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数列综合测试(带答案详解)

时间:2013-04-17


教育是一项良心工程

数列综合测试
一、选择题。(10×5’=50’) 1、含 2n+1 项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( A、 )

n ?1 n ?1 D、 n 2n (n ? 1)(a1 ? a2 n ?1 ) 解: S 奇 ? a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ? ? , S 偶 ? a2 ? a4 ? ? ? a2 n ? n( a2 ? a2 n ) ; 2
B、 C、 又 a1 ? a2 n ?1 ? a2 ? a2 n ,?

2n ? 1 n

n ?1 n

S奇 n ? 1 。 ? S偶 n

2、 若等差数列 ?an ?共有 n 项, 且前四项之和为 21, 后四项之和为 67, n 项和为 S n ? 286 , 前 则 n= ( A、25 ) B、26 C、26 或 27 D、27

解:由题意知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 21 , an ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?3 ? 67 , 由等差数列性质知 a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ? 2 ? a4 ? an ?3 .

? 4(a1 ? an ) ? 88 ,? a1 ? an ? 22 .
又由 S n ?

n n ? 22 (a1 ? an ) ,即 286 ? ,? n ? 26. 2 2


3、等差数列 ?an ?中, a1 ? 0, S9 ? S12 ,数列前多少项和最小( A、9 B、10 C、11 D、10 或 11

解: S9 ? S12 ,? a10 ? a11 ? a12 ? 0,? 3a11 ? 0,? a11 ? 0. ? 又 ? a1 ? 0.? 数列为递增数列。 因此数列的前10项均为负,a11 ? 0,从第12项起为正值。 ?当n ? 10或11时,S n取最小值。
4、已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? a n ? 1 ( a 是不为 0 的常数) ,那么数列 ?an ?( A、一定是等差数列 C、或者是等差数列或者是等比数列 B、一定是等比数列 D、既不是等差数列也不是等比数列 )

解: S n ? a n ? 1,? a1 ? S1 ? a ? 1. ? 当n ? 2时,an ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 1) ? (a n ?1 ? 1) ? (a ? 1)a n ?1. 当a ? 1时,an ? 0, 此时?an ?为等差数列; 当a ? 1时,因为 答案:C
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n ? 1满足上式,所以此数列的通项公式为an ? (a ? 1)a n ?1 (n ? N * ). an ?1 ? a, 所以?an ?为等比数列。 an

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5、等比数列 ?an ?中,若 S10 ? 10, S20 ? 30 ,则 S30 等于( A、40 B、50 解法一:设公比为 q. C、60 D、70 )

? S10 ? 10, S 20 ? 30 ? 20,? q ? 1. ? a1 (1 ? q10 ) ? 10, ? ? 1? q 于是? 两式作商得1 ? q10 ? 3,? q10 ? 2. 20 ? a1 (1 ? q ) ? 30, ? 1? q ? ? S30 ? a1 (1 ? q 30 ) a1 (1 ? q10 ) ? (1 ? q ? q 20 ) ? 10(1 ? 2 ? 4) ? 70. 1? q 1? q

解法二: S10 , S 20 ? S10 , S30 ? S 20成等比数列, ? 又 ? S10 ? 10, S 20 ? 30 ? S30 ? 70.
6、已知数列 ?an ?为等差数列,a1 ? a3 ? a5 ? 105 ,a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a20 等于( A、-1 B、1 C、3 D、7 )

解: ?an ?为等差数列? a3 ? 35 ? ? a2 ? a4 ? a6 ? a1 ? a3 ? a5 ? 3d ? d ? ?2 ? a20 ? a3 ? 17 d ? 35 ? 17 ? (?2) ? 1.
7、等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且 4a1 ,2a2 , a3 成等差数列。若 a1 ? 1, 则S 4 =( A、7 B、8 C、15 D、16 )

解: 4a1 ,2a2 , a3成等差数列, 4a1 ? a3 ? 4a2 , 即4a1 ? a1q 2 ? 4a1q, ? ? ? q 2 ? 4q ? 4 ? 0,? q ? 2, S 4 ? 15
8、数列 1? n,2(n ? 1),3(n ? 2),?, n ?1 的和为( A、 1 n ( n ? 1)( n ? 2) 6 C、 1 n ( n ? 2)( n ? 3) 3 )

B、 1 n ( n ? 1)( 2 n ? 1) 6 D、 1 n ( n ? 1)( n ? 2) 3

解:数列通项公式为ak ? k[n ? (k ? 1)] ? k (n ? 1) ? k 2 , ? S n ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)(n ? 1) ? (12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ) n(n ? 1) 1 ? (n ? 1) ? n(n ? 1)(2n ? 1) 2 6 1 1 ? n(n ? 1)[3(n ? 1) ? (2n ? 1)] ? n(n ? 1)(n ? 2) 6 6 ?
9、有 200 根相同的圆钢,将其中一些堆放成纵断面为正三角形的垛,要求剩余的根数尽可 能的少,这时剩余的圆钢有( )
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A、9 根 B、10 根 C、19 根 D、20 根 解:设只能堆放 n 层,则从最上层往下,每层圆钢数组成以 1 为首项,1 为公差的等差数列, 且剩余的圆钢数小于 n,

n(n ? 1) ? ?n ?200 ? 2 1609 - 3 1601 ? 1 依题意得: , 解得 ?n? . ? n(n ? 1) 2 2 ? ? 200 2 ? ? n ? N * ,? n ? 19. 所以堆19层,剩余的圆钢数为200 19 ? 20 ? 10 (根) . 2

10、某人从 1 月份开始,每月份初存入银行 100 元,月利率是 2.8‰(每月按复利计算) , 到 12 月底取出本利和应为( ) A、1223.4 元 B、1224.4 元 C、1222.1 元 D、1225.0 元
12 解: 1月份开始存入银行,到12月底本利和是a1 ? 100(1 ? 2.8%o) 11 2月份开始存入银行,到12到12月底本利和是a2 ? 100(1 ? 2.8%o)

? 12月份开始存入银行,到12到12月底本利和是a12 ? 100(1 ? 2.8%o) . 则等比数列?an ? 的前12项和为:
12 ? 100 1 ? 2.8%o)( ? 2.8%o)12 ? 1] ( [1 S12 ? ? 1222.1 ? ( ? 2.8%o)1 ? 1 (1



二、填空题。(5×5’=25’) 11、数列 ?an ?满足

a1 ? 1, an?1 ?

an an ? 2 ,则数列通项公式为

a ?2 2 1 1 1 解: ? n ? ? 1? ? 1 ? 2( ? 1) an ?1 an an an ?1 an ?1 ? ? 数列? ? 1?是以2为首项,以2为公比的等比数列, ? an ? 1 1 ? ? 1 ? 2 n ? an ? n . an 2 ?1
12、已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? 5 ? 3 ,则数列通项公式为
n

解: S n ? 5n ? 3,? S n ?1 ? 5n ?1 ? 3 ? ? an ? S n ? S n ?1 ? 4 ? 5n ?1 当n ? 1时,a1 ? S1 ? 2 ?2, (n ? 1) ? ? an ? ? ?4 ? 5n ?1 , (n ? 2) ?

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13、设 ?an ?是首项为 1 的正项数列,且 (n ?1)an?1 ? nan ? an?1 ? an ? 0(n ? 1,2,3,?) ,则
2 2

它的通项公式为

? ?an ?是各项为正数, (n ? 1)an ?1 ? nan ? ? an ?1 n ? an n ?1

[(n ? 1)an ?1 ? nan ](an ?1 ? an ) ? 0,

14、若函数 f ( x) ?

4x , 且x1 ? 1, xn ?1 ? f ( xn ), x ? N * , 则x2001 = x?4 4 xn 1 1 1 1 1 1 解:xn ?1 ? , 两边取倒数,得 ? ? .即 ? ? . xn ? 4 xn ?1 4 xn xn ?1 xn 4

?1? 1 数列? ?是以1为首项, 为公差的等差数列。 4 ? xn ? 1 1 4 4 1 由 ? 1 ? n ? 1) ,得xn ? ( , 所以x2001 ? ? . xn 4 x?3 2001 ? 3 501
15、 sin 1? ? sin 2? ? ? ? sin 89? =
2 2 2

解:设S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? sin 2 89?,则 S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? sin 2 2? ? sin 2 1? 两式相加,得:S ? sin 2 1? ? sin 2 89?)(sin 2 2? ? sin 2 88?) ? ? sin 2 89? ? sin 2 1?) 2 ( ? ? ( 即2 S ? (sin 2 1? ? cos 2 1?) ? (sin 2 2? ? cos 2 2?) ? ? (sin 2 89? ? cos 2 89?) ? 89 ?S ? 89 . 2

三、解答题。(75’) 16、 分)已知数列 ?an ?是等差数列, a1 ? 50, d ? ?0.6 , (8 (1)从第几项开始有 an ? 0 ; (2)求此数列的前 n 项和的最大值。

解:) ? a1 ? 50, d ? ?0.6,? an ? 50 ? 0.6(n ? 1) ? ?0.6n ? 50.6. (1 50.6 ? 84.3. 0.6 由于n ? N * , 故n ? 85时,an ? 0, 即从第85项开始各项均小于0. 令 ? 0.6n ? 50.6 ? 0, 则n ? n(n ? 1) 503 2 5032 ? (?0.6) ? ?0.3n 2 ? 50.3n ? ?0.3(n ? ) ? . 2 6 120 503 当n取接近于 的自然数,即84时,Sn 达到最大值S84 ? 2108.4. 6 (2)Sn ? 50n ?

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17、 分)已知数列 f ( x) ? 2 x ? 2? x ,数列 ?an ?满足 f (log 2 an ) ? ?2n . (8 (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)证明:数列 ?an ?是递减数列。

解:) ? f ( x) ? 2 x ? 2 ? x ,f (log 2 an ) ? ?2n,? 2log 2 an ? 2 ?log 2 an ? ?2n, an ? (1 ? ? an ? 2nan ? 1 ? 0,解得an ? ?n ? n 2 ? 1.
2

1 ? ?2n, an

? an ? 0,? an ? n 2 ? 1 ? n. (n ? 1) 2 ? 1 ? (n ? 1) a n2 ? 1 ? n (2)证明: n ?1 ? ? ? 1, an n2 ? 1 ? n (n ? 1) 2 ? 1 ? (n ? 1) 又 ? an ? 0,an ?1 ? an, 数列?an ?是递减数列。 ?
18、(10 分)等差数列的前 n 项和 S n ? ?

3 2 205 n ? n ,求此数列 ?an ?的前 n 项和 Tn 。 2 2

3 205 解:a1 ? S1 ? ? ?12 ? ?1 ? 101. 2 2 3 205 3 205 当n ? 2时,an ? S n ? S n ?1 ? (? n 2 ? n) ? [? (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? ?3n ? 104. 2 2 2 2 ? n ? 1也适合上式, 数列?an ?通项an ? ?3n ? 104(n ? N * ). ? 令an ? ?3n ? 104 ? 0, 得n ? 34.7, ? 对于数列?an ?来说: 即当n ? 34时,an ? 0, 当n ? 35时,an ? 0. 当n ? 34时,Tn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an ? S n ? 当n ? 35时,Tn ? a1 ? a2 ? ? ? a34 ? a35 ? ? ? an ? (a1 ? a2 ? ? ? a34 ) ? (a35 ? a36 ? ? ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? ? a34 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? 2 S34 ? S n 3 205 3 205 ? 2(? ? 34 2 ? ? 34) ? (? n 2 ? n) 2 2 2 2 3 205 ? n2 ? n ? 3502 2 2 3 2 205 ? ? ? 2 n ? 2 n, (n ? 34) 故Tn ? ? 3 205 ? n2 ? n ? 3502, (n ? 35) 2 ?2
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3 2 205 n ? n, 2 2

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19、(10 分)一个等比数列有三项,如果把第二项加上 4,那么所得的三项就成为等差数 列,如果再把这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的 等比数列。

解:设所求的等比数列为a, aq, aq 2 , ?a ? 2 ? 2 ? 2(aq ? 4) ? a ? aq 2, ? ?a ? 则? 解得? 或? 9 2 2 ?(aq ? 4) ? a (a ? q ? 32), ? q ? 3 ?q ? ?5 ? ? 2 10 50 故所求的等比数列为2,18或 , , . 6, 9 9 9
20、(14 分)设数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2. (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 ?bn ?是等比数列; (2)求数列 ?an ?的通项公式。

解:)由a1 ? 1及S n ?1 ? 4an ? 2, 有a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,? b1 ? a2 ? 2a1 ? 3. (1 由S n ?1 ? 4an ? 2, 则当n ? 2时,有S n ? 4an ?1 ? 2. ? an ?1 ? S n ?1 ? S n ? 4an ? 4an ?1 ? an ?1 ? 2an ? 2(an ? 2an ?1 ) (2)由(1)可得bn ? an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 n ?1 ,? an ?1 an 3 ? ? . 2 n ?1 2 n 4 又bn ? an ?1 ? 2an ,? ?bn ?是以3为首项,以2为公比的等比数列。

1 3 ?a ? ? 数列? n ?是以 为首项,以 为公差的等差数列。 n 2 4 ?2 ? a 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1) ? n ? ,? an ? (3n ? 1) ? 2 n ? 2. n 2 2 4 4 4
21、(16 分)等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) 均在函数
*

的图象上。 y ? b x ? r (b ? 0且b ? 1, b, r均为常数) (1)求 r 的值;

(2)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N * ) ,求 ?bn ?的前 n 项和 Tn 。 4an

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解:)因为对任意的n ? N ,点(n, S n ),均在函数y ? b x ? r (1
*

(b ? 0且b ? 1, b, r均为常数)的图象上。 所以S n ? b x ? r , 当n ? 1时,a1 ? S1 ? b ? r , 当n ? 2时,an ? S n ? S n ?1 ? b n ? r ? (b n ?1 ? r ) ? b n ? b n ?1 ? (b ? 1)b n ?1 , 又 ? ?an ?为等比数列,所以r ? ?1, 公比为b,所以an ? (b ? 1)b n ?1. (2)当b ? ?2时,an ? (b ? 1)b n ?1 ? 2 n ?1,bn ? ?Tn ? n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 , n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n?2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 ? Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 23 ? (1 ? n ?1 ) 1 n ?1 3 1 n ?1 2 ? ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 2 2 4 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以,Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 . 2 2 2 2 2
22、学数学,其实是要使人变得聪明,使人的思维更加缜密。在美国广泛流传的一道数学 题目是:老板给你两种加工次的方案:一是每年增长薪水 1000 元,二是每半年增加 300 元, 请选择一种。 (1)如果在该公司干 10 年,选择第二种方案比第一种多加薪多少元? (2)若第二方案改成每半年增加 a 元,问:a 为何值时,选择第二种方案总是比第一种方 案加薪多?

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解:( )在第10年末,依第一方案可得: 1 1000 + 2000 + 3000 + +100000 = 55000 (元)) 第二方案得: ( 300 + 300 ×2) ? (300 ×3 + 300 ×4) + (300 × + 300 ×20) = 63000(元) 19 63000 - 55000 = 80000 在公司干10年, 选,选择第二方案择第一方案多加薪8000元。 (2)第n年末,第一方案得: 1000 1 + 2 + 3 + +n) 500n(n + 1)(元) ( = 第二方案得 : a(1 + 2 + 3 + +2n) = an(2n + 1). 由题题意an(2n + 1) > 500n( n + 1)对所有正整数恒成立。 500(n ? 1) 250 a? ? 250 ? , 对n ? N *都成立。 2n ? 1 2n ? 1 250 250 250 250 1000 而 在n ? 1时取最大值,即 ? .? a ? 250 ? ? . 2n ? 1 2n ? 1 3 3 3 1000 即当a ? 时,总是第二方案比第一方案加薪多。 3

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