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2011年广州市高三年级调研测试数学理科试题含详细答案word版

时间:2011-04-19


安徽高中数学

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2011 年广州市高三年级调研测试数学科 理科) 2011 年广州市高三年级调研测试数学科(理科)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 选择题: 符合题目要求的. 符合题目要求的. 1. 函数 g ( x ) = A. x x ≥ ?3

x + 3 的定义域为( )

{

}

B. x x > ?3

{

}

C. x x ≤ ?3

{

}

D. x x < ?3

{

}

2. 已知 i 为虚数单位, 则复数 i (1+ i ) 的模等于( )

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

? y ≤ x, ? 3. 已知 x, y 满足约束条件 ? x + y ≤ 1, 则 z = 2 x + y 的最大值为() ? y ≥ ?1. ?
A . ?3 B.

?

3 2

C.

3 2


D. 3

4. 已知 p : x ≤ 2 , q : 0 ≤ x ≤ 2 ,则 p 是 q 的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 图1

5. 如果执行图 1 的程序框图,若输入 n = 6, m = 4 ,那么输出的 p 等于 A.

720

B. 360

C. 240

D.

120

6. 已知随机变量 X 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ,且 P ( ? ? 2σ < X ≤ ? + 2σ ) = 0.9544 ,

P ( ? ? σ < X ≤ ? + σ ) = 0.6826 ,若 ? = 4 , σ = 1 , 则 P (5 < X < 6) =
A.0.1358 C.0.2716 B.0.1359 D.0.2718
3 3

7. 一空间几何体的三视图如图 2 所示, 该几何体的
x

x

体积为 12π + A. 5

8 5 ,则正视图中 x 的值为 3
B. 4 D. 2

4 正侧图

4 侧侧图

C. 3

8.若把函数 y = f ( x ) 的图象沿 x 轴向左平移

π
4

个单位,
俯侧图 图2

沿 y 轴向下平移 1 个单位,然后再把图象上每个点的
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横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标保持不变),得到函数 y = sin x 的图象,则 y = f ( x ) 的解析式为 A. y = sin ? 2 x ?

? ?

π?

? +1 4?

B. y = sin ? 2 x ?

? ?

π?

? +1 2?

C. y = sin ?

π? ?1 x + ? ?1 4? ?2

D. y = sin ?

π? ?1 x + ? ?1 2? ?2

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: (一)必做题(9~13 题) 必做题( ~ 9. 某社区有 500 个家庭, 其中高收入家庭 125 户, 中等收入家庭 280 户, 低收入家庭 95 户. 为了调查社会购买力的某项指标, 采用分层抽样的方法从中抽取 1 个容量为若干户的样 本, 若高收入家庭抽取了 25 户, 则低收入家庭被抽取的户数为 . 10. 已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x 2 + y 2 ? 4 x + 3 = 0 相切,切点在第四象限,则直线 l 的 方程为 . .

11. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S 2 = 6, S 4 = 30 ,则 S6 = 12. ( ?

x 2

2 9 ) 展开式的常数项是 x2

.(结果用数值作答)

13. 设函数 f ( x ) = ?

?2 ? x , x ∈ ( ?∞,1) , ? 若 f ( x ) > 4 ,则 x 的取值范围是 2 ? x , x ∈ [1, +∞ ) . ?
M A

.

考生只能从中选做一题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 选做题( ~ 1 4. 几何证明选讲选做题 (几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题)如图 3,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,

B D

N

O C 图3

BC 是直径, MN 与⊙ O 相切, 切点为 A , ∠MAB = 35° ,
则 ∠D = .

15. 坐标系与参数方程选讲选做题 (坐标系与参数方程选讲选做题 坐标系与参数方程选讲选做题)已知直线 l 的参数方程为: ?

? x = 2t , ( t 为参数) , ? y = 1 + 4t
.

圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2 2 sin θ ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为

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小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 16. 本小题满分 12 分) ( 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 已知向量 m = ? 2 cos

? ?

A A? ,sin ? , 2 2?

A A? ? n = ? cos , ?2sin ? ,. m ? n = ?1 2 2? ?
(1) 求 cos A 的值; (2) 若 a = 2 3 , b = 2 , 求 c 的值.

17. 本小题满分 12 分) ( 某商店储存的 50 个灯泡中, 甲厂生产的灯泡占 60% , 乙厂生产的灯泡占 40% , 甲厂生产 的灯泡的一等品率是 90% , 乙厂生产的灯泡的一等品率是 80% . (1) 若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 则它是甲厂生产的 一等品的概率是多少? (2) 若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 这两个灯泡中是甲 厂生产的一等品的个数记为 ξ , 求 Eξ 的值.

18. 本小题满分 l4 分) ( 如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥ 平面 ABCD , PA = AD = 2 , AB = 1 , BM ⊥ PD 于点 M . (1) 求证: AM ⊥ PD ; (2) 求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值.

P

M

A

D

B
图4

C

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19. 本小题满分 14 分) ( 已知椭圆 E :

x2 y 2 1 + = 1 a > 3 的离心率 e = . 直线 x = t ( t > 0 )与曲线 E 交于 2 a 3 2

(

)

不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 C ,圆心为 C . (1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,求 ?ABC 的面积的最大值.

20. 本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x ) = x +

a (a ∈ R ) , g ( x ) = ln x . x

(1) 求函数 F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的单调区间; (2) 若关于 x 的方程

g ( x) x2

= f ( x ) ? 2e (e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求 a 的值.

21. 本小题满分 14 分) ( 如图 5,过曲线 C : y = e x 上一点 P0 (0,1) 作曲线 C 的切线 l0 交 x 轴于点 Q1 ( x1 , 0) ,又过 Q1 作

x 轴 的 垂 线 交 曲 线 C 于 点 P ( x1 , y1 ) , 然 后 再 过 P ( x1 , y1 ) 作 曲 线 C 的 切 线 l1 交 x 轴 于 点 1 1 Q2 ( x2 , 0) ,又过 Q2 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P2 ( x2 , y2 ) , LL ,以此类推,过点 Pn 的切线 ln
与 x 轴相交于点 Qn +1 ( xn +1 , 0) ,再过点 Qn +1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 Pn +1 ( xn +1 , yn +1 ) ( n ∈ N * ) . (1) 求 x1 、 x2 及数列 {xn } 的通项公式; (2) 设曲线 C 与切线 ln 及直线 Pn +1Qn +1 所围成的图形面积为 Sn ,求 Sn 的表达式; (3) 在满足(2)的条件下, 若数列 {S n } 的前 n 项和为 Tn ,求证:

Tn +1 xn +1 < (n ∈ N * ) . Tn xn
y

P0

P1 Pn+1 Pn l0

Qn+1

Q1

O

x

图5

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2011 年广州市高三调研测试 201 年广州市高三调研测试 数学(理科) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明: 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力, 说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供 参考,如果考生的解法与参考答案不同, 参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标 准给以相应的分数. 准给以相应的分数. 对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时, 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分, 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确 解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 注分数, 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 小题, 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 B 6 B 7 C 8 B

小题, 小题, 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 14~ 题是选做题,考生只能选做一题. 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. 19
°

10. y = ?

3 x 3

11. 126

12. ?

21 2

13. ( ?∞, ?2 ) U ( 2, +∞ )

14. 125

15.相交

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共6小题,满分80分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 80 16. 本小题满分 12 分) ( (本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 思想方法和运算求解能力) (1) 解: ∵ m = ? 2 cos ∴ 2 cos
2

考查化归与转化的数学

? ?

A A? ,sin ? , n = 2 2?

A A? ? ? cos , ?2sin ? , m n = ?1 , 2 2? ?
……2 分 ……4 分 ∴ A=

A A ? 2sin 2 = ?1 . 2 2 1 ∴ cos A = ? . 2 1 (2)解: 由(1)知 cos A = ? ,且 0 < A < π , 解 2

2π . 3

……6 分

∵ a = 2 3 , b = 2 ,(资料来源:数学驿站 www.maths168.com) 由正弦定理得

a b 2 3 2 = ,即 = , 2π sin B sin A sin B sin 3

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∴ sin B =

1 . 2

……8 分

∵ 0 < B < π , B < A ,∴ B = ∴C = π ? A? B =

π
6

.

……10 分 ……12 分

π
6

.∴ c = b = 2 .

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能 力、运算求解能力和应用意识) (1) 解法 1: 设事件 A 表示“甲厂生产的灯泡”, 事件 B 表示“灯泡为一等品”, 依题意有 P ( A ) = 0.6 , P B A = 0.9 , 根据条件概率计算公式得 P ( AB ) = P ( A ) P B A = 0.6 × 0.9 = 0.54 .

(

)

(

)

……4 分

解法 2: 该商店储存的 50 个灯泡中是甲厂生产的灯泡有 50 × 60% = 30 个, 乙厂生产的灯泡 有 50 × 40% = 20 个, 其中是甲厂生产的一等品有 30 × 90% = 27 个, 乙厂生产的 一等品有 20 × 80% = 16 个, 故从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率是 (2) 解: ξ 的取值为 0,1, 2 ,

P=

27 = 0.54 . 50

……4 分 ……5 分

P (ξ = 0 ) =

2 C23 253 = , 2 C50 1225

P ( ξ = 1) =

1 1 C27 C23 C2 621 351 = , P ( ξ = 2 ) = 27 = 2 2 1225 C50 C50 1225

……8 分 ∴ ξ 的分布列为:

ξ
P

0
253 1225

1 621 1225

2 351 1225
……12 分

∴ Eξ = 0 ×

253 621 351 1323 + 1× + 2× = = 1.08 . 1225 1225 1225 1225

18.(本小题满分 l4 分) ( (本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法,以 及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明 证明:∵ PA ⊥ 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,∴ PA ⊥ AB . 证明 ∵ AB ⊥ AD , AD I PA = A, AD ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , ∴ AB ⊥ 平面 PAD . ∵ PD ? 平面 PAD ∴ AB ⊥ PD , ……3 分

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z

∵ BM ⊥ PD , AB I BM = B , AB ? 平面 ABM ,

P

BM ? 平面 ABM ,∴ PD ⊥ 平面 ABM .
∵ AM ? 平面 ABM ,∴ AM ⊥ PD . ……6 分
A D B x C y M

(2)解法 1:由(1)知, AM ⊥ PD ,又 PA = AD , 解法 则 M 是 PD 的中点,在 Rt△ PAD 中, 得 AM =

2 ,在 Rt△ CDM 中,得 MC = MD 2 + DC 2 = 3 ,

∴ S ?ACM =

1 6 AM ? MC = . 2 2 设点 D 到平面 ACM 的距离为 h ,由 VD ? ACM = VM ? ACD ,
1 1 1 6 S ?ACM h = S ?ACD PA .解得 h = , 3 3 2 3
……10 分

……8 分



设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 θ ,则 sin θ = ∴ cos θ =

h 6 = , CD 3

……12 分

3 . 3 3 . 3
……14 分

∴ 直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为

解法 2: 如图所示,以点 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz , ∴ AC = (1, 2, 0 ) , AM = ( 0,1,1) , CD = ( ?1, 0, 0 ) .

则 A ( 0, 0, 0 ) , P ( 0, 0, 2 ) , B (1, 0, 0 ) , C (1, 2, 0 ) , D ( 0, 2, 0 ) , M ( 0,1,1) .

uuur

uuuu r

uuu r

……8 分

v 设平面 ACM 的一个法向量为 n = ( x, y , z ) , r v uuur v uuuu ? x + 2 y = 0, 由 n ⊥ AC , n ⊥ AM 可得: ? ? y + z = 0. v 令 z = 1 ,得 x = 2, y = ?1 .∴ n = (2, ?1,1) .

……10 分 ……12 分

uuu v r CD ? n 6 设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 α ,则 sin α = uuu r = . r 3 CD n
∴ cos α =

3 3 .∴直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为 . ……14 分 3 3

19.(本小题满分 14 分) ( (本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方 程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

x2 y 2 1 a2 ? 3 1 (1)解:∵椭圆 E : 2 + = 1 a > 3 的离心率 e = , ∴ = . 解 a 3 2 a 2

(

)

…… 2 分

解得 a = 2 .

∴ 椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + = 1. 4 3

…… 4 分

(2)解法 1:依题意,圆心为 C (t , 0)(0 < t < 2) . 解法
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? x = t, 12 ? 3t 2 12 ? 3t 2 ? 2 由 ? x2 y 2 得y = . ∴ 圆 C 的半径为 r = . …… 6 分 4 2 = 1, ? + 3 ?4
∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d = t , ∴ 0<t <

12 ? 3t 2 2 21 ,即 0 < t < . 2 7
2 2

12 ? 3t 2 2 ? t = 12 ? 7t 2 . ∴ 弦长 | AB |= 2 r ? d = 2 4
∴ ?ABC 的面积 S =

…… 8 分

1 ? t 12 ? 7t 2 2 1 2 7 ×

…… 9 分

=

( 7t )

12 ? 7t ≤
2

1 2 7

( 7t ) ×

2

+ 12 ? 7t 2 2
…… 12 分

=

3 7 . 7
2

当且仅当 7t = 12 ? 7t ,即 t =

42 时,等号成立. 7
…… 14 分

∴ ?ABC 的面积的最大值为

3 7 . 7

解法 2:依题意,圆心为 C (t , 0)(0 < t < 2) .

? x = t, 12 ? 3t 2 12 ? 3t 2 ? 2 得y = .∴ 圆 C 的半径为 r = . …… 6 分 由 ? x2 y 2 4 2 + = 1, ? 3 ?4
∴ 圆 C 的方程为 ( x ? t ) + y =
2 2

12 ? 3t 2 . 4

∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d = t , ∴ 0<t <

12 ? 3t 2 2 21 ,即 0 < t < . 2 7
2 2

12 ? 3t 2 12 ? 7t 2 在圆 C 的方程 ( x ? t ) + y = 中,令 x = 0 ,得 y = ± , 4 2
2 ∴ 弦长 | AB |= 12 ? 7t .

…… 8 分
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∴ ?ABC 的面积 S =

1 ? t 12 ? 7t 2 2

…… 9 分

=
=

1 2 7

×

( 7t )

12 ? 7t

2



1 2 7

( 7t ) ×

2

+ 12 ? 7t 2 2

3 7 . 7
2

……12 分

当且仅当 7t = 12 ? 7t ,即 t =

42 时,等号成立. 7
…… 14 分

∴ ?ABC 的面积的最大值为 20.(本小题满分 14 分) (

3 7 . 7

(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概 括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数 F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = x + 解

a + ln x 的定义域为 ( 0, +∞ ) . x

a 1 x2 + x ? a ∴ F ( x) = 1 ? 2 + = . x x2 x
'

① 当 ? = 1 + 4a ≤ 0 , 即 a ≤ ?

1 2 ' 时, 得 x + x ? a ≥ 0 ,则 F ( x ) ≥ 0 . 4
……2 分 得x + x ? a = 0,
2

∴函数 F ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上单调递增. ② 当 ? = 1 + 4a > 0 , 即 a > ? 解得 x1 =

1 ' 时, 令 F ( x ) = 0, 4

?1 ? 1 + 4a ?1 + 1 + 4 a < 0, x2 = . 2 2

(ⅰ) 若 ?

1 ?1 + 1 + 4a < a ≤ 0 , 则 x2 = ≤0. 4 2
'

∵ x ∈ ( 0, +∞ ) , ∴ F (ⅱ)若 a > 0 ,则 x ∈ ? 0,

( x) > 0 ,

∴函数 F ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上单调递增.

…… 4 分

? ? ?

?1 + 1 + 4 a ? ' ? 时, F ( x ) < 0 ; ? 2 ?

? ?1 + 1 + 4 a ? x ∈? , +∞ ? 时, F ' ( x ) > 0 , ? ? 2 ? ?

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∴函数 F ( x ) 在区间 ? 0,

? ? ?

? ?1 + 1 + 4 a ? ?1 + 1 + 4 a ? , +∞ ? 上单调递增. ? 上单调递减, 在区间 ? ? ? ? 2 2 ? ? ?
…… 6 分

综上所述, 当 a ≤ 0 时, 函数 F ( x ) 的单调递增区间为 ( 0, +∞ ) ; 当 a > 0 时 , 函 数 F ( x ) 的 单 调 递 减 区 间 为 ? 0, ?

? ?

?1 + 1 + 4 a ? ? , 单调递增区间为 ? 2 ?
…… 8 分

? ?1 + 1 + 4 a ? , +∞ ? . ? ? ? 2 ? ?
(2) 解: 由

g ( x) ln x a ln x = f ( x ) ? 2e , 得 2 = x + ? 2e , 化为 = x 2 ? 2ex + a . 2 x x x x
ln x 1 ? ln x ' ' , 则 h ( x) = .令 h ( x ) = 0 , 得 x = e . 2 x x
' '

令 h ( x) =

当 0 < x < e 时, h ( x ) > 0 ; 当 x > e 时, h ( x ) < 0 . ∴函数 h ( x ) 在区间 ( 0, e ) 上单调递增, 在区间 ( e, +∞ ) 上单调递减. ∴当 x = e 时, 函数 h ( x ) 取得最大值, 其值为 h ( e ) = 而函数 m ( x ) = x ? 2ex + a = ( x ? e ) + a ? e ,
2 2 2

1 . e

…… 10 分

当 x = e 时, 函数 m ( x ) 取得最小值, 其值为 m ( e ) = a ? e .
2

…… 12 分

∴ 当a ?e =
2

g ( x) 1 1 2 , 即 a = e + 时, 方程 2 = f ( x ) ? 2e 只有一个根. e e x

…… 14 分

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法,以及抽 象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解: 由 y ′ = e x ,设直线 ln 的斜率为 k n ,则 k n = e n .
x

∴直线 l0 的方程为 y = x + 1 .令 y = 0 ,得 x1 = ?1 , ∴ y1 = e
x1

……2 分

=

1 1 1 x , ∴ P ( ?1, ) .∴ k1 = e 1 = . 1 e e e 1 1 = ( x + 1) .令 y = 0 ,得 x2 = ?2 . e e
xn

∴直线 l1 的方程为 y ?

……4 分

一般地,直线 ln 的方程为 y ? e

= e xn ( x ? xn ) ,

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由于点 Qn +1 ( xn +1 , 0) 在直线 ln 上,∴ xn +1 ? xn = ?1 . ∴数列 { xn } 是首项为 ?1 ,公差为 ?1 的等差数列.∴ xn = ? n . (2)解: S n = 解
?n

……6 分

?n 1 1 1 e x dx ? ( xn ? xn +1 ) yn = e x | ? yn = (e ? n ? e ? n ?1 ) ? e ? n ∫?( n+1) ? ( n +1) 2 2 2

=

e?2 1 ? . 2e en

……8 分

1 1 [1 ? ( ) n ] e?2 ? 1 1 1 ? e?2 e e?2 1 e (3)证明: Tn = ?? 1 + 2 +L+ n ? = ? = ? (1 ? n ) . 1 2e ? e e 2e 2e(e ? 1) e ? e 1? e
……10 分

n +1 Tn +1 e n +1 = e ? 1 = 1 + e ? 1 , xn +1 = ?(n + 1) = 1 + 1 . ∴ = 1 Tn en +1 ? e en +1 ? e xn ?n n 1? n e

1?

1

要证明

Tn +1 xn +1 e ?1 1 < ,只要证明 n +1 < ,即只要证明 en +1 > (e ? 1)n + e . Tn xn e ?e n
……11 分

(数学归纳法 证法 1: 数学归纳法) (数学归纳法) ① 当 n = 1 时,显然 (e ? 1) 2 > 0 ? e 2 > 2e ? 1 ? e 2 > (e ? 1) + e 成立;

② 假设 n = k 时, e k +1 > (e ? 1) k + e 成立,

则当 n = k + 1 时, e k + 2 = e ? e k +1 > e[(e ? 1) k + e] ,

而 e[(e ? 1) k + e] ? [(e ? 1)( k + 1) + e] = (e ? 1) 2 ( k + 1) > 0 .

∴ e[(e ? 1) k + e] > (e ? 1)( k + 1) + e .∴ e k + 2 > (e ? 1)( k + 1) + e . 这说明, n = k + 1 时,不等式也成立.

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安徽高中数学

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由①②知不等式

Tn +1 xn +1 < 对一切 n ∈ N * 都成立. Tn xn

……14 分

证法 2: e

n +1

0 1 +1 = [1 + (e ? 1)]n +1 = Cn +1 + Cn +1 (e ? 1) + L + Cnn+1 (e ? 1) n +1

0 1 > Cn +1 + Cn +1 (e ? 1) = 1 + (n + 1)(e ? 1) = (e ? 1)n + e .

∴不等式

Tn +1 xn +1 < 对一切 n ∈ N * 都成立. Tn xn
x +1

……14 分

证法 3:令 f ( x ) = e 当 x > 0 时, f

? ( e ? 1) x ? e ,则 f ' ( x ) = e x +1 ? ( e ? 1) ,

'

( x ) = e x +1 ? ( e ? 1) > e ? ( e ? 1) = 1 > 0 ,

∴函数 f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上单调递增.∴当 x > 0 时, f ( x ) > f ( 0 ) = 0 . ∵ n ∈ N * ,∴ f ( n ) > 0 , 即 e
n +1

? ( e ? 1) n ? e > 0 .
Tn +1 xn +1 < 对一切 n ∈ N * 都成立.……14 分 Tn xn

∴e

n +1

> ( e ? 1) n + e .∴不等式

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