⊥β.

1.(2013· 安徽)在下列命题中,不是公理的是 A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

(

)

C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A 解析 B、C、D 选项是公理. 2.(2013· 广东)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是

( A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B.若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β 答案 D

)

解析 A 中, m 与 n 可垂直、 可异面、 可平行; B 中 m 与 n 可平行、 可异面; C 中若 α∥β, 仍然满足 m⊥n,m?α,n?β,故 C 错误;故 D 正确. 3.(2013· 课标全国Ⅱ)已知 m, n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n, l?α,l?β,则 A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 答案 D 解析 假设 α∥β,由 m⊥平面 α,n⊥平面 β,则 m∥n,这与已知 m,n 为异面直线矛 盾,么 α 与 β 相交,设交线为 l1,则 l1⊥m,l1⊥n,在直线 m 上任取一点作 n1 平行于 n, 那么 l1 和 l 都垂直于直线 m 与 n1 所确定的平面,所以 l1∥l. 4.(2012· 安徽)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内, 且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 当 α⊥β 时,由于 α∩β=m,b?β,b⊥m,由面面垂直的性质定理知,b⊥α. 又∵a?α,∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件. 而当 a?α 且 a∥m 时,∵b⊥m,∴b⊥a. 而此时平面 α 与平面 β 不一定垂直, ∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件,故选 A. 5.(2013· 浙江)在空间中,过点 A 作平面 π 的垂线,垂足为 B,记 B=fπ(A).设 α、β 是两个 不同的平面,对空间任意一点 P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有 PQ1=PQ2, 则( ) A.平面 α 与平面 β 垂直 B.平面 α 与平面 β 所成的(锐)二面角为 45° B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) ( )

C.平面 α 与平面 β 平行 D.平面 α 与平面 β 所成的(锐)二面角为 60° 答案 A 解析 本题关键是理解 B=fπ(A)的含义. 若平面 α 与平面 β 不垂直. 在其中一个平面 α 上取一点 P.则 PQ1≠PQ2. 所以平面 α 与平面 β 垂直,故选 A.

题型一 空间点、线、面的位置关系 例1 对于四面体 ABCD,下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点 A 作四面体的高, 其垂足是△BCD 三条高线的交点;③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重 合; ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线, 所得的三条线段相交于一点. 审题破题 可以画出四面体 ABCD 的直观图,根据图形分析点、线、面的位置关系. 答案 ①④⑤ 解析 若 AB 与 CD 共面,ABCD 就成了平面图形,故①对; 若垂足为△BCD 高线的交点,必推出对棱垂直,故②错; 只有当以 AB 为底的三角形是等腰三角形时,垂足才能重合, 故③错; 设垂足为 O,过 O 作 OE⊥CD 于 E,连接 AE,则 OE<AE. 1 ∴S△COD= CD· OE<S△ACD 2 1 = CD· AE. 2 同理可得 S△ABD>S△BOD,S△ABC>S△BOC, ∴S△ACD+S△ABC+S△ABD>S△BCD.故④对. 如图,点 E、F、G、H、M、N 为各边中点,这样可得到?EFGH 和 ?ENGM 它们的对角线 EG 和 FH 互相平分,EG 和 MN 也互相平分. 因此,三条线段 EG,FH,MN 交于一点,故⑤对. 反思归纳 准确画出相应的几何体, 结合该几何体来研究各命题的真假. 若判定一个命 题为假,只需举一反例(特殊状态、特殊位置、特殊图形)即可.有时用反证法来判断也 可以. 变式训练 1 (1)给出下列关于互不相同的直线 m,n,l 和平面 α、β 的四个命题:

①m?α,l∩α=A,A?m,则 l 与 m 不共面; ②l、m 是异面直线,l∥α,m∥α,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥α; ③若 l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则 α∥β; ④若 l∥α,m∥β,α∥β,则 l∥m. 其中假命题的序号是__________. 答案 ④ 解析 命题①可用反证法证明成立;命题②利用线面平行的性质,过 l、m 分别作平面 γ、δ 交平面 α 于 l′,n′,易知 n⊥l′,n⊥m′且 m′,n′相交,故 n⊥α;命题③ 即为面面平行的判定定理;命题④中 l,m 可以平行、相交,也可以异面. (2)若 P 是两条异面直线 l,m 外的任意一点,则下列命题中假命题的序号是________. ①过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行;②过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂 直;③过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交;④过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面. 答案 ①③④ 解析 可以利用模型进行判断. 题型二 平行关系与垂直关系 例2 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,E、 G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点,且 AD=PD=2MA.

(1)求证:平面 EFG∥平面 PMA; (2)求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (3)求三棱锥 P-MAB 与四棱锥 P-ABCD 的体积之比. 审题破题 (1)证明 EG、FG 都平行于平面 PMA.(2)证明 GF⊥平面 PDC.(3)设 MA 为 1, 从而其他边的长度都可表示,问题可求解. (1)证明 ∵E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点, ∴EG∥PM,GF∥BC. 又∵四边形 ABCD 是正方形, ∴BC∥AD,∴GF∥AD. ∵EG、GF 在平面 PMA 外,PM、AD 在平面 PMA 内, ∴EG∥平面 PMA,GF∥平面 PMA. 又∵EG、GF 都在平面 EFG 内且相交,

∴平面 EFG∥平面 PMA. (2)证明 由已知 MA⊥平面 ABCD,PD∥MA, ∴PD⊥平面 ABCD. 又 BC?平面 ABCD,∴PD⊥BC. ∵四边形 ABCD 为正方形,∴BC⊥DC. 又 PD∩DC=D,∴BC⊥平面 PDC. 在△PBC 中,∵G、F 分别为 PB、PC 的中点, ∴GF∥BC,∴GF⊥平面 PDC. 又 GF?平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 PDC. (3)解 ∵PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1,则 PD=AD=2.

∵DA⊥平面 MAB,且 PD∥MA, ∴DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离, 1 1 ∴VP-MAB∶VP-ABCD= S△MAB· DA∶ S 正方形 ABCD· PD 3 3 1 ? =S△MAB∶S 正方形 ABCD=? ?2×1×2?∶(2×2)=1∶4. 反思归纳 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下: (1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行; 二是利用平行四边形进行平行转换; 三是利用三角形的中位线定理证线线平行; 四是利 用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;②勾股定理; ③线面垂直的性质: 即要证两线垂直, 只需证明一线垂直于另一线所在平面即可, l⊥α, a?α?l⊥a. 变式训练 2 (2013· 北京)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平 面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别为 CD、PC 的中点.求证:

(1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 证明 (1)平面 PAD∩平面 ABCD=AD.

又平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA⊥AD. ∴PA⊥底面 ABCD. (2)∵AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点,

∴AB∥DE,且 AB=DE. ∴ABED 为平行四边形.∴BE∥AD. 又∵BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD. (3)∵AB⊥AD,且四边形 ABED 为平行四边形. ∴BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD,则 PA⊥CD, ∴CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD, 又 E、F 分别为 CD、CP 的中点, ∴EF∥PD,故 CD⊥EF. 由 EF,BE 在平面 BEF 内,且 EF∩BE=E, ∴CD⊥平面 BEF. ∴平面 BEF⊥平面 PCD. 题型三 空间线面关系的综合问题 例3 如图所示,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC,F 为 CE 上的点, 且 BF⊥平面 ACE.

(1)求证:AE⊥BE; (2)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平 面 DAE. 审题破题 (1)通过线面垂直证明线线垂直.(2)这是一道探索性问题,先确定点 N 的位 置,再进行证明.要注意解题的方向性,通过寻找到的条件,证明 MN∥平面 DAE 成立. (1)证明 ∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面 ABE, ∵AE?平面 ABE,∴AE⊥BC. 又∵BF⊥平面 ACE,AE?平面 ACE, ∴AE⊥BF, ∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE, 又 BE?平面 BCE,∴AE⊥BE. (2)解 在△ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点,在△BEC 中过 G 点作 GN∥BC 1 交 EC 于 N 点,连接 MN,则由比例关系易得 CN= CE. 3 ∵MG∥AE,MG?平面 ADE,AE?平面 ADE, ∴MG∥平面 ADE.

同理,GN∥平面 ADE.又∵GN∩MG=G, ∴平面 MGN∥平面 ADE. 又 MN?平面 MGN,∴MN∥平面 ADE. ∴N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点. 反思归纳 解决探究某些点或线的存在性问题,一般方法是先研究特殊点(中点、三等

分点等)、特殊位置(平行或垂直),再证明其符合要求,一般来说是与平行有关的探索性 问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形. 变式训练 3 (2013· 浙江)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=BC=2,AD =CD= 7,PA= 3,∠ABC=120° .G 为线段 PC 上的点.

(1)证明:BD⊥平面 APC; (2)若 G 为 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成角的正切值; (1)证明 设点 O 为 AC、BD 的交点. 由 AB=BC,AD=CD,得 BD 是线段 AC 的中垂线. 所以 O 为 AC 的中点,BD⊥AC. 又因为 PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 所以 PA⊥BD,且 AC∩PA=A. 所以 BD⊥平面 APC. (2)解 连接 OG.由(1)可知 OD⊥平面 APC,

则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG, 所以∠OGD 是 DG 与平面 APC 所成的角. 1 3 由题意得 OG= PA= . 2 2 在△ABC 中,AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos∠ABC=2 3. 1 所以 OC= AC= 3. 2 在 Rt△OCD 中,OD= CD2-OC2=2. OD 4 3 在 Rt△OGD 中,tan∠OGD= = . OG 3 4 3 所以 DG 与平面 APC 所成角的正切值为 . 3

典例

π (12 分)如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=BC=2,P 为 AB 边上一动点,PD∥BC 2

交 AC 于点 D,现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′,使平面 PDA′⊥平面 PBCD.

(1)当棱锥 A′-PBCD 的体积最大时,求 PA 的长. (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A′C 的中点,求证:A′B⊥DE. 规范解答 (1)解 令 PA=x(0<x<2), 则 A′P=PD=x, BP=2-x.因为 A′P⊥PD, 且平面 A′PD⊥ 平面 PBCD, 故 A′P⊥平面 PBCD. 1 所以 VA′-PBCD= Sh 3 1 1 = (2-x)(2+x)x= (4x-x3). 6 6 1 令 f(x)= (4x-x3), 6 1 2 3 由 f′(x)= (4-3x2)=0,得 x= (负值舍去). 6 3 2 3? 当 x∈?0, 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 3 ? ? 2 3 ? 当 x∈? 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. ? 3 ,2? 2 3 所以当 x= 时,f(x)取得最大值. 3 2 3 故当 VA′-PBCD 最大时,PA= . 3 (2)证明 设 F 为 A′B 的中点,如图所示,连接 PF,FE, 1 1 则有 EF 綊 BC,PD 綊 BC. [10 2 2 分] 所以 EF 綊 PD. 所以四边形 EFPD 为平行四边形.所以 DE∥PF. 又 A′P=PB,所以 PF⊥A′B,故 DE⊥A′B.[12 分] 评分细则 (1)从已知条件得到 A′P⊥平面 PBCD, 得 2 分; (2)f(x)的单调区间写成闭区 间不扣分;少一个区间扣 1 分;(3)辅助线没有按要求画出或实虚错误扣 1 分. 阅卷老师提醒 (1) 解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改

[4 分] [5 分]

[7 分]

[8 分]

变,哪些不变,抓住翻折前后不变的量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.

(2)把平面图形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥,从而把问题转化到我 们熟悉的几何体中解决.

1.关于直线 a、b、c,以及平面 M、N,给出下列命题: ①若 a∥M,b∥M,则 a∥b; ②若 a∥M,b⊥M,则 a⊥b; ③若 a∥b,b∥M,则 a∥M; ④若 a⊥M,a∥N,则 M⊥N. 其中正确命题的个数为 A.0 答案 C 解析 ①中 a 与 b 可以相交或平行或异面,故①错.③中 a 可能在平面 M 内,故③错, 故选 C. 2.下列命题中,m、n 表示两条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面. ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;③若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ④若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ. 正确的命题是 A.①③ 答案 C 解析 ②平面 α 与 β 可能相交,③中 m 与 n 可以是相交直线或异面直线.故②③错, 选 C. 3.(2012· 四川)下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 答案 C 解析 A 错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条母线相交; B 错误,△ABC 的三个顶点中,A、B 在 α 的同侧,而点 C 在 α 的另一侧,且 AB 平行 于 α,此时可有 A、B、C 三点到平面 α 距离相等,但两平面相交; D 错误,如教室中两个相邻墙面都与地面垂直,但这两个面相交,故选 C. 4. 如图所示, 在四边形 ABCD 中, AD∥BC, AD=AB, ∠BCD=45° , ∠BAD=90° , 将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中, ( ) B.②③ C.①④ D.②④ ( ) B.1 C.2 D.3 ( )

下列命题正确的是

(

)

A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 答案 D 解析 由题意知,在四边形 ABCD 中,CD⊥BD.在三棱锥 A-BCD 中,平面 ABD⊥平 面 BCD,两平面的交线为 BD,所以 CD⊥平面 ABD,因此有 AB⊥CD.又因为 AB⊥AD, AD∩DC=D,所以 AB⊥平面 ADC,于是得到平面 ADC⊥平面 ABC. 5. 如图, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, O 是底面正方形 ABCD 的中心, M 是 D1D 的中点, N 是 A1B1 上的动点,则直线 NO、AM 的位置关系是 ( )

A.平行 C.异面垂直 答案 C

B.相交 D.异面不垂直

解析 易证 ON 在平面 A1ADD1 上的射影与 AM 垂直,进而可证得 ON⊥AM. 6.若 l 为一条直线,α,β,γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β;②α⊥γ,β∥γ?α⊥β;③l∥α,l⊥β?α⊥β. 其中正确的有________. 答案 ②③ 解析 正方体中一个对角面和一个侧面都与底面垂直, 但这两个面不垂直, 故命题①不 正确;若 α⊥γ,在平面 α 内作平面 α 与平面 γ 的交线的垂线 m,根据面面垂直的性质 定理,m⊥γ,又 β∥γ,故 m⊥β,这样平面 α 过平面 β 的一条垂直,故 α⊥β,命题②正 确;过直线 l 作平面 δ 交平面 α 于直线 n,根据线面平行的性质定理,l∥n,又 l⊥β, 故 n⊥β,这样平面 α 就过平面 β 的一条垂线,故 α⊥β,故命题③正确.

专题限时规范训练
一、选择题 1.若平面 α∥平面 β,直线 a?α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中

(

)

A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一与 a 平行的直线 答案 D 解析 由直线 a 与 B 确定的平面与 β 有唯一交线.故存在唯一与 a 平行的直线. 2.设 m,n 为两条直线,α,β 为两个平面,则下列四个命题中,正确的命题是 A.若 m?α,n?α,且 m∥β,n∥β,则 α∥β B.若 m∥α,m∥n,则 n∥α C.若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 m,n 为两条异面直线,且 m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则 α∥β 答案 D 解析 选项 A 中的直线 m、n 可能不相交;选项 B 中直线 n 可能在平面 α 内;选项 C 中直线 m,n 的位置可能是平行、相交或异面.故选 D. 3.下列命题中错误的是 A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 答案 D 解析 两个平面 α,β 垂直时,设交线为 l,则在平面 α 内与 l 平行的直线都平行于平面 β, 故 A 正确; 如果平面 α 内存在直线垂直于平面 β, 那么由面面垂直的判定定理知 α⊥β, 故 B 正确;两个平面都与第三个平面垂直时,易证交线与第三个平面垂直,故 C 正确; 两个平面 α,β 垂直时,平面 α 内与交线平行的直线与 β 平行,故 D 错误. 4.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 AB 上的动点,则直线 A1D 与直线 C1E 所成的角等 于 ( A.60° C.30° 答案 B 解析 在正方体中,显然有 A1D⊥AB,A1D⊥AD1, 所以 A1D⊥面 AD1C1B,又 C1E?面 AD1C1B,故 A1D⊥C1E.故选 B. 5. 如图, 若 Ω 是长方体 ABCD—A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EB1F-HC1G 所得到的 B.90° D.随点 E 的位置而变化 ) ( ) ( )

几何体, 其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点, F 为线段 BB1 上异于 B1 的点, 且 EH∥A1D1, 则下列结论中不正确的是 ( )

A.EH∥FG C.Ω 是棱柱 答案 D

B.四边形 EFGH 是矩形 D.Ω 是棱台

解析 A 中,∵EH∥A1D1,∴EH∥BC, ∴EH∥平面 BCC1B1. 又过 EH 的平面 EFGH 与平面 BCC1B1 交于 FG, ∴EH∥FG.故 A 成立. B 中,易得四边形 EFGH 为平行四边形, ∵BC⊥平面 ABB1A1, ∴BC⊥EF,即 FG⊥EF. ∴四边形 EFGH 为矩形.故 B 正确. C 中可将 Ω 看作以 A1EFBA 和 D1DCGH 为上下底面,以 AD 为高的棱柱.故 C 正确. 6.如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,AC∩EF=G.现在沿 AE、EF、 FA 把这个正方形折成一个四面体,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 P,则在四 面体 P-AEF 中必有 ( )

A.AP⊥△PEF 所在平面 C.EP⊥△AEF 所在平面 答案 A

B.AG⊥△PEF 所在平面 D.PG⊥△AEF 所在平面

解析 在折叠过程中,AB⊥BE,AD⊥DF 保持不变. AP⊥PE ∴

? ? AP⊥PF ??AP⊥面 PEF. PE∩PF=P? ?

7.已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的

( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析 由平面与平面垂直的判定定理知, 如果 m 为平面 α 内的一条直线, m⊥β, 则 α⊥β, 反过来则不一定.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件. 8.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,有下列命题: ①若 m?α,n∥α,则 m∥n;②若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ③若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α;④若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β. 其中真命题的个数是 A.1 个 答案 A 解析 ①②③不成立,故选 A. 二、填空题 9.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥ 平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于______. B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( )

答案

2

解析 由于在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2, ∴AC=2 2. 又 E 为 AD 的中点,EF∥平面 AB1C,EF?平面 ADC, 平面 ADC∩平面 AB1C=AC,∴EF∥AC, 1 ∴F 为 DC 的中点,∴EF= AC= 2. 2 10.如图所示,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H 分别为 DE,AF 的中点,将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成正四面体 PDEF(点 A、B、C 重合后记为 P), 则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成角的余弦值为________.

答案

2 3

解析 折成的正四面体如图所示,连接 HE,取 HE 的中点 K,连接

GK,PK,则 GK∥DH,故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或其补角.设这个正四面 3 体的棱长为 2,在△PGK 中,PG= 3,GK= ,PK= 2 12+? 7 3?2 = , ?2? 2

3 7 ? 3?2+? ?2-? ?2 ?2? ?2? 2 故 cos∠PGK= = . 3 3 2× 3× 2 2 即异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值是 . 3 11.如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂直于圆 O 所在的平 面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题:

①PA∥平面 MOB; ②MO∥平面 PAC; ③OC⊥平面 PAC; ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 答案 ②④ 解析 ①错误,PA?平面 MOB;②正确;③错误,否则,有 OC⊥AC,这与 BC⊥AC 矛盾;④正确,因为 BC⊥平面 PAC. 12.已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球面上,若 PA,PB,PC 两 两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________. 3 答案 3 解析 如图,作 PM⊥面 ABC,设 PA=a, 6 则 AB= 2a,CM= a, 3 3 PM= a. 3 设球的半径为 R, 3 6 所以? a-R?2+? a?2=R2, ?3 ? ?3 ? 将 R= 3代入上式, 2 3 解得 a=2,所以 d= 3- 3= . 3 3

三、解答题 13.(2013· 江苏)如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.

求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA. 证明 (1)由 AS=AB,AF⊥SB 知 F 为 SB 的中点,

则 EF∥AB,FG∥BC, 又 EF∩FG=F,因此平面 EFG∥平面 ABC. (2)由平面 SAB⊥平面 SBC,且 AF⊥SB, 知 AF⊥平面 SBC,则 AF⊥BC. 又 BC⊥AB,AF∩AB=A,则 BC⊥平面 SAB, 又 SA?平面 SAB,因此 BC⊥SA. 14.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC.

(1)求证:平面 AB1C1⊥平面 AC1; (2)若 AB1⊥A1C,求线段 AC⊥AA1 长度之比; (3)若 D 是棱 CC1 的中点, 问在棱 AB 上是否存在一点 E,使 DE∥平面 AB1C1?若存在, 试确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由. (1)证明 由于 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 B1C1⊥CC1. 又因为 AC⊥BC,所以 B1C1⊥A1C1, 又 CC1∩A1C1=C1,所以 B1C1⊥平面 AC1. 由于 B1C1?平面 AB1C1,从而平面 AB1C1⊥平面 AC1. (2)解 由(1)知,B1C1⊥A1C.

所以,若 AB1⊥A1C,则可得:A1C⊥平面 AB1C1, 从而 A1C⊥AC1. 由于 ACC1A1 是矩形,故 AC 与 AA1 长度之比为 1∶1. (3)解 点 E 位于 AB 的中点时,能使 DE∥平面 AB1C1. 设 F 是 BB1 的中点,连接 DF、EF、DE.

则易证:平面 DEF∥平面 AB1C1,从而 DE∥平面 AB1C1.


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