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2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

时间:2017-11-03


2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试
一、填空题
1.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,对任意实数 x 有 f ( x ? 3) ? f ( x ? 4) ? ?1 .又当 0 ? x ? 7 时, f ( x) ? log2 (9 ? x) ,则 f (?100) 的值为__________. 2.若实数 x, y 满足 x 2 ? 2 cos y ? 1 ,则 x ? cos y 的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的方程为 :

x2 y2 ? ? 1 ,F 为 C 的上焦点, A 为 C 的 9 10

右顶点, P 是 C 上位于第一象限内的动点,则四边形 OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥 P ? ABC 中, AB ? 1 , AP ? 2 ,过 AB 的平面 ? 将其体积平分,则棱 PC 与 平面 ? 所成角的余弦值为__________. 6.在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K ? ( x, y) x, y ? ?1,0,1?.在 K 中随机取出三个点,则这 三点中存在两点之间距离为 5 的概率为__________. 7.在 ?ABC 中, M 是边 BC 的中点, N 是线段 BM 的中点.若 ?A ?

?

?
3

, ?ABC 的面积为

3 ,则 AM ? AN 的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列 ?an ?, ?bn ?满足: a10 ? b10 ? 2017,对任意正整数 n ,有

an?2 ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ,则 a1 ? b1 的所有可能值为__________.

二、解答题
2 9.设 k , m 为实数,不等式 x ? kx ? m ? 1 对所有 x ? ?a, b?成立.证明: b ? a ? 2 2 .

10.设 x1 , x2 , x3 是非负实数,满足 x1 ? x2 ? x3 ? 1 ,求 ( x1 ? 3 x 2 ? 5 x3 )(x1 ? 小值和最大值.

x 2 x3 ? ) 的最 3 5

2 2 11.设复数 z1 , z 2 满足 Re( z1 ) ? 0 , Re(z 2 ) ? 0 ,且 Re( z1 ) ? Re( z 2 ) ? 2(其中 Re(z ) 表示

复数 z 的实部). (1)求 Re( z1 z 2 ) 的最小值; (2)求 z1 ? 2 ? z 2 ? 2 ? z1 ? z 2 的最小值.

2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试
一.如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , I 为 ?ABC 的内心,以 A 为圆心, AB 为半径作圆 ?1 , 以 I 为圆心, IB 为半径作圆 ?2 ,过点 B, I 的圆 ?3 与

?1 , ?2 分别交于点 P, Q (不同于点 B ).设 IP 与 BQ 交于
点 R .证明: BR ? CR

二.设数列 ?an ? 定义为 a1 ? 1 , a n ?1 ? ? 的正整数 r 的个数.

? a n ? n, a n ? n, ? a n ? n, a n ? n,

n ? 1,2,? .求满足 ar ? r ? 32017

三.将 33 ? 33 方格纸中每个小方格染三种颜色之一, 使得每种颜色的小方格的个数相等.若相 邻连个小方格的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.

四.设 m, n 均是大于 1 的整数,m ? n ,a1 , a2 ,?, an 是 n 个不超过 m 的互不相同的正整数, 且 a1 , a2 ,?, an 互 素 . 证 明 : 对 任 意 实 数 x , 均 存 在 一 个 i (1 ? i ? n) , 使 得

ai x ?

2 x ,这里 y 表示实数 y 到与它最近的整数的距离. m(m ? 1)

2017 年全国高中数学联赛 A 卷 一试答案
1.

2.

3.

4.

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6.

7.

8.

9.

10.

11.

2017 年全国高中数学联赛 A 卷 二试答案
一.

二.

三.

四.


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