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高一期中考试数学试题必修3必修4

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高一数学必修 3 和必修 4 期中试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 下列各角中与角 ? A. 300

π 终边相同的是 3
B. 240 C.

2π 3

D.

π 3

2. 圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 的圆心坐标和半径分别为 A. (2 , 0) , 4 3. tan( ? B. (2 , 0) , 2 C. (?2 , 0) , 4 D.

(?2 , 0) , 2

58π ) 等于 3
B.

A.

3 3

3

C. ? 3

D. ?

3 3

4. 某人在打靶中,连续射击 2 次,至少有 1 次中靶的对立事件是 A. 两次都中靶 C. 两次都不中靶 B. 至多有一次中靶 D. 只有一次中靶

5. 右图所示的程序框图,若输入的 a, b, c 分别为 21, 32,75,则输出 的 a, b, c 分别是 A.75,21, 32 C.32,21,75 B.21, 32, 75 D.75, 32, 21

6. 圆心在点 (2, 3) ,且经过点 (2, 6) 的圆的方程为 A. x ? y ? 4x ? 6 y ? 4 ? 0
2 2

B. x ? y ? 4x ? 6 y ? 72 ? 0
2 2

C. x ? y ? 4x ? 6 y ? 9 ? 0
2 2

D. x ? y ? 4x ? 6 y ? 68 ? 0
2 2

7. 角 ? 的始边在 x 轴正半轴、终边过点 P( 3, y) ,且 cos ? ? A.3
2 2

1 ,则 y 的值为 2
D. ± 1

B. 1

C. ± 3

8. 圆 x ? y ? 2 y ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 6 ? 0 的位置关系是 A. 相交 B. 内切 C. 外切
1

D. 相离

9. 从编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚进行发射试验,若采 取每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取的 5 枚导弹的编号可能是 A. 1, 2, 3, 4, 5 B. 2, 4, 6, 16, 32 C. 3, 13, 23, 33, 43 D. 5, 10, 15, 20, 25

10. 某校 1 000 名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示. 规定不低 于 90 分为优秀等级,则该校学生优秀等级的人数是 A. 300 B. 150 C. 30 D. 15 11. 在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P ,则△ PAC 的面积不小于 S 的概率是
3

A.

1 4

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 4

12. 若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为 A. ?1 或 3 B. 1 或 3 C. ?2 或 6 D. 0 或 4

第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将答案 填写在题后横线上 13. 设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度 数是
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

开始
2

输入 x

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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14. 如图是某算法的程序框图,当输入 x 的值为 5 时,则其 输出的结果是
2 2

x≤0




x ? x?3

.
2 2

15. 圆 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 的相交弦所在直线方程为 .

y ? 0.5x

输出

y

16. 某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm , 秒针均匀地绕 点 O 旋转, 当时间 t ? 0 时, 点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合, 将 A, B 两点的距离 d (cm) 表示成 t ( s ) 的函数,则 d ?
结束

,其中 t ?[0,60] .

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) (1)已知角 ? 终边落在射线 3x ? 4 y ? 0( x ? 0) 上,求

sin(? ? ? ) cos(3? ? ? ) tan ? 的值; cos(?? )sin(? ? ? )

(2)化简:

sin(540? ? x) 1 cos(360? ? x) . ? ? tan(900? ? x) tan(450? ? x) tan(810? ? x) sin(? x)

18. (本小题满分 12 分) 为了解防震知识在中学生中的普及情况,某地震部门命制了一份满分为 10 分的问卷到 红星中学做问卷调查.该校甲、乙两个班各被随机抽取 5 名学生接受问卷调查,甲班 5 名学 生得分为 5 , 8 , 9 , 9 , 9 ;乙班 5 名学生得分为 6 , 7 , 8 , 9 , 10 . (Ⅰ)请你估计甲乙两个班中,哪个班的问卷得分更稳定一些; (Ⅱ)如果把乙班 5 名学生的得分看成一个总体,并用简单随机抽样方法从中抽取样本 容量为 2 的 样本,求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于 1 的概率.

19. (本小题满分 12 分)

1 已知 cos ? ? sin ? ? ? , ? ? (0, ? ) ,求 cos2 ? ? sin 2 ? 的值. 5

3

20. (本小题满分 12 分) 某射击运动员在一次射击比赛中,每次射击成绩均计整数环且不超过 10 环,其中射击 一次命中 7~10 环的概率如下表所示 命中环数 概 率 7 0.12 8 0.18 9 0.28 10 0.32

求该射击运动员射击一次, (1)命中 9 环或 10 环的概率; (2)命中不足 7 环的概率.

21. (本小题满分 12 分) 高一、三班 n 名学生在一次数学单元测试中,成绩全部介于 80 分与 130 分之间,将测试 成绩按如下方式分成五组,第一组[80,90) ;第二组[90,100) ,……,第五组[120,130], 并得到频率分布表如下: (Ⅰ ) 求 n 及分布表中 x , y , z 的值; 分组 频数 频率 (Ⅱ )设 t , s 是从第一组或第五组中任意抽取的两 x 0.04 [80,90) 名学生的数学测试成绩,求事件 “ t ? s ≤10 ”的概率. [90,100) [100,110) [110,120) [120,130] 9

y
0.38 0.34 0.06

z
17 3

22. (本小题满分 14 分) 已知关于 x , y 的方程 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 表示圆. (Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)若圆 C 与圆 x2 ? y 2 ? 8x ?12 y ? 36 ? 0 外切,求 m 的值; (Ⅲ)若直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与圆 C 交于不同的两点 M 、 N ,且 ?MON (O 是坐标原点 ) 是以 O 为直角顶点的直角三角形,求 m 的值.

4

参考答案及评分标准
一、选择题 ABCCA ACBCB CD 二、填空题 13. 2; 14. 2 ; 15. x ? y ? 3 ? 0 ; 16. 10 sin

?t
60

三、解答题 17. 解:解: (1)因为 P(?4,3) 是角 ? 终边上一点,所以 sin ? ? 原式 ?

3 4 , cos ? ? ? . ….3 分 5 5
………………6 分

3 sin ? cos(? ? ? )sin ? sin 2 ?( ?cos ?) sin ? ?? . ? ? 2 4 cos ? ( ? sin ?)cos ? ?cos ? sin ? cos ?

(2)原式 ?

sin(180? ? x) 1 cos x ? ? tan(? x) tan(90? ? x) tan(90? ? x) sin(? x)
sin x 1 ? tan x ? tan x(? ) ? sin x . ? tan x tan x

………………9 分

?

…………………………………………………………………………………12 分 18. 解: (Ⅰ)因为甲班的 5 名学生的平均得分为 (5 ? 8 ? 9 ? 9 ? 9) ÷ 5 ? 8 ,????1 分 所以方差 S1 ?
2

1 [(5 ? 8) 2 ? (8 ? 8) 2 ? (9 ? 8) 2 ? (9 ? 8) 2 ? (9 ? 8) 2 ] ? 2.4 ;…………..3 分 5
????????4 分

又乙班 5 名学生的平均得分为 (6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10) ÷ 5 ? 8 , 所以方差 S2 ?
2 2 所以 S1 , ? S2
2

1 [(6 ? 8) 2 ? (7 ? 8) 2 ? (8 ? 8) 2 ? (9 ? 8) 2 ? (10 ? 8) 2 ] ? 2 . ???6 分 5

因此,乙班的问卷调查得分更稳定一些.

?????????????8 分

(Ⅱ)从乙班 5 名同学的得分中任选 2 个的基本事件空间 ? = ?(6,7),(6,8),(6,9),(6,10) ,

(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)? 共 10 个基本事件, A ? ?( 6 , 7 ) , ( 6 , 8 ) , ( 8 , 1 0 ?) , ( 9, 10)
5

?????????10 分

设事件 A 为“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于 1 ” ,则

? P( A) ?

4 2 ? . 10 5

?????????????????????????12 分

19. 解:因为 cos ? ? sin ? ? ?

1 1 2 ,所以 (cos ? ? sin ? ) ? . 5 25

1 . 25 24 所以 2 cos ? sin ? ? ? . 25
即 1 ? 2 cos ? sin ? ?

…………………………………………….3 分

由条件 ? ? (0, ? ) 知, sin ? ? 0 ,所以 cos ? ? 0 ,因此 ? ? ( 故 cos ? ? sin ? ? 0 .
2

?
2

,? ) .

………………………………………………………6 分

又 (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 所以 cos ? ? sin ? ? ?
2 2

49 , 25

7 . 5

………………………………………………………..9 分

所以 cos ? ? sin ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ?

7 . ………………..12 分 25

20. 解:记“射击一次命中 k 环”的事件为 Ak (k ? N, k ≤10) ,则事件 Ak 彼此互斥. ???????????????????????????1 分 (1)记“射击一次命中 9 环或 10 环”为事件 A ,则当 A9 或 A10 之一发生时,事件 A 发生. ????????????????????????3 分 由互斥事件的概率加法公式,得

P( A) ? P( A9 ) ? P( A10 ) ? 0.28 ? 0.32 ? 0.60 .
因此,命中 9 环或 10 环的概率为 0.60. ??????????????7 分 (2)由于事件“射击一次命中不足 7 环”是“射击一次至少命中 7 环”的对立事件, ???????????????????????????9 分 故所求的概率为

P ? 1 ? (0.12 ? 0.18 ? 0.28 ? 0.32) ? 0.10 .
因此,命中不足 7 环的概率为 0.10. ?????????????????12 分 ………………………………2 分

21. 解: (I) y ? 1 ? 0.04 ? 0.38 ? 0.34 ? 0.06 ? 0.18 .

n?

3 ? 50 . …………………………………………………3 分 0.06 x ? 50 ? 0.04 ? 2 , z ? 50 ? 0.38 ? 19 . ……………………………5 分

(II)第一组 [80, 90) 中有 2 名学生,设其成绩为 m, n ;第五组有 3 名学生,设其成绩为

a、b、c .则抽取 (t , s) 的基本事件空间

? ? ?(m, n),(m, a),(m, b),(m, c),(n, a),(n, b),(n, c) (a, b), (a, c), (b, c)? 共 10 个

6

基本事件.

………………………………………………………8 分 . ………10 分

设事件 A 为“ t ? s ≤10 ”则 A = ?( x, y),(a, b),(a, c),(b, c)? 所以 P( A) ?

4 2 ? . 10 5
2 . 5
………………………………………………12 分.

即事件 t ? s ≤10 的概率为

22. 解: (Ⅰ)方程 C 可化为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m , 显然 5 ? m ? 0 ,即 m ? 5 时方程 C 表示圆.……………………………………………2 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知圆 C 的圆心为 (1, 2) ,半径为 5 ? m .

x2 ? y 2 ? 8x ?12 y ? 36 ? 0 可化为 ( x ? 4)2 ? ( y ? 6)2 ? 16 ,
故圆心为 (4, 6) ,半径为 4 . ………………………………………………………………4 分

2 2 又两圆外切,所以 (4 ? 1) ? (6 ? 2) ?

5? m ? 4.

即 5 ? 5 ? m ? 4 ,可得 m ? 4 .……………………………………………………………6 分 (Ⅲ)由 ?

? x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 ?x ? 2 y ? 4 ? 0

得 5x ? 8x ? 4m ? 16 ? 0 .
2

因为直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与曲线 C 有两个不同的交点,所以 ? ? 64 ? 20(4m ? 16) ? 0 . 解得 m ?

24 . 5

……………………9 分
2

设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,因为 ?MON 为直角三角形,所以 OM 即 ( x12 ? y12 ) ? ( x22 ? y22 ) ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y12 ? y12 ) . 化简得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 由根与系数的关系得 x1 ? x2 ?

? ON ? MN .

2

2

…………………………………………………….11 分

8 4m ? 16 , x1 x2 ? . 5 5 1 1 1 而 y1 y2 ? (4 ? x1 ) ? (4 ? x2 ) ? 4 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 . 2 2 4 5 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 4 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 . 4 8 24 5 8 由 4 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 0 得 m ? . 显然 ? , m 的值满足题意. 5 5 4 5 8 故所求 m 的值为 . ………………………………………………………………..14 分 5

7


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