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高中数学北师大必修2课时跟踪检测:(九) 平面与平面垂直的判定

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课时跟踪检测(九) 平面与平面垂直的判定

层级一 学业水平达标

1.设 a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若 a∥b,a∥α,则 b∥α

B.若 α⊥β,a∥α,则 a⊥β

C.若 α⊥β,a⊥β,则 a∥α D.若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β

解析:选 D A 错,可能 b α;B 错;C 错,可能 a α.只有 D 正确.

2.已知直线 a,b 与平面 α,β,γ,下列能使 α⊥β 成立的条件是( )

A.α⊥γ,β⊥γ

B.α∩β=a,b⊥a,b?β

C.a∥β,a∥α

D.a∥α,a⊥β

解析:选 D 由 a∥α,知 α 内必有直线 l 与 a 平行.而 a⊥β,∴l⊥β,∴α⊥β. 3.从空间一点 P 向二面角 α-l-β 的两个面 α,β 分别作垂线 PE,PF,E,F 为垂足, 若∠EPF=60°,则二面角 α-l-β 的平面角的大小是( )

A.60°

B.120°

C.60°或 120°

D.不确定

解析:选 C 若点 P 在二面角内,则二面角的平面角为 120°;若点 P 在二面角外,

则二面角的平面角为 60°.

4.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将 △ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成几何体 A-BCD,则在几何体 A-BCD 中,

下列结论正确的是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC

B.平面 ADC⊥平面 BDC

C.平面 ABC⊥平面 BDC

D.平面 ADC⊥平面 ABC

解析:选 D 由已知得 BA⊥AD,CD⊥BD,

又平面 ABD⊥平面 BCD,∴CD⊥平面 ABD,

从而 CD⊥AB,故 AB⊥平面 ADC.

又 AB 平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 ADC.

5.如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,则图中互相垂直的

平面有( )

A.1 对

B.2 对

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C.3 对

D.5 对

解析:选 D ∵DA⊥AB,DA⊥PA,∴DA⊥平面 PAB.同理 BC⊥平面 PAB,又 AB⊥

平面 PAD,∴DC⊥平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 BCD,平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PBC

⊥平面 PAB,平面 PAB⊥平面 PAD,平面 PDC⊥平面 PAD,共 5 对.

6.如果规定:x=y,y=z,则 x=z,叫作 x,y,z 关于相等关系具有传递性,那么空

间三个平面 α,β,γ 关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________.

解析:由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理,知平面平

行具有传递性,相交、垂直都不具有传递性.

答案:平行

7.如图,平面 ABC⊥平面 BDC,∠BAC=∠BDC=90°,且 AB=AC=a,则 AD=

________. 解析:取 BC 中点 M,则 AM⊥BC,由题意得 AM⊥平面 BDC,

∴△AMD 为直角三角形, AM=MD= 22a.∴AD= 22a× 2=a. 答案:a 8.如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折叠,使平面 ABD⊥平面 ACD,则折叠后 BC=________.

解析:由题意知,BD⊥AD,由于平面 ABD⊥平面 ACD. ∴BD⊥平面 ADC.又 DC 平面 ADC,∴BD⊥DC.

连接 BC,则 BC= BD2+DC2=

? ?

22??2+??

22??2=1.

答案:1

9.如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,

E 是 SA 的中点,求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.

证明:连接 AC,交 BD 于点 F,连接 EF,

∴EF 是△SAC 的中位线,

∴EF∥SC.

∵SC⊥平面 ABCD,

∴EF⊥平面 ABCD.

又 EF 平面 EDB.

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∴平面 EDB⊥平面 ABCD. 10.如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平 面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE =2DF,AE⊥EC. 求证:平面 AEC⊥平面 AFC. 证明:如图,连接 BD,设 BD∩AC 于点 G, 连接 EG,FG,EF.在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1.由∠ABC=120°,

可得 AG=GC= 3. 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC, 可知 AE=EC.

又 AE⊥EC,所以 EG= 3,且 EG⊥AC.

在 Rt△EBG 中,可得 BE=

2,故

DF=

2 2.

在 Rt△FDG 中,可得 FG= 26. 在直角梯形 BDFE 中,

由 BD=2,BE= 2,DF= 22,

可得 EF=32 2. 从而 EG2+FG2=EF2,所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG=G,所以 EG⊥平面 AFC. 因为 EG 平面 AEC, 所以平面 AEC⊥平面 AFC.
层级二 应试能力达标

1.对于直线 m,n 和平面 α,β,能得出 α⊥β 的一个条件是( )

A.m⊥n,m∥α,n∥β

B.m⊥n,α∩β=m,n α

C.m∥n,n⊥β,m α

D.m∥n,m⊥α,n⊥β

解析:选 C ∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又 m α,由面面垂直的判定定理,得 α⊥β.

2.空间四边形 ABCD 中,若 AD⊥BC,BD⊥AD,那么有( )

A.平面 ABC⊥平面 ADC

B.平面 ABC⊥平面 ADB

C.平面 ABC⊥平面 DBC

D.平面 ADC⊥平面 DBC

解析:选 D 如图,∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥

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平面 BCD.又∵AD 平面 ADC,∴平面 ADC⊥平面 DBC.

3.如果直线 l,m 与平面 α,β,γ 满足:l=β∩γ,l∥α,m α 和 m⊥γ,那么必有( )

A.α⊥γ 且 l⊥m

B.α⊥γ 且 m∥β

C.m∥β 且 l⊥m

D.α∥β 且 α⊥γ

解析:选 A B 错,有可能 m 与 β 相交;C 错,有可能 m 与 β 相交;D 错,有可能 α

与 β 相交.

4.如图,在四面体 P-ABC 中,AB=AC,PB=PC,D,E,F 分别是棱 AB,BC,CA

的中点,则下列结论中不一定成立的是( )

A.BC∥平面 PDF

B.DF⊥平面 PAE

C.平面 PDF⊥平面 PAE

D.平面 PDF⊥平面 ABC

解析:选 D 因为 D,F 分别为 AB,AC 的中点,则 DF 为△ABC 的中位线,则 BC∥

DF,依据线面平行的判定定理,可知 BC∥平面 PDF,A 成立.又 E 为 BC 的中点,且 PB

=PC,AB=AC,则 BC⊥PE,BC⊥AE,依据线面垂直的判定定理,可知 BC⊥平面 PAE.

因为 BC∥DF,所以 DF⊥平面 PAE,B 成立.又 DF 平面 PDF,则平面 PDF⊥平面 PAE,

C 成立.要使平面 PDF⊥平面 ABC,已知 AE⊥DF,则必须有 AE⊥PD 或 AE⊥PF,由条

件知此垂直关系不一定成立,故选 D.

5.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边

都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平

面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析:连接 AC,则 AC⊥BD,因为 PA⊥平面 ABCD,BD 平面 ABCD,
所以 PA ⊥BD.又 AC∩PA=A,所以 BD⊥平面 PAC.因为 PC 平面 PAC, 所以 BD⊥PC.所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD.而 PC 平面 PCD,所以平面 MBD⊥平面 PCD.
答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC) 6.如图,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边 紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是 否和这个面密合就可以了,其原理是利用了________. 解析:如图所示,因为 OA⊥OB,OA⊥OC,OB β,OC β,且 OB∩OC=O,根据线面垂直的判定定理,可得 OA⊥β,又 OA α, 根据面面垂直的判定定理,可得 α⊥β. 答案:面面垂直的判定定理

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7.如图,已知三棱锥 P-ABC,∠ACB=90°,D 为 AB 的中点,且△PDB 是正三角形, PA⊥PC.
求证:(1)PA⊥平面 PBC; (2)平面 PAC⊥平面 ABC. 证明:(1)因为△PDB 是正三角形, 所以∠BPD=60°, 因为 D 是 AB 的中点, 所以 AD=BD=PD. 又∠ADP=120°,所以∠DPA=30°, 所以∠DPA+∠BPD=90°, 所以 PA⊥PB.又 PA⊥PC,PB∩PC=P, 所以 PA⊥平面 PBC. (2)因为 PA⊥平面 PBC,所以 PA⊥BC. 因为∠ACB=90°, 所以 AC⊥BC.又 PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC 平面 ABC, 所以平面 PAC⊥平面 ABC.
8.如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=12AD,E 是 AD 的中点,沿 BE 将△ABE 折起至△A′BE 的位置,使 A′C=A′D,求证:平面 A′BE⊥平面 BCDE.
证明:如图所示,取 CD 的中点 M,BE 的中点 N,连接 A′M,A′N,MN,则 MN ∥BC.
∵AB=12AD,E 是 AD 的中点, ∴AB=AE,即 A′B=A′E. ∴A′N⊥BE.∵A′C=A′D, ∴A′M⊥CD. 在四边形 BCDE 中,CD⊥MN, 又 MN∩A′M=M,
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∴CD⊥平面 A′MN. 又 A′N 平面 A′MN,∴CD⊥A′N. ∵DE∥BC 且 DE=12BC,∴BE 必与 CD 相交. ∴A′N⊥平面 BCDE. 又 A′N 平面 A′BE, ∴平面 A′BE⊥平面 BCDE.

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