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初高中数学衔接知识总汇

时间:2016-09-19


第一章 数与式的运算 1、 1 绝对值
知识清单
1.绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它 的相反数,零的绝对值仍是零,即
? a (a ? 0) ? a ? ?0(a ? 0) ? ? a (a ? 0) ?

2.绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点 的距离。 3.两个数的差的绝对值的几何意义:a ? b 表示在数轴上, 数 a 和数 b 之 间的距离。 4.两个重要绝对值不等式:
x <a(a>0) ? ?a<x<a, x >a(a>0) ? x<? a或x>a

问题导入:
问题 1:化简:(1): 2x ?1 (2) : x ?1 ? x ? 3

问题 2:解含有绝对值的方程 (1) 2x ? 4 ? 6 ; (2): 3 ? 2x ? 2 ? 5

1

问题 3:至少用两种方法解不等式 x ? 1>4

知识讲解
例 1:化简下列函数,并分别画出它们的图象: (1) y ? x ; (2) y ? ? 2x ? 3 .

例 2:解不等式: x ?1 ? x ? 3>4

巩固拓展:
1.(1)若等式 a ? ?a , 则成立的条件是---------(2)数轴上表示实数 x1,x2 的两点 A,B 之间的距离为-------表

2.已知数轴上的三点 A,B,C 分别表示有理数 a, 1, -1, 那么 a ? 1 示( ) B、 A,C 两点间的距离
2

A、 A,B 两点间的距离

C、 A,B 两点到原点的距离之和 和

D、 A,C 两点到原点的距离之

2 2 2 3.如果有理数 x,y 满足 ?x ? 1? ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 x ? y ? ______

4.化简: (1) 3x ? 2 ? 2x ? 3 ; (2) x ? 1 ? 3

5.已知 x= -2 是方程 2x ? m ?1 ? ?6

的解,求 m 的值。

6.已知 a,b,c 均为整数,且 a ? b ? c ? a ? 1 ,求: c ? a ? a ? b ? b ? c 的 值

方法指导
学习本节知识,要充分领会绝对值的代数意义,从数和形两方面 去研究,体会分类讨论与数形结合的两种数学思想方法。
3

1、 2
知识清单
1.二次根式

二次根式与分式

(1)二次根式的定义:形如 a (a≥0)的式子叫二次根式,其中 a 叫被开方数,只有当 a 是一个非负数时, a 才有意义。 (2)二次根式的性质: ①

? a?

2

? a ( a ? 0) ;



? a (a ? 0) ? a ? ?0(a ? 0) a2 ? ? ? a (a ? 0) ?

③ ab ? a ? b (a≥0,b≥0) ④
a a ?a ? 0, b>0? ? b b

(3)分母有理化:一般常见的互为有理化因式有如下几类: ① a与 a ; ② a ? b与 a ? b ; ③ a ? b与a ? b ; ④ m a ? n b与m a ? n b 2.分式 (1)分式的意义:形如 的式子,若 B 中含有字母,且 B ≠0,则称
A 为分式 B A B

(2)分式的通分与约分:当 M≠0 时,

A A? M A A ? M ? , ? B B?M B B ? M

4

问题导入
问题 1:化简:(1) x 2 ?
1 ? 2 ?0<x< 1? x2

(2)

1? 3 1? 3

问题 2:(恒等式问题)若

5x ? 4 A B ? ? 恒成立,求常数 A,B 的值 x?x ? 2? x x ? 2

问题 3:解分式方程(不等式) (1)
4 x ?1 2x ? 3 ? ? x ?1 x ? 1 x ? 1
2

(2)1 ?

x?3 >4 2x ?1

知识讲解
例 1:求值:(1)2a2-5ac+2c2=0,设 e= a 且,e>1,求 e 的值。
c

(2)已知 x,y 是实数,且 y ?

x2 ? 9 ? 9 ? x2 ? 2 , 求5 x ? 6 y的值。 x?3

例 2:分式裂项求和 (1) 试证明: n(n ? 1) ? n ? n ? 1 (其中n是正整数);
1 1 1

(2) 计算:

1 1 1 1 ? ? ? ……+ ; 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 2013 ? 2014

5

(3) 证明;

1 1 1 1 ? ? …+ < (n是大于 1的正整数); 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2

巩固拓展
a a ? a ? a 2 ? ?2a _____ 1.写出下列各式成立的条件: a ? 2 ___; a?2

2.比较 ? 2 3与 - 3 2 的大小关系是:------? ? 3.对任意正整数 n, n(n ? 2) ? ___ ? ?n n?2?
1

?1

1 ?

4.若

2x ?1 ? y ? 3 ? 0, 则化简4 x ? xy ? 2 y等于_____
2x ? y 2 x

5.若 x ? y ? 3 , 则 y ? ___ 6.若 ? 2 则
b a

a 2 ? ab ? b 2 ? a 2 ? b2

7.已知:-1<a<2,求

a 2 ? 4a ? 4 a 2 ? 2a ? 1 的值 ? a?2 a ?1

方法指导
学习二次根式与分式要注意最后结果需保留最简二次根式与最 简分式,还要注意使它们有意义的条件。
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1、 3
知识清单

乘法公式

1.平方差公式: (a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b2 2.立方差公式: (a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) ? a 3 ? b3 3.立方和公式: (a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) ? a 3 ? b3 4.完全平方公式: (a ? b)2 ? a 2 ? 2ab ? b2 , ?a ? b?2 ? a 2 ? 2ab ? b2 5.三个数的完全平方公式: (a ? b ? c)2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca 6.完全立方公式:(a ? b)3 ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3.?a ? b?3 ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3

问题导入
问题 1:平方差公式 下 列 各 式 : ① (a ? 1)(?a ? 1) ; ② (a ? 1)(1 ? a) ; ③ (?a ? 1)(a ? 1) ; ④
(?a ? 1)(?a ? 1)

能利用平方差公式计算的是

问题 2:完全平方公式 若 a ? ? 3 ,求 (a ? ) 2 的值
1 a
1 a

问题 3:立方和(差)公式 设 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ,求 x 3 ? 9 的值

7

知识讲解
例 1:计算:
( x ? 1)(x ?1)(x 2 ? x ? 1)(x 2 ? x ? 1)

例 2:已知 a ? b ? c ? 4, ab ? bc ? ca ? a ,求 a 2 ? b2 ? c 2 的值

巩固拓展
2 2 1、 9 a ? 4 b ? ( 2 b ? 3 a ) ? (

1

1

1

1



2 2、若 x ? 2 mx ? k 是一个完全平方式,则 k=

1

2 2 2 2 3、已知 (m ? n) ? 8, (m ? n) ? 2 ,则 m ? n ?

2 2 4、不论 a,b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值( )

A、总是正数 C、可以是零

B、总是负数 D、可以是正数也可以是负数

5、若实数 x,y,z 满足 (x-z)2-4(x-y)(y-z)=0 ,则下列式子一定成立 的是( ) B、x+y-2z=0
8

A、x+y+z=0

C、y+z-2x=0

D、x+z-2y=0

2016 2017 6、化简: ( 3 ? 2 ) ? ( 3 ? 2 )

2 2 2 7、在 ?ABC 中,三边 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 2 2 , a ? b ? c ? 2

3

3

试探求 ?ABC 的形状

方法指导
学习乘法公式应注意掌握公式的结构特点以及公式中字母的广泛 意义,还要注意掌握公式的逆向应用,特别是完全平方公式的运用就 是配方,配方法是一种很重要的数学思想方法。
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1、 4
知识清单

因式分解

1.因式分解的定义:把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式) 2.因式分解的常用方法:提取公因式法:公式法(乘法公式、求根公 式);十字相乘法;分组分解法。

问题导入
问题 1:提取公因式法分解因式: (1) 2a 2b ? 4ab2 (2) a 2 (b ? 5) ? a(5 ? b)

问题 2:公式法分解因式 (1) x 2 ? x ?
1 4

(2) ? a 2 ? 16

(3) x 2 ? 4 x ? 1

问题 3:十字相乘法分解因式: (1) x 2 ? 3x ? 2 (2) 6 x 2 ? 7 x ? 2

问题 4:分组分解法分解因式: x2 ? xy ? 3x ? 3 y

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知识讲解
例 1、把下列各式分解因式
2 2 (1) (3x ? 2 y) ? ( x ? y)
2 2 (2) a ? 8ab ? 33b

例 2:把下列各式分解因式:
2 2 2 2 (1) x ? y ? a ? b ? 2ax ? 2by
2 2 (2) 4 ? ( x ? 4x ? 2)

四.巩固拓展 1. 在多项式中① x +7x+6 ;② x +4x+3 ;③ x +6x+8 ;④ x +7x+10 ;⑤ x +15x+44,有相同因式的是( A、只有①② C、只有③⑤
2 2 2 2 2

) B、只有③④ D、①和②;③和④;③和⑤ )

2.若多项式 x2-3x+a 可分解为(x-5)(x-b),则 a、b 的值分别是( A、 10,2 B、 10,-2 的一个因式是( C、x+3y C、 -10,-2 )

D、 -10,2

3.多项式 2x2-xy-15x2 A、2x-5y

B、x-3y

D、x-5y

4.把下列各式分解因式: (1) ? 13ab2 x6 ? 39a3b 2 x5
11

(2) m( x ? y ? z) ? x ? y ? z

(3) 3 x 2 ?

1 3

(4) 8a3 ? b3

(5) 6 x 2 ? 7 x ? 3

(6) x 2 ? x ? 1

(7) 4 x 4 ? 13x 2 ? 9

(8) a 2 ? 2ab ? b 2 ? 1

2 2 5、已知: a ? b ? 4a ? 2b ? 5 ? 0 ,求

( a ? b ) 2 ? 4 ab 的值 a ? ab

方法指导
因式分解要先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提取公因 式;再看能否使用公因式法;对于二次三项式的多项式,可考虑应用 十字相乘法;对于四项或四项以上的多项式,要考虑分组分解法;若 以上方法均感到困难,可考虑用配方法、换元法、拆项法、添项法和 待定系数法等其它多种分解因式的方法。 因式分解还应注意分解要彻 底。
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第二章 一元二次方程与二次函数 2、 1 一元二次方程
知识清单
1、一元二次方程式是指只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是二次的整式方程,该方程式的一般形式是:ax2+bx+c=0(a≠0),其 中,ax2 是二次项,bx 是一次项,c 是常数项,a、b 是常数。其中 a≠0 是一个重要条件,否则就不能保证该方程未知数的最高次是二次。 2、一元二次方程最常规的解法是公式法,其次有因式分解和配方等 方法。 3、能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数 的方程的解也叫作这个方程的根)。

问题导入
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判 定, 我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式, 通常用 “△” 来表示, 那么△同一元二次方程的根之间究竟有何关系?

知识讲解
13

例 1:用适当的方法解方程: (1)2(x+2)2-8=0 (2)x(x-3)=x

(3) 3 x2=6x- 3

(4)(x+3)2+3(x+3)-4=0

例 2:判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数),如果方 程有实数根,写出方程的实数根。 (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0

例 3:解下列关于 x 的方程: (1)x2-ax+(a-1)=0; (2)x2-2x+a=0

巩固扩展
1.选择题: (1)方程 x2-2 3 kx+3k2=0 的根的情况是( ) A.有一个实数根 C.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 D.没有实数根

(2)若关于 x 的方程 mx2+(2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根, 则
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实数 m 的取值范围是( A.m<
1 4
1 4

) B、m>1 4 1 D、m> ,且 m ? 0 4

C、m< ,且 m ? 0 2.填空:

(1)若 a 为方程 x2+x-5=0 的解,则 a2+a+1 的值为_____。 (2)方程 mx2+x-2m=0(m ? 0)的根的情况是_____。 3.试判定当 m 取何值时, 关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?

4.用适当的方法解下列一元二次方程; (1)x2-5x+1=0; (2)3(x-2)2=x(x-2);

(3)2x2-2 2 x-5=0;

(4)(y+2)2=(3y-1)2

方法指导
1.要特别注意的是,只要所给的方程有实数根,其根的判别式首先应 大于零。
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2.应重视因式分解和配方在解一元二次方程中的作用。

2、 2
知识清单

一元二次方程根与系数的关系

对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),有: (1)当△>0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2=
? b ? b 2 ? 4ac ; 2a

(2)当△=0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=- (3)当△<0 时,方程没有实数根。

b ; 2a

问题导入
问题:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数之间有何关系?

知识讲解
例 1: 已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2, 求它的另一个根及 k 的值。 分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的 值,再由方程解出另一个根。但由于我们学习了韦达定理,又可以利 用韦达定理来解题, 即由于已知方程的一个根及方程的二次项系数和 常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和 求出 k 的值。

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例 2:已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且 这两个实数根的平方和比两个根的积大于 21,求 m 的值。 分析:本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程,从而解得 m 的值,但在解题中需要特别注意 的是, 由于所给的方程有两个实数根。 因此, 其根的判别式应大于零。

例 3.若 x1,x2 是方程 x2+2x-2007=0 的两个根,试求下列各式的值:
2 (1) x12 + x2 ;

(2)

1 1 + ; x1 x2

(3)(x1-5)(x2-5);

(4) x1 ? x2 .

分析;本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将会出 现 复杂的计算。这里可以利用韦达定理来解答。

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例 4:求证:若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),则
x1 ? x2 ? ? (其中△=b2-4ac). a

巩固扩展
1.选择题 (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根 是( A. -3 ) B.3 C.-2 D.2

(2)下列四个说法: ?方程 x2+2x-7=0 的两个根之和为-2,两根之积为-7; ?方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ?方程 3x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为7 3

④方程 3x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确的说法的个数是( A.1 个 )

B.2 个 C.3 个 D.4 个

(3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的 值是( A.0 B.1 ) C.-1 D.0 或-1
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2.填空 (1)方程 kx2+4 x-1=0 的两根之和为-2,则 k=____ (2)方程 2x2-x-4=0 的两根为 α,β,则 α2+β2=____ (3)已知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2.则它的另一个根是 ____ (4)方程 2x2+2x-1=0 的两个根为 x1 和 x2,则 x1 ? x2 ? ____ 3.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相 反数。

4.关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1 和 x2 满足 x1 ? x2 ? 2,求实数 m 的值。

方法指导
1.韦达定理实现了不解而求, 在今后学习中至关重要, 应予充分关注。 2.在解题中需要特别注意的是,有实数根的方程的判定式首先应大于
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零。

2、 3
知识清单

二次函数的概念、图象和性质

1.定义:形如 y=ax2+bx+c=0(a≠0)的函数叫做关于 x 的二次函数。 2.二次函数的图象与性质;图象,开口,对称轴,顶点,最值,增减性 等方面要弄清楚。 3.二次函数图象的画法:先配方求出对称轴和顶点,确定开口方向, 接下来利用对称性列表, 最后描点画图, 作草图时, 应抓住以下五点: 开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点。

问题导入
问题:二次函数解析式有几种常见的表达式?

知识讲解
例 1:已知某二次函数的最大值为 2,图象的顶点在直线 y=x+1 上, 并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式。 分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件──最大值、顶 点位置,从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求 解出系数 a.

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说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置 求出顶点坐标, 然后设出二次函数的顶点式, 最终解决了问题, 因此, 在解题时,要充分挖掘题目所给的题目所给的条件,并巧妙地利用条 件简捷地解决问题。 例 2:已知二次函数的图象过点(-3,0),(1.0),且顶点到 x 轴 的距离等于 2,求此二次函数的表达式。 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上 就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标, 于是可以将函数的表达式设 成交点式。 分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称 轴为直线 x=-1,又由顶点到 x 轴的距离为 2,可知顶点的纵坐标为 2 或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后在利 用图象过点(-3,0)或(1,0),就可以求得函数的表达式。

说明: 上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不 同角度。利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于
21

利用条件,选择恰当的方法来解决问题。 例 3:已知二次函数的图像过点 (?1,?22), (0,?8), (2,8) ,求此函数的表达 式

通过上面的几道例题,同学们能否归纳出,在什么情况下,分别 利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式? 例 4:把二次函数 y=x2+bx+c 的图象向上平移 2 个单位长度,再向左 平移 4 个单位长度,得到函数 y=x2 的图象,求 b,c 的值。

说明 : 本例的两种解法都是利用二次函数图象的平移规律来解决问 题,所以,同学们要牢固掌握二次函数图象的变换规律。 这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一, 是直接利用条件 进行正向的思维来解决的,其运算量相对较大;而解法二,则是利用 逆向思维,将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解,具有计算 量小的优点。今后,我们在解题时,可以根据题目的具体情况,选择 恰当的方法来解决问题。
22

巩固扩展
1.选择题 (1)函数 y=-x2+x-1 的图象与 x 轴的交点个数是( A.0 个 B.1 个
1 2



C.2 个

D.无法确定 )

(2)函数 y=- ? x ? 1?2 +2 的顶点坐标是( A.(1,2) 2.填空题

B.(1,-2) C.(-1,2) D.(-1,-2)

(1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二 次函数的解析式可设为 y=a_____(a≠0) (2)二次函数 y=-x2+2√3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 ____。 3.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式。 (1)已知二次函数的图象经过点 A(0,-1),B(1,0),C(-1,2);

(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与 y 轴交于点(0,1);

(3)已知抛物线与 x 轴交于点 M(-3,0),(5,0),且与 y 轴交于 点(0,-3);

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(4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与 x 轴两交点的距离为 4.

4.某种产品的成本是 120 元∕件,试销阶段每件产品的售价 x(元) 与产品的日销售量 y(件)之间关系如下表所示: x∕元 y∕件 130 70 150 50 165 35

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大 的利润, 每件产品的销售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多 少?

方法指导
1.在求二次函数解析式时,要充分挖掘题目所给的条件,选择适当形 式以简化计算。
24

2.要牢固掌握二次函数图象的变换规律。

2 、4
知识清单

二次函数的最值

二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 在自变量 x 取任意实数时的最值情况;
4ac ? b 2 b 当 a>0 时,函数在 x=- 处取得最小值 ,无最大值; 4a 2a

当 a<0 时,函数在 x=--

4ac ? b 2 b 处取得最大值 ,无最小值。 4a 2a

问题导入
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 在自变量 x 取任意实数时的最值是如何 得到的?

知识讲解
例 1:当 x≥0 时,求函数 y=-x(2-x)的取值范围。

例 2:当 1≤x≤2 时,求函数 y=-x2-x+1 的最大值和最小值。

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例 3:某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商 品每天的销售量 m (件)与每件的销售价 x( 元)满足一次函数 m=162-3x,30≤x≤54. (1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间 的函数关系式; (2)若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定位多少 最合适?最大销售利润为多少?

例 4: 当 t≤x≤t+1 时, 求函数 y= x 2 ? x ? 的最小值 (其中 t 为常数) 。

1 2

5 2

巩固扩展
1.抛物线 y=x2-(m-4)x+2m-3,当 m=_____时,图象的顶点在 y 轴 上;当 m=____时,图象的顶点在 x 轴上;当 m=___时,图象过原点。 2.用一长度为 L 米的铁丝围成一个长方形或正方形, 则其中所围成的 最大面积为____。 3.设 a>0,当-1≤x≤1 时,函数 y=-x2-ax+b+1 的最小值是-4,最大 值是 0,求 a,b 的值。

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4.已知函数 y=x2+2ax+1 在-1≤x≤2 上的最大值为 4,求 a 的值。

方法指导
1.二次函数最大值或最小值的求法。 第一步确定 a 的符号,a>0 时有最小值,a<0 时有最大值; 第二步配方法求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。 2.求二次函数在某一范围内的最值, 要注意对称轴与自变量的取值范 围的先对位置。 例如:y=ax2+bx+c 在 m≤x≤n(其中 m<n)的最值。 第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴:x=x0; 第二步:讨论; (1)若 a>0 时求最小值或 a<0 时求最大值, 需要分三种情况讨论: ?对称轴小于 m 即 x0<m,即对称轴在 m≤x≤n 的左侧; ?对称轴 m≤x0≤n,即对称轴在 m≤x≤n 的内部; ?对称轴大于 n 即 x0>n,即对称轴在 m≤x≤n 的右侧。 (2)若 a>0 时求最大值或 a<0 时求最小值, 需要分两种情况讨论: ?对称轴 x0≤
m?n ,即对称轴在 m≤x≤n 的中点的左侧; 2
27

?对称轴 x0>

m?n ,即对称轴在 m≤x≤n 的中点的右侧; 2

2、5 一元二次不等式的解法
知识清单
1.一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”),“≠” 连接的式子叫做不等式。 (不等式中可以含有未知数,也可以不含有 积数) 用不等号连接的,含有一个未知数,并且未知数的次数都是 1, 系数不为 0,左右两边的整式的式子叫做一元一次不等式。 2.不等式的基本性质 (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)(0 除 外),不等号的方向不变。 (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数, 不等号的方向不变。 (3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改 变。

问题导入
问题 1:已知二次函数 y=x2-x-6,当取 x 何值时,y=0?当取 x 何值 时,y<0?

问题 2:怎样解关于 x 的一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)呢?

28

知识讲解
例 1:解下列不等式: (1)x2-2x-8<0; (2)x2-4x+4≤0;

(3)x2-x+2<0.

例 2:已知对于任意实数 x,kx2-2x+k 恒为正数,求实数 k 的取值范 围。

例 3:解关于 x 的不等式 x2-x-a(a-1)>0

29

例 4:解关于 x 的一元二次不等式 x2+ax=1>0(a 为实数) 分析:对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项 系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要 讨论根的判别式△的符号,而这里的△是关于未知系数的代数式,△ 的符号取决于未知系数的取值范围。因此,再根据解题的需要,对△ 的符号进行分类讨论。

巩固扩展
1.解下列不等式; (1)2x2+x<0; (2)x2-3x-18≤0

(3)-x2+x≥3x+1;

(4)x(x+9)>3(x-3).

30

2.已知关于 x 的不等式 mx2-x+m<0 的解是一切实数,求 m 的取值范 围。

3.解关于 x 的不等式 x2+2x+1-a2≤0.

4 、 已 知 不 等 式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 解 是 x ? 2或x ? 3 , 求 不 等 式
bx2 ? ax ? c ? 0 的解。

方法指导:
解一元二次方程的一般步骤是: (1)化二次项系数为正 (2)若二次三项式能分解成一个因式的积,则求出两根 x1 , x2 ,那么 “>0” 型的解为 x ? x1或x ? x2 (俗称两根之外) ; “<0” 型的解为 x1 ? x ? x2 (俗称两根之间) (3)否则,对二次三项式进行配方,变成
ax2 ? bx ? c ? a( x ? b 2 4ac ? b 2 ) ? ,结合完全平方式为非负数的性质求解 2a 4a
31

2、 6
知识清单:

简单的多元多次方程组

1、二元一次方程:一个方程含有两个未知数,并且未知数的指 数都是 1 的整式方程,叫做二元一次方程 二元一次方程组:含有两个相同未知数的两个一次方程所组成的 方程组叫做二元一次方程组 二元一次方程的解:适合二元一次方程的一组未知数的值叫做这 个二元一次方程的一个解 二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫 做这个二元一次方程组的解, 二元一次方程组的解必是它所含的二元 一次方程的解 2、方程 x2 ? 2xy ? y 2 ? x ? y ? 6 ? 0 是一个含有两个未知数,并且含有 未知数的项的最高次数是 2 的整式方程, 这样的方程叫做二元二次方 程。其中 x 2 ,2 xy, y 2 叫做这个方程的二次项, x, y 叫做一次项,6 叫做常 数项

问题导入:
问题 1、解二元一次方程组的基本思想是什么?有哪些常用方法?

问题 2:解多元多次方程组基本思想是什么?

32

知识讲解:
例 1: 解方程组 ?
?x ? y ? 7 ? xy ? 12
? ?

例 2:解方程组 ?

?x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 ? x ? 2y ? 2 ? 0

? ?

分析:二元二次方程组对于我们来说较为生疏,可以将其转化为我们 熟悉的形式。注意到方程?是一个一元一次方程,于是,可以利用该 方程消去一个元,再代入到方程?,得到一个一元二次方程,从而将 所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题

说明:在解类似于本题的二元二次方程组时,通常采用本例所介绍的 代入消元法来求解
? x ? y ? 20 例 3、解方程组 ? ? y ? z ? 19 ? ? x ? z ? 21
? ?


巩固拓展:
1、下列各组中的值是不是方程组 ?
? x 2 ? y 2 ? 13 ? x? y ?5

的解?

33

(1) ?

?x ? 2 ?y ? 3

(2 ) ?

?x ? 3 ?y ? 2

(3) ?

? x ?1 ?y ? 4

(4) ?

? x ? ?2 ? y ? ?3

2、解下列方程组: (1) ?
? y ? x?5
2 2 ? x ? y ? 625

(2) ?

?x ? y ? 3 ? xy ? ?10

? x2 y 2 ? ?1 (3) ? ?5 4 ? ? y ? x ?3

(4) ?

? y 2 ? 2x
2 2 ?x ? y ? 8

3、甲、乙两同学解方程组 ?

?x ? 2 ? ax ? by ? 2 ,已知甲的正确解答是 ? , ?y ? 4 ?ca ? 2 y ? 10

乙由于看错了 c ,求出的解是 ?

? x?3 ,求 a, b, c 的值 ? y ? 6.5

?2 x ? y ? z ? 15 4、解方程组 ? ? x ? 2 y ? z ? 16 ? x ? y ? 2 z ? 17 ?

方法指导:
解多元多次方程组的基本思想是“消元”和“降次”,将多元转 化为一元,将高次转化为一次。因此,掌握好消元和将次的一些方法 和技巧是解多元多次方程组的关键
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第三章 〖知识点〗
心、应用问题的主要类型

数学应用题

列方程(组)解应用题的一般步骤、列方程(组)解应用题的核

〖大纲要求〗
能够列方程(组)解应用题

列出方程(组)解应用题的一般步骤是:
1、审题:弄清题意和题目中的已知数、未知数; 2、找等量关系:找出能够表示应用题全部含义的一个 (或几个) 相等关系; 3、设未知数:据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数 4、列方程(组):根据确立的等量关系列出方程 5、解方程(或方程组),求出未知数的值; 6、检验:针对结果进行必要的检验; 7、作答:包括单位名称在内进行完整的答语。

35

3 、1
知识清单

行程问题

1、基本概念:行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、 时间、行程三者之间的关系。 2、基本公式:路程=速度× 时间;路程÷ 时间=速度;路程÷ 速度=时 间 关键问题:确定行程过程中的位置 相遇问题:速度和× 相遇时间=相遇路程(请写出其他公式) 追击问题:追击时间=路程差÷ 速度差(写出其他公式) 流水问题:顺水行程=(船速+水速)× 顺水时间 逆水行程=(船速-水速)× 逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷ 2 水 速=(顺水速度-逆水速度)÷ 2

流水问题:关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。 过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。 基本题型:已知路程(相遇问题、追击问题)、时间(相遇时间、追 击时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求出第三个量。

问题导入
问题 1: 甲、乙两站相距 480 公里,一列慢车从甲站开出,每小时 行 90 公里,一列快车从乙站开出,每小时行 140 公里。
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(1)慢车先开出 1 小时,快车再开。两车相向而行。问快车开出多 少小时后两车相遇? (2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距 600 公里? (3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与 慢车相距 600 公里? (4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车 追上慢车? (5)慢车开出 1 小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出 后多少小时追上慢车?

问题 2:A、B 两地相距 82km,甲骑车由 A 向 B 驶去,9 分钟后,乙 骑自行车由 B 出发以每小时比甲快 2km 的速度向 A 驶去,两人在相 距 B 点 40km 处相遇。问甲、乙的速度各是多少?

知识讲解
例 1:甲、乙两人分别骑车从 A,B 两地相向而行,甲先行 1 小时后, 乙才出发,又经过 4 小时两人在途中的 C 地相遇,相遇后两人按原 来的方向继续前进。乙在由 C 地到达 A 地的途中因故停了 20 分钟, 结果乙由 C 地到达 A 地时比甲由 C 地到达 B 地还提前了 40 分钟, 已知乙比甲每小时多行驶 4 千米,求甲、乙两人骑车的速度。

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例 2:甲、乙两个城市间的铁路路程为 1600 公里,经过技术改造, 列车实施了提速,提速后比提速前速度增加 20 公里/小时,列车从甲 城到乙城行驶时间减少 4 小时, 这条铁路在现有的安全条件下安全行 驶速度不得超过 140 公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁 路现有的条件下列车还可以再次提速.

巩固扩展
1、甲、乙二人分别从相距 20 千米的 A、B 两地以相同的速度同时相 向而行,相遇后,二人继续前进,乙的速度不变,甲每小时比原来多 走 1 千米,结果甲到达 B 地后乙还需 30 分钟才能到达 A 地,求乙每 小时走多少千米.

2、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线 航行 180 海里到达厦门;乙沿原来航线绕道香港后来厦门,共航行了 720 海里,结果乙比甲晚 20 小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时 快 6 海里, 求甲客轮的速度 (其中两客轮速度都大于 16 海里/小时) ?

38

3、 2
知识清单

利润问题

1、每件商品的利润=售价-进货价 毛利润=销售额-费用 利润率=(售价--进价)/进价×100% 2、(1)销售问题中常出现的量有:进价、售价、标价、利润等 (2)有关关系式: 商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价×折扣率

问题导入
问题 1:一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价,又以 8 折优惠 卖出,结果每件仍获利 15 元,这种服装每件的进价是多少? 分析:探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为 X 元 进价 x元 折扣率 8折 标价 优惠价 利润

(1+40%) x 元 80%(1+40%) 15 元 x

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问题 2:西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜,以 3 元/ 千克的价格出售,每天可售出 200 千克.为了促销,该经营户决定降 价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价 0.1 元/千克,每天可多 售出 40 千克.另外,每天的房租等固定成本共 24 元.该经营户要想 每天盈利 200 元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?

知识讲解
例 1、某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利 10 元, 每天可售出 500 千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若 每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克。现该商品要保证每天盈 利 6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?

例 2、某商店以 2400 元购进某种盒装茶叶,第一个月每盒按进价增 加 20%作为售价,售出 50 盒,第二个月每盒以低于进价 5 元作为售 价,售完余下的茶叶.在整个买卖过程中盈利 350 元,求每盒茶叶的 进价.

40

巩固拓展
1、黄冈百货商店服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可 售出 20 件,每件盈利 40 元.为了迎接“六·一”国际儿童节,商场 决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市 场调查发现: 如果每件童装降价 4 元, 那么平均每天就可多售出 8 件. 要想平均每天销售这种童装上盈利 1200 元,那么每件童装因应降价 多少元?

2、、某书店老板去批发市场购买某种图书,第一次购用 100 元,按 该书定价 2.8 元现售,并快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每 本的批发价已比第一次高 0.5 元,用去了 150 元,所购数量比第一次 多 10 本.当这批书售出 时,出现滞销,便以定价的 5 折售完剩余 的图书,试问该老板第二次售书是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其它 因素)?若赔钱,赔多少?,若赚钱,赚多少?
4 5

41

3、 3
知识清单

利息问题

1、储蓄存款利息计算的基本公式为:利息=本金× 存期× 利率 利率的换算 : 年利率、月利率、日利率三者的换算关系是: 年利率=月利率× 12(月)=日利率× 360(天); 月利率=年利率÷ 12(月)=日利率× 30(天); 日利率=年利率÷ 360(天)=月利率÷ 30(天)。 使用利率要注意与存期相一致。 利润与折扣问题的公式 : 利润=售出价-成本 利润率=利润÷ 成本× 100%=(售出价÷ 成本-1)× 100% 2、涨跌金额=本金× 涨跌百分比 折扣=实际售价÷ 原售价× 100%(折扣<1) 利息=本金× 利率× 时间 税后利息=本金× 利率× 时间× (1-20%)

问题导入
问题 1: 某同学把 250 元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半 年后共得本息和 252.7 元,求银行半年期的年利率是多少?(不计利 息税)分析:等量关系:本息和=本金×(1+利率)

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问题 2:(2012 娄底市)为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降 低药价,对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为 256 元, 设平均每次降价的百分率为 x,则下面所列方程正确的是( A.289(1﹣x)2=256 C.289(1﹣2x)=256 B.256(1﹣x)2=289 D.256(1﹣2x)=289 )

分析:对于连续两次增长或降低的问题,可以直接套用式子.若初始 数值为 a,连续两次增长或降低后的数值为 b,平均增产率或降低率 相同,可建立方程:a(x ? 1)2=b.

知识讲解
例 1:市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某 种药品经过连续两次降价后,由每盒 200 元下调至 128 元,求这种药 品平均每次降价的百分率是多少?

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巩固扩展
1、恒利商厦九月份的销售额为 200 万元,十月份的销售额下降了 20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升, 十二月份的销售额达到了 193.6 万元,求这两个月的平均增长率.

2: 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银 行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的 500 元捐给“希望工 程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第 一次存款时年利率的 90%,这样到期后,可得本金和利息共 530 元, 求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)

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第四章 形 4、1 面积与体积
衔接目标:
在小学初中数学中,我们认识了各种各样的图形,他们的面积以 及体积是我们考试的一个重点内容。

知识清单:
1、面积: 三角形的面积公式: 平行四边形的面积公式: 梯形的面积公式: 圆的面积公式: 长方形的面积公式: 正方形的面积公式: 2、体积: 正方体的体积公式: 长方体的体积公式: 圆锥的体积公式: 圆柱的体积公式: 球的体积公式:

问题导入:
问题 1、求阴影部分的面积

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问题 2: 从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中, 挖 去一个以圆柱上底为底,下底面的中心为顶点的 圆锥,得到一个如图所示的几何体,则这个几何 体的体积为

12m

知识讲解:
例 1: 平湖校园有块草坪如图所示, 他的面积是多少?

4m 10m

15m

例 2:圆锥的侧面展开为扇形,若其弧长为 2?cm ,半径为 2cm , 求该几何体的体积?

巩固拓展:
1、求一个正四面体的内切球半径与外接球的半径之比?

2、已知下图的两个正方形边长分别为 6dm 和 4dm,求图中的阴影部分的面积

46

4、 2
衔接目标:

比例性质

在初中数学中,比例性质不作要求,平行线分线段成比例定理要 求不高,而在高中数学的解析几何、立体几何、平面向量和空间向量 中,这些内容都是在要求范围内。因此通过本节的学习,要记住并理 解比例性质、平行线分线段成比例定理,且能更灵活的应用

知识清单:
1、比例性质
c ? ad ? bc d a c b d ?、反比例性质: ? ? ? b d a c a c a b ?、更比性质: ? ? ? b d c d

?、比例的基本性质: ?

a b

2、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 特别地,在三角形中有: ?、平行于三角形的一边的直线截其他(或两边的延长线),所 得的对应线段成比例 ?、平行于三角形的一边,并且和其他 两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与 原三角形的三边对应成比例 如图, l1 // l2 // l3 ,有 当然也有
AB DE ? AC DF AB DE ? BC EF

在运用该定理解决问题的过程中,我们一定要注意线段之间的对
47

应关系,是“对应”线段成比例。

问题导入:
问题 1:求证: ?
a b c a?b c?d ? ? (合比性质) d b d

问题 2:求证: ? 质)

a b

c m a ? c ? ??? ? m a ? ? ? ? ? (b ? d ? ? ? ? ? n ? 0) ? ? (等比性 d n b ? d ? ??? ? n b

问题 3: 如图, 在 ?ABC 中, EF//DC, DE//BC, 求证: (1)、AF:FD=AD:DB (2)、 AD 2 ? AF ? AB

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知识讲解:
例 1、已知
a ? 2b 9 ? ,则 a : b ? 2a ? b 2
x 2 y z x? y?z ? ? 0 ,那么 = 3 4 x? y?z

例 2、如果 ?

例 3、如图,F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上的一点,EF//BC,FG//AD。 求证:
AE CG ? ?1 AB CD

巩固拓展:
1、已知 a, b, c 均为非零实数,,且满足 求
( a ? b)( b ? c )( c ? a ) 的值 abc

a ?b?c a ?b?c b?c ?a ? ? , c b a

2、如图。AB//EF//CD, (1)、AB=10 ,CD=15,AE:ED=2:3 , 求 EF 的长 (2)、AB=a,CD=b,AE:ED=k,求 EF 的长

49

4、 3
衔接目标:

三角形四心

在初中数学中,三角形的四心要求不高,而在高中数学中解 析几何、解析几何、立体几何、平面向量和空间向量中,这些内容都 是在要求范围内。因此通过本节的学习,要记住并理解三角形的四心 定义和性质且能更灵活的应用

知识清单:
三角形的四心 (1)三角形重心 三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心 定理:三角形的重心到定点的距离等于它到对边中点的距离的两 倍 (2)三角形的内心 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,这个点到三角形三 边的距离相等 (3)三角形的外心 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点,这个点到三角 形三个顶点的距离相等 (4)三角形的垂心 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心
50

锐角三角形的垂心比在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶 点;钝角三角形的垂心在三角形外

问题导入:
问题 1:求证:三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的 两段长度之比为 2:1

问题 2:求证:三角形的三条高交于一点.

问题 3:求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为 正三角形.

知识讲解:
例 1: 如图, 在 ?ABC 中, AB=5, BC=12,AC=13,且 G 为重心,O 为外心,试求 GO

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例 2:如图 1,在 ?ABC 中,AB=3,BC=5,AC=4,求这个三角形 的内切圆半径和外接圆半径 如图 2,在 ?ABC 中,AB=AC=4,BC=2,求这个三角形的内切圆 半径和外接圆半径 如图 3,在 ?ABC 中, AB ? AC ? 2 3, BC ? 6 ,求这个三角形的内切 圆半径和外接圆半径

巩固拓展:
1、设 G 为 ?ABC 的重心,M、N 分别为 AB、CA 的中点,求证:四 边形 GMAN 和 ?GBC 的面积相等

52

4、 4
衔接目标:

相似三角形

在初中数学中,三角形的相似的性质与判定要求不高,而在高中 数学的解析几何、立体几何、平面向量和空间向量中,这些内容都是 在要求范围内。因此通过本届的学习,要记住并理解三角形的相似的 性质与判定,且能更灵活的应用

知识清单:
1、三角形相似的判定定理 ?、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两角对应相等, 那么这两个三角形相似 简称为:两脚对应相等的两个三角形相似 ?、如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例, 并且夹角相等,那么这两个三角形相似 简称为:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ?、如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例, 那么这两个三角形相似 简称为:三边对应成比例的两个三角形相似 2、三角形相似的性质 ?、相似三角形的对应角相等 ?、相似三角形的对应边成比例 ?、相似三角形的对应高线成比例,对应中线的比和对应角平分 线的比都等于相似比
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④、相似三角形的周长比等于相似比 ⑤、相似三角形的面积比等于相似比的平方

问题导入:
问题 1:如图所示,AB//EF//CD,若 AB=6 cm,CD=9 cm,求 EF

问题 2: 如图所示, 在平行四边形 ABCD 中, E 是 AB 延长线上一点, DE 交 BC 与 F,已知 BE:AB=2:3,
S?BEF ? 4 ,求 S ?CDF

知识讲解:
例 1、在 ?ABC 中,AD 为 ?BAC 的角平分线,求证:
AB BD ? AC BC

54

例 2、如图所示,在 ?ABC 中, ?BAC ? 120? ,AD 平分 ?BAC 交 BC 于 D,
1 1 1 ? ? 求证: AD AB AC
A

B

C

D

例 3:如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 为 AD 延长 线上一点, OE 交 CD 于 F, EO 的延长线 交 AB 于 G, 求证:
AB AD ? ?2 DF DE

巩固拓展:
1、小明欲测量一古塔的高度,他站在 该塔的影子上前后移动,直到他本身影 子的顶端正好与塔的影子的顶端,此时 他距离该塔 18 m,已知小明的身高是 1.6 m,他的影长是 2 m,求塔的高度

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4、 5
衔接目标:

直角三角形

在初中数学中,直角三角形性质,射影定理不作要求,而在高中数学的解析 几何、立体几何、平面向量和空间向量中,这些内容都是在要求范围内。因此通 过本届的学习,要记住并理解直角三角形的性质、射影定理,且能更灵活的应用

知识清单:
1、勾股定理: 直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即 “弦”)边长的平方。也就是说,设直角三角形两直角边为 a 和 b,斜 边为 c,那么 a? +b? =c? 。 2、直角三角形相似 ?、直角三角形被斜边上的高分成的两两个直角三角形与原三角形 相似 ?、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形 的的斜边和一条直角边成比例,那么这两个直角三角形相似 3、射影定理 直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中 项。 每一条直角边是这两条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 情境导入: 问题 1:求证:直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于 斜边(即“弦”)边长的平方。

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问题 2:在直角三角形 ABC 中, ?BAC 为直角, AD ? BC 于D 求证:(1)、 AD2 ? BD ? DC (2)、 AB2 ? BD ? BC (3)、 AC2 ? CD ? CB

知识讲解:
例 1、如图,早上 10 时小东测得某树的影长为 2 m,到了下午 5 时又 测得该树的影长为 8 m,若两次日照 的光线互相垂直,求树高

例 2:如图所示,已知 BD、CE 是 ?ABC 的两条高,过点 D 作直线交 BC 和 BA 的延长线于 G、H,交 CE 与 F,且 ?H ? ?BCF 。 求证: GD2 ? GF ? GH

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例 3、如图所示,一个高为 18 m,底面周长为 5 m 的 圆柱形水塔,现制造一个螺旋形登梯,为了减小坡度, 要求登梯环绕一周半到达顶端,问登梯至少多长?

巩固拓展:
1、如图所示,在锐角 ?ABC 中,CD 垂直 BA 的延长线于 D, 求证: BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2 AB ? AD

2 、 如 图 所 示 , CD 是 ?ABC 的 高 ,
DE ? CA, DF ? CB ,求证: ?CEF ∽ ?CBA

58

4、 6
衔接目标:



在初中数学中,圆的要求较低,对相交线定理、割线定理和切割 线定理不作要求,对四点共圆不作要求,本节的学习,要在对圆的基 本性质的复习基础上了解四点共圆的判定、点与圆的位置关系、直线 与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及其简单的应用

知识清单:
1、圆的定义 到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆心, 圆心是圆的对称中心 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径,字母表示为 r 。通 过圆心并且圆上的线段叫做直径,字母表示为 d 。直径所在的直线是 圆的对称轴 2、圆的有关性质 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧 (2)有关圆周角和圆心角的性质和定理 ?在同圆和等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两 条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都 相等 ?在同圆和等圆中,相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半(圆周角和圆心角在弦的同侧)
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直径所对的圆周角是直角,
90? 的圆周角所对的弦是直径

(3)有关外接圆和内切圆的性质和定理 ?一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆 ?两相切圆的连心线过切点(连心线:两个圆心相连的直线) (4)如果两圆相交,那么连接两圆圆心的线段(直线)垂直平 分公共弦 (5)?圆的内接四边形对角互补 共圆 3 位置关系: (1)点和圆的位置关系 ?点 P 在圆 O 外 ? PO ? r ?点 P 在圆 O 上 ? PO ? r ?点 P 在圆 O 内 ? PO ? r (2)直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r ,圆心到直线的距离为 d ?直线与圆无公共点,称相离 AB 与圆 O 相离,有 d ? r ?直线和圆有两个公共点,称相交,这条直线叫做圆的割线。 AB 与圆 O 相交,有 d ? r 在直线与圆相交时,设两个公共点分别为 A、B。若直线经过圆心,则 AB 为直径;若
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?对角互补的四边形四点

AB 不经过圆心,如图所示,连接圆心 O 和弦 AB 的中点 M 的线段 OM 垂直于这条弦 AB。且在 Rt ?OMA 中,OA 为圆的半径 r ,OM 为圆 心到直线的距离 d , MA 为弦长 AB 的一半,根据勾股定理,有
r2 ? d 2 ? ( AB 2 ) 2

?直线和圆有 且只有一个公共点, 称相切, 这条直线叫 做圆的切线, 这个唯 一的公共点叫做切 点 AB 与圆 O 相切, 有d ? r 从圆上一点引圆的切线,有且只有一条;从圆外一带你引圆的切 线,有且只有两条,并且这两条切线的长度相等 (3)两圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R和r ,且 R ? r 。两圆圆心之间的距离叫做圆 心距。

问题导入:
问题 1 :如图所示,在半径为 5cm 的圆 O 中,圆心 O 到弦 AB 的距 离为 3cm,则弦长 AB=( ) A、4cm C、8cm B、6cm D、10cm
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问题 2:已知四边形 ABCD 内接于一个圆(A、B、C、D 四点共圆), 求证:四边形 ABCD 中, ?A ? ?C ? 180?

问题 3: 已知弓形弦长为 4, 弓形高为 1, 则弓形所在圆的半径为 ( A、 3 B、
5 2



C、3

D、4

知识讲解:
例 1:已知 ?ABC 中,,三条边 a, b, c ,面积为 S,求 ?ABC 的内切圆半 径

例 2:如图所示,已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 6 6 ,且这 两条线段间的距离距离为 3,求这个 圆的半径

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例 3:如图所示,设圆 O1 与圆 O2 的半径分别为 3 和 2, O1O2 ? 4, A, B 为 两圆的交点,失球两圆的公共弦 AB 的长度

巩固拓展:
1、如图所示,在直径为 100mm 的半圆铁皮上 切去,一块高为 20mm 的弓形铁皮,求弓形的 弦 AB 的长

2、如图所示、已知圆 O 的半径 OB=5cm,弦 AB=6cm,D 是弧 AB 的中点,求弦 BD 的长度

方法指导: 割补法,构造方程思想;分类讨论思想
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4、 7

图形的对称与平面直角坐标系

知识清单:
1、中点坐标公式 已知平面内点 A(a, b), B(c, d ) ,则线段 AB 的中点坐标为 ( 2、图形的对称 (1)轴对称图形 ?如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重 合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴 ?轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的直线被对称轴垂直 平分 (2)中心对称图形 ?在平面内,一个图形绕某个点旋转 180? ,如果旋转前后的图形 互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中 心 ?中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平 分 3、平面直角坐标系 (1)在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角 坐标系。水平的数轴叫做 x 轴或横轴,铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴,x 轴和 y 轴统称为坐标轴,它们的公共原点 O 称为坐标系的原点 (2)平面直角坐标系内的对称点:设 M ( x, y) 是平面直角坐标系 内的任意一点
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a?c b?d , ) 2 2

? M ( x, y) 关于 y 轴对称的点为 ? M ( x, y) 关于 x 轴对称的点为 ? M ( x, y) 关于原点对称的点为 ④ M ( x, y) 关于直线 y ? x 对称的点为 ⑤ M ( x, y) 关于直线 x ? a 对称的点为 ⑥ M ( x, y) 关于点 (a, b) 对称的点为

问题导入:
问题 1:已知平面内的点 A(2,1),B(5,3),求线段 AB 的 中点坐标

知识讲解:
例 1:求函数 y ? x ? 1 关于 y 轴对称的函数解析式

例 2:求函数 y ? x ? 1 关于 x 轴对称的函数解析式

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例 3:求函数 y ? x ? 1 关于点(0,0)对称的函数解析式

巩固拓展:
1、求函数 y ? x2 ? 1 关于直线 x ? 2 对称的函数解析式

2、求函数 y ? x2 ? 1 关于点(2,1)对称的函数解析式

方法指导:
1、数形结合思想方法 2、转化与化归思想方法
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