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第四篇 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

时间:2013-06-04


第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

A级

基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. sin 20° 20° cos cos 50° = A.2 2 B. 2 C. 2 1 D.2 ( ).

sin 40° sin 40° 1 解析 原式=2cos 50° 2sin 40° 2. = = 答案 D 1+cos 2α 1 2.(2013· 汕头调研)若 sin 2α =2,则 tan 2α 等于 5 A.4 5 B.-4 4 C.3 4 D.-3 ( ).

1+cos 2α 2cos2α cos α 1 解析 sin 2α =2sin αcos α= sin α =2, ∴tan α=2,∴tan 2α= 答案 D cos 2θ ?π ? 3.若 tan?4-θ?=3,则 = ? ? 1+sin 2θ A.3 B.-3 3 C.4 3 D.-4 ( ). 2tan α 4 4 =-3,故选 D. 2 = 1-tan α 1-4

1 ?π ? 1-tan θ 解析 ∵tan?4-θ?= =3,∴tan θ=-2. ? ? 1+tan θ cos2θ-sin2θ cos 2θ ∴ = 1+sin 2θ sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ 1 1-4 1-tan2θ = 2 = =3. tan θ+2tan θ+1 1 -1+1 4

答案 A π? 4? ? 4. (2013· 东北三校)已知 sin θ+cos θ=3?0<θ<4?, sin θ-cos θ 的值为 则 ? 2 A. 3 2 B.- 3 1 C.3 1 D.-3 ( ).

4 16 7 解析 ∵sin θ+cos θ=3,∴(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ= 9 ,∴sin 2θ=9,又 π 0<θ<4,∴sin θ<cos θ.∴sin θ-cos θ=- ?sin θ-cos θ?2=- 1-sin 2θ=- 2 . 3 答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. f(x)= 设 1+cos 2x ? π? +sin x+a2sin?x+4?的最大值为 2+3, 则常数 a=________. ? ? ?π ? 2sin?2-x? ? ?

1+2cos2x-1 ? π? 解析 f(x)= +sin x+a2sin?x+4? 2cos x ? ? ? π? =cos x+sin x+a2sin?x+4? ? ? ? π? ? π? ? π? = 2sin?x+4?+a2sin?x+4?=( 2+a2)sin?x+4?. ? ? ? ? ? ? 依题意有 2+a2= 2+3,∴a=± 3. 答案 ± 3 π? 4 ? 6.(2012· 江苏)设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 ? ? π? ? sin?2α+12?的值为________. ? ? π? 4 ? 解析 ∵α 为锐角且 cos?α+6?=5, ? ? π? 3 π ?π 2π? ? ∴α+6∈?6, 3 ?,∴sin?α+6?=5. ? ? ? ? π? π? π? ? ? ? ∴sin?2α+12?=sin?2?α+6?-4? ? ? ? ? ? ? π? π? π π ? ? =sin 2?α+6?cos 4-cos 2?α+6?sin 4 ? ? ? ?

π? ? π? π? ? 2? ? ? = 2sin?α+6?cos?α+6?- 2 ?2cos2?α+6?-1? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 2? ?4? ? 12 2 7 2 17 2 = 2×5×5- 2 ?2×?5?2-1?= 25 - 50 = 50 . ? ? ? ? 答案 17 2 50

三、解答题(共 25 分) x x x 1 7.(12 分)已知函数 f(x)=cos22-sin 2cos 2-2. (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; 3 2 (2)若 f(α)= 10 ,求 sin 2α 的值. x x x 1 解 (1)由已知,f(x)=cos2 -sin cos - 2 2 2 2 1 1 1 2 ? π? =2(1+cos x)-2sin x-2= 2 cos?x+4?. ? ? ? 2 2? 所以 f(x)的最小正周期为 2π,值域为?- , ?. 2 2? ? (2)由(1)知,f(α)= π? 3 ? 所以 cos?α+4?=5. ? ? π?? ?π ? ? ? 所以 sin 2α=-cos?2+2α?=-cos?2?α+4?? ? ? ? ? ?? π? 18 7 ? =1-2cos2?α+4?=1-25=25. ? ? π? π? ? ? 8.(13 分)(2012· 天津)已知函数 f(x)=sin?2x+3?+sin?2x-3?+2cos2x-1,x∈R. ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求函数 f(x)在区间?-4,4?上的最大值和最小值. ? ? π π π π 解 (1)f(x)=sin 2x· 3+cos 2x· 3+sin 2x· 3-cos 2x· 3+cos 2x=sin 2x cos sin cos sin π? ? +cos 2x= 2sin?2x+4?. ? ? 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π? 3 2 2 ? cos?α+4?= , 2 ? ? 10

? π π? ?π π? ? π? (2)因为 f(x)在区间?-4,8?上是增函数, 在区间?8,4?上是减函数. f?-4?= 又 ? ? ? ? ? ? ?π? ?π? ? π π? -1,f?8?= 2,f?4?=1,故函数 f(x)在区间?-4,4?上的最大值为 2,最小 ? ? ? ? ? ? 值为-1.

B级

能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) π ?1? 1.(2013· 榆林模拟)若 tan α=lg(10a),tan β=lg?a?,且 α+β=4,则实数 a 的值 ? ? 为 A.1 1 B.10 1 C.1 或10 D.1 或 10 ( ).

?1? lg?10a?+lg?a? tan α+tan β ? ? 2 解析 tan(α+β)=1? = 所以 1?=1?lg a+lg a=0, 1-tan αtan β ? 1-lg?10a?· ?a? lg ? ? 1 lg a=0 或 lg a=-1,即 a=1 或10. 答案 C π? 1 1 ? 2. 已知 cos α=3, cos(α+β)=-3, α, ?0,2?, cos(α-β)的值等于 且 β∈ 则 ? ? 1 A.-2 1 B.2 1 C.-3 23 D.27 ( ).

π? 1 ? 解析 ∵cos α=3,α∈?0,2?, ? ? 2 2 4 2 7 ∴sin α= 3 ,∴sin 2α= 9 ,cos 2α=-9. 1 2 2 又 cos(α+β)=-3,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= 3 . ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) ? 7? ? 1? 4 2 2 2 23 =?-9?×?-3?+ 9 × 3 =27. ? ? ? ? 答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

π? cos 2α ?π ? 12 ? 3.已知 cos?4-α?=13,且 α∈?0,4?,则 =________. ? ? ? ? ?π ? sin?4+α? ? ? 2 12 ?π ? 解析 ∵cos?4-α?= 2 (cos α+sin α)=13, ? ? 12 2 ∴sin α+cos α= 13 , 288 119 1+2sin αcos α=169,2sin αcos α=169, 50 1-2sin αcos α=169, π? 5 2 ? 又∵α∈?0,4?,∴cos α>sin α,∴cos α-sin α= 13 , ? ? cos2α-sin2α cos 2α 10 = = 2(cos α-sin α)=13. π ? ? 2 2 sin?4+α? ? ? 2 sin α+ 2 cos α 10 答案 13 4.(2013· 九江模拟)方程 x2+3ax+3a+1=0(a>2)的两根为 tan A,tan B,且 A,B ? π π? ∈?-2,2?,则 A+B=________. ? ? 解析 由题意知 tan A+tan B=-3a<-6,tan A· B=3a+1>7,∴tan A<0, tan tan B<0, tan(A+B)= tan A+tan B -3a = =1. 1-tan Atan B 1-?3a+1?

? π π? ? π ? ∵A,B∈?-2,2?,∴A,B∈?-2,0?, ? ? ? ? 3π ∴A+B∈(-π,0),∴A+B=- 4 . 3π 答案 - 4 三、解答题(共 25 分) π? π? 3 3 5 ? ? ?π π? 5.(12 分)已知 sin α+cos α= 5 ,α∈?0,4?,sin?β-4?=5,β∈?4,2?. ? ? ? ? ? ? (1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α+2β)的值.

9 解 (1)由题意得(sin α+cos α)2=5, 9 4 即 1+sin 2α=5,∴sin 2α=5. π? 3 ? 又 2α∈?0,2?,∴cos 2α= 1-sin22α=5, ? ? sin 2α 4 ∴tan 2α=cos 2α=3. π? π? 3 π ? ?π π? ? (2)∵β∈?4,2?,β-4∈?0,4?,sin?β-4?=5, ? ? ? ? ? ? π? 4 ? ∴cos?β-4?=5, ? ? π? π? ? π? 24 ? ? 于是 sin 2?β-4?=2sin?β-4?cos?β-4?=25. ? ? ? ? ? ? π? 24 ? 又 sin 2?β-4?=-cos 2β,∴cos 2β=-25, ? ? 7 ?π ? 又 2β∈?2,π?,∴sin 2β=25, ? ? 又 cos2α= 1+cos 2α 4 π? ? =5,α∈?0,4?, 2 ? ?

2 5 5 ∴cos α= 5 ,sin α= 5 . ∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β 2 5 ? 24? 5 7 11 5 = 5 ×?-25?- 5 ×25=- 25 . ? ? ωx 6. 分)(2012· (13 四川)函数 f(x)=6cos2 2 + 3sin ωx-3(ω

>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高 点, C 为图象与 x 轴的交点, B、 且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 8 3 ? 10 2? (2)若 f(x0)= 5 ,且 x0∈?- 3 ,3?,求 f(x0+1)的值. ? ? 解 (1)由已知可得,f(x)=3cos ωx+ π? ? =2 3sin?ωx+3?, ? ? 又正三角形 ABC 的高为 2 3,从而 BC=4, 3sin ωx

2π π 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 ω =8,ω=4. 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3]. 8 3 (2)因为 f(x0)= 5 , ?πx0 π? 8 3 由(1)有 f(x0)=2 3sin? 4 +3?= 5 , ? ? ?πx0 π? 4 即 sin? 4 +3?=5. ? ? πx0 π ? π π? ? 10 2? 由 x0∈?- 3 ,3?,知 + ∈?-2,2?, 4 3 ? ? ? ? ?πx0 π? 所以 cos? 4 +3?= ? ? ?4? 3 1-?5?2=5. ? ?

?πx0 π π? 故 f(x0+1)=2 3sin? 4 +4+3? ? ? ??πx0 π? π? =2 3sin?? 4 +3?+4? ? ? ?? ? ?πx0 π? π ?πx0 π? π? =2 3?sin? 4 +3?cos4+cos? 4 +3?sin4? ? ? ? ? ? ? ?4 2 3 2? 7 6 =2 3×? × + × ?= 5 . ?5 2 5 2 ? 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见 《创新设计· 高考总复习》光盘中内容.


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