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高中数学 必修2,选修2-1易错知识点回顾

时间:2016-12-22


高中数学

必修 2,选修 2-1 易错知识点回顾
1 三视图识图不准确致误

【例 1 】 ________.

已知某个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是

【错解】

4 000 3

【错因分析】 没有理解几何体的三视图的意义,不能正确从三视图还原成 几何体,不清楚几何体中的几何关系. 【正解】

如图所示,作几何体 S-ABCD 且知平面 SCD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,作 SE⊥CD 于点 E,得 SE⊥平面 ABCD 且 SE=20. 1 8 000 ∴VS-ABCD=3S 正方形 ABCD· SE= 3 ; 8 000 ∴这个几何体的体积是 3 . 【易错突破】 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图

综合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不 可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图 为主,结合侧(左)视图进行综合考虑. 易错点 2 【例 2】 DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C. 【错解】 (1)连接 BD1, 线面关系定理条件把握不准致误

在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、

∵E、F 分别为 DD1、DB 的中点, ∴EF∥D1B, ∴EF∥平面 ABC1D1. (2)AC⊥BD,又 AC⊥D1D, ∴AC⊥平面 BDD1, ∴EF⊥AC. 【错因分析】 【正解】 推理论证不严谨,思路不清晰.

(1)连接 BD1,如图所示, 在△DD1B 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点,则 EF∥D1B.

? D1B?平面ABC1D1??EF∥平面 ABC1D1. EF?平面ABC1D1 ?
EF∥D1B (2)ABCD-A1B1C1D1 为正方体?AB⊥面 BCC1B1

?B1C⊥AB B1C⊥BC1
1 1

? ? AB,BC ?平面ABC D ? ? AB∩BC =B
1 1

B1C⊥平面ABC1D1 ? B1C⊥BD1? ?? ??EF⊥B1C. BD1?平面ABC1D1? EF∥BD1 ?

【易错突破】 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归,根据线面 平行、垂直关系的判定和性质,进行相互之间的转化,如本题第 (2)问是证明线 线垂直,但分析问题时不能只局限在线上,要把相关的线归结到某个平面上(或 是把与这些线平行的直线归结到某个平面上),通过证明线面的垂直达到证明线 线垂直的目的, 但证明线面垂直又要借助于线线垂直,在不断的相互转化中达到 最终目的.解这类问题时要注意推理严谨,使用定理时找足条件,书写规范等. 易错点 3 【例 3】 -1=0 平行? (2)直线 l3:2x+ay=2 与直线 l4:ax+2y=1 垂直? 【错解】 (1)直线 x+2ay-1=0 与直线(3a-1)x-ay-1=0 的方程可变形 忽视直线斜率的特殊情况致误

a 为何值时,(1)直线 l1:x+2ay-1=0 与直线 l2:(3a-1)x-ay

3a-1 1 1 1 为 y=-2ax+2a与 y= a x-a, 1 3a-1 1 1 1 ∴当-2a= a 且2a≠-a,即 a=6时,两直线平行. 2? a? (2)当-a?-2?=-1 时,两直线垂直,此方程无解,故无论 a 为何值时,两 ? ? 直线都不垂直. 【错因分析】 (1)没考虑斜率不存在即 a=0 的情况;(2)没有考虑 l3 的斜率 不存在且 l4 的斜率为 0 也符合要求这种情况. 【正解】 (1)①当 a=0 时,两直线的斜率不存在,直线 l1:x-1=0,直线 l2:x+1=0,此时,l1∥l2. 3a-1 1 1 1 ②当 a≠0 时,l1:y=-2ax+2a,l2:y= a x-a, 1 直线 l1 的斜率为 k1=-2a,

3a-1 直线 l2 的斜率为 k2= a , 1 3a-1 ? ?-2a= a , 要使两直线平行,必须? 1 1 ≠ - ? ?2a a,

1 解得 a=6.

1 综合①②可得当 a=0 或 a=6时,两直线平行. (2)方法一 ①当 a=0 时,直线 l3 的斜率不存在,直线 l3:x-1=0,直线 l4:

1 y- =0,此时,l3⊥l4. 2 2 2 a 1 ②当 a≠0 时,直线 l3:y=-ax+a与直线 l4:y=-2x+2,直线 l3 的斜率为 2 a k3=-a,直线 l4 的斜率为 k4=-2,要使两直线垂直,必须 k3· k4=-1, 2 ? a? ?-2?=-1,不存在实数 a 使得方程成立. 即-a· ? ? 综合①②可得当 a=0 时,两直线垂直. 方法二 要使直线 l3:2x+ay=2 和直线 l4:ax+2y=1 垂直,根据两直线垂

直的充要条件,必须 A1A2+B1B2=0,即 2a+2a=0,解得 a=0,所以,当 a=0 时,两直线垂直. 【易错突破】 求直线方程,特别是研究含参数的直线方程问题时,一定要 对直线斜率的存在性进行讨论,这是避免出错的重要方法. 易错点 4 【例 4】 忽视圆锥曲线定义中的条件致误

已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同 y2 x2- =1 8

时与圆 C1 及圆 C2 外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为______. 【错解】

【错因分析】 错误运用双曲线定义出错.本题中,|MC2|-|MC1|=2,与双 曲线定义相比,左边少了外层绝对值,因此只能是双曲线的一支.如果不注意, y2 就会得出错误的结果,即点 M 的轨迹方程为 x - 8 =1.
2

【正解】

如图所示, 设动圆 M 与 圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2| =|MB|. 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2. 所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数. 又根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离 y2 大,与 C1 的距离小),其中 a=1,c=3,则 b =8.故点 M 的轨迹方程为 x - 8 =
2 2

1(x<0). 【易错突破】 应注意平面内到两个定点 F1, F2 的距离之差等于定长 2a(a>0) 的点的轨迹不是双曲线;当定长 2a<|F1F2|时,表示的只是双曲线的一支;当 2a =|F1F2|时,表示的是一条射线;当 2a>|F1F2|时,点的轨迹不存在. 易错点 5 离心率范围考虑不周致误 x2 y2 【例 5】 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为双曲线 上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为________. 【错解】

如图,设 |PF2|= m,∠ F1PF2 = θ(0<θ<π) ,由条件得 |PF1|= 2m, |F1F2|2 =m2 +(2m)2-4m2cosθ,且||PF1|-|PF2||=m=2a. m2+?2m?2-4m2cosθ 2c 所以 e=2a= m = 5-4cosθ. 又-1<cosθ<1,所以 e∈(1,3). 【错因分析】 【正解】 漏掉了 P 在 x 轴上的情况,即∠F1PF2=π 时的情况.

设|PF2|=m,∠F1PF2=θ(0<θ≤π),

当点 P 在右顶点处时,θ=π. c 2c 3m e=a=2a= m =3. 当 θ≠π, 由条件, 得|PF1|=2m, |F1F2|2=m2+(2m)2-4m2cosθ, 且||PF1|-|PF2|| =m=2a. m2+?2m?2-4m2cosθ 2c 所以 e=2a= = 5-4cosθ. m 又-1<cosθ<1,所以 e∈(1,3). 综上,e∈(1,3]. 【易错突破】 对圆锥曲线上点的特殊位置(如顶点)不能忽略,综合考虑所 有可能情况求离心率范围.


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